2.6.2 圆与圆的位置关系(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

2.6.2　圆与圆的位置关系 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]　　 [课时目标] 1.能根据给定的圆的方程,判断圆与圆的位置关系.掌握圆与圆的位置关系的判定方法. 2.能利用圆与圆的位置关系解决公切线、公共弦等有关问题,体会代数方法处理几何问题的思想. 圆与圆位置关系的判断 (1)几何法:设两圆的半径分别为r1,r2(不妨设r1>r2),两圆圆心的距离为d,则两圆有如下位置关系: 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 圆心距 与半径 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 r1-r2<d<r1+r2 d=r1-r2 d<r1-r2 图示 (2)代数法:通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 消元,一元二次方程 |微|点|助|解| (1)利用代数法判断两圆位置关系时,当方程无解或一解时,无法判断两圆的位置关系. (2)在判断两圆的位置关系时,优先使用几何法. (3)两圆外离时有四条公切线,当两圆外切时有三条公切线,当两圆相交时有两条公切线,当两圆内切时只有一条公切线,当两圆内含时无公切线. 　　基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切. (　　) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交. (　　) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程. (　　) (4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-2)2+(y-2)2=r2(r>1)有两个交点,则r的取值范围是 (　　) A.(1,+1) B.(2-1,2+1) C.(1,+1] D.[2-1,2+1] 解析:选B　由题意知,圆心C1(0,0)与圆心C2(2,2),则圆心距|C1C2|=2,因为圆C1与圆C2有两个交点,则圆C1与圆C2相交,则r-1<|C1C2|<r+1,解得2-1<r<2+1. 题型(一)　两圆位置关系的判断 [例1]　已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为 (1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含. 解:圆C1,C2的方程,经配方后可得C1:(x-a)2+(y-1)2=16,C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, ∴圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1. ∴|C1C2|= =a. (1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切; 当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切. (2)当r1-r2<|C1C2|<r1+r2,即3<a<5时,两圆相交. (3)当|C1C2|>r1+r2,即a>5时,两圆外离. (4)当|C1C2|<r1-r2,即0<a<3时,两圆内含. 　　|思|维|建|模| 　　判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤. (1)将圆的方程化成标准方程,写出圆心和半径. (2)计算两圆圆心的距离d. (3)通过d,r1+r2,|r1-r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围,必要时可数形结合. 　　[针对训练] 1.圆C1:(x-4)2+y2=4与圆C2:x2+(y-3)2=16的位置关系是 (　　) A.外离 B.相交 C.内切 D.外切 解析:选B　因为|C1C2|==5,两圆的半径分别为r1=2,r2=4,所以|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,所以C1,C2相交,故选B. 2.圆O:x2+y2=4与圆M:x2+(y-5)2=4的公切线条数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选D　由圆O:x2+y2=4,则圆心O(0,0),半径为r1=2,圆M:x2+(y-5)2=4,则圆心M(0,5),半径r2=2,所以两圆圆心距|OM|=5>r1+r2,所以圆O与圆M的位置关系为外离,则圆O与圆M的公切线条数为4. 3.若圆O1:x2+y2=25与圆O2:(x-7)2+y2=r2(r>0)相交,则r的取值范围为 (　　) A.[2,10] B.(2,10) C.[2,12] D.(2,12) 解析:选D　因为圆O1与圆O2相交,所以|r-5|<|O1O2|<|r+5|.又|O1O2|=7,所以|r-5|<7<|r+5|,解得2<r<12. 题型(二)　两圆的相切问题 [例2]　已知两圆M:x2+y2-2x-6y-1=0和N:x2+y2-10x-12y+m=0.求: (1)m取何值时两圆外切; (2)m取何值时两圆内切,并求此时公切线的方程. 解:(1)由题意,圆M:x2+y2-2x-6y-1=0,可化为M:(x-1)2+(y-3)2=11, 圆N:x2+y2-10x-12y+m=0,可化为N:(x-5)2+(y-6)2=61-m, 可得圆心坐标分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为r1=,r2=. 当两圆外切时,可得|MN|=r1+r2, 即=+, 解得m=25+10, 所以当m=25+10时,两圆外切. (2)由(1)知,圆心坐标分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为r1=,r2=. 当两圆内切时,可得|MN|=r2-r1, 即-=, 解得m=25-10,因为kMN==, 所以两圆公切线的斜率是-. 设切线方程为y=-x+b,即x+y-b=0, 则圆心M(1,3)到切线的距离等于圆M的半径r1, 即=,解得b=±. 当b=+时,直线与圆N:x2+y2-10x-12y+m=0相交,舍去, 故所求公切线方程为y=-x+-,即4x+3y+5-13=0.所以当m=25-10时,两圆内切,此时公切线的方程为4x+3y+5-13=0. 　　[变式拓展] 将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切,圆心在x轴上,且过点(3,-)的圆的方程”,如何求? 解:因为圆心在x轴上,所以可设圆心坐标为(a,0),设半径为r, 则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2,又因为与圆x2+y2-2x=0外切,且过点(3,-), 所以解得所以圆的方程为(x-4)2+y2=4. 　　|思|维|建|模| 1.解决两圆相切问题的两个步骤 定性 必须准确把握是内切还是外切,若只是告诉相切,则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论 转化思想 将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时) 2.两圆公切线的问题 (1)对于外切的两圆,可以通过找到一个圆上的切点,然后作该切点与另一个圆心的连线,再通过该连线作垂线得到公切线. (2)对于相交的两圆,直接利用交点和切线的定义即可找到公切线. (3)对于内切或内含的两圆,根据定义判断是否存在公切线,并利用切点和圆心连线来找到它(如果存在). 　　[针对训练] 4.若直线l与圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=4都相切,切点分别为A,B,则|AB|= (　　) A.1 B. C. D.2 解析:选C　如图所示,设直线l交x轴于点M,由于直线l与圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=4都相切,切点分别为A,B,则AC1⊥l,BC2⊥l,∴AC1∥BC2,∵|BC2|=2=2|AC1|,∴C1为MC2的中点,∴A为BM的中点, ∴|MC1|=|C1C2|=2,由勾股定理可得|AB|=|MA|==. 5.已知圆C1:x2+y2-4x-16=0与圆C2:x2+y2+2y-4=0,则圆C1与圆C2的公切线方程是　　　　　　.  解析:圆C1:x2+y2-4x-16=0,即(x-2)2+y2=20,圆心为C1(2,0),半径r1=2.圆C2:x2+y2+2y-4=0,即x2+(y+1)2=5,圆心为C2(0,-1),半径r2=.圆心距|C1C2|==r1-r2,所以两圆相内切. 由解得所以两圆切点的坐标为(-2,-2),==, 所以公切线的斜率为-2,所以公切线的方程是y+2=-2(x+2),即2x+y+6=0. 答案:2x+y+6=0 题型(三)　两圆的相交问题 [例3]　已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0. (1)求证:圆C1与圆C2的位置关系是相交; (2)求公共弦所在直线方程和公共弦长; (3)求经过点M(1,0)以及圆C1和圆C2交点的圆的方程. 解:(1)证明:将两圆方程配方化为标准方程,得C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,则圆C1的圆心为(1,-5),半径r1=5. 圆C2的圆心为(-1,-1),半径r2=. 又∵|C1C2|=2,r1+r2=5+,r1-r2=5-,∴r1-r2<|C1C2|<r1+r2,∴两圆相交. (2)将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为x-2y+4=0. 法一　圆C1的圆心为(1,-5), 其到公共弦所在直线x-2y+4=0的距离d==3, ∴公共弦长l=2=2=2. 法二　设两圆相交于点A,B,则A,B两点的坐标满足方程组 解得或即A(-4,0),B(0,2), ∴|AB|==2,即公共弦长为2. (3)所求圆经过两圆的交点,则可设所求圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),整理得(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(10+2λ)y-24-8λ=0, 此圆经过点(1,0),代入上述方程,解得λ=-5. ∴该圆方程为x2+y2+3x-4=0. 　　|思|维|建|模| 1.处理两圆相交的有关问题的方法 (1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数. (2)求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 2.圆系方程的设法 已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1). 　　[针对训练] 6.已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长; (2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. 解:(1)设两圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 联立圆C1与圆C2的方程,得 由①-②,得x-y+4=0. ∵A,B两点的坐标都满足此方程, ∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆C1的圆心(-3,0),r=, ∴C1到直线AB的距离d==, ∴|AB|=2=2=5, 即两圆的公共弦长为5. (2)解方程组 得两圆的交点A(-1,3),B(-6,-2). 设所求圆的圆心为(a,b),∵圆心在直线x-y-4=0上,∴b=a-4. 则 = , 解得a=,故所求圆的圆心为,半径为 . 故所求圆的方程为+=, 即x2+y2-x+7y-32=0. [课时检测] 1.圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=4的位置关系是 (　　) A.相交 B.相切 C.外离 D.不确定 解析:选C　C1:x2+y2=1的半径r1=1,圆心C1(0,0),C2:(x-3)2+(y-4)2=4的半径r2=2,圆心C2(3,4),两圆心的距离d==5,因为d>r1+r2,所以两圆外离,故选C. 2.圆C1:x2+y2-2x-3=0与圆C2:x2+y2+4x-2y+1=0的公共弦所在直线的方程为 (　　) A.3x+y+1=0 B.3x-y+1=0 C.3x+y+2=0 D.3x-y+2=0 解析:选D　将两圆的方程相减得到两圆公共弦所在直线方程为3x-y+2=0. 3.以(3,-4)为圆心,且与圆x2+y2=1外切的圆C的方程为 (　　) A.(x+3)2+(y+4)2=4 B.(x-3)2+(y+4)2=16 C.(x-3)2+(y-4)2=16 D.(x-3)2+(y+4)2=4 解析:选B　由题意可知,两圆的圆心距为5,设圆C的半径为r,因为两圆外切,则5=r+1,得r=4,所以圆C的方程为(x-3)2+(y+4)2=16. 4.已知圆O:x2+y2=1与圆M:(x-2)2+(y-1)2=2相交于A,B两点,则|AB|= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　由圆O:x2+y2=1的圆心O(0,0)且半径为1,将两圆方程作差,得(x-2)2+(y-1)2-x2-y2=1,整理得2x+y-2=0,所以相交弦方程为2x+y-2=0,则O到其距离为,所以|AB|=2×=. 5.[多选]已知圆A:x2+y2-2y-3=0,圆B:x2+y2-4x+3=0,则下列说法正确的是 (　　) A.点P(2,-1)在圆A内 B.圆A上的点到直线3x-4y+19=0的最小距离为1 C.圆A和圆B的公切线长为2 D.圆A和圆B的公共弦所在的直线方程为2x-y-3=0 解析:选BCD　圆A:x2+y2-2y-3=0的圆心和半径分别为A(0,1),R=2,圆B:x2+y2-4x+3=0的圆心和半径为B(2,0),r=1,由于22+(-1)2-2×(-1)-3>0,故点P(2,-1)在圆A外,故A错误;A(0,1)到3x-4y+19=0的距离为d==3,所以圆A上的点到直线3x-4y+19=0的最小距离为d-R=1,故B正确; 由于|AB|==∈(1,3),故两圆相交,两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为2x-y-3=0,故D正确;由于两圆相交,所以公切线的长度为==2,故C正确,故选BCD. 6.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-3)2+y2=r2(r>0)有3条公切线,圆C覆盖圆C1,C2,则圆C面积的最小值为 (　　) A.9π B.12π C.16π D.18π 解析:选A　根据圆的方程得r1=1,圆C2圆心C2(3,0),半径r2=r.因为两圆有3条公切线,所以圆C1,C2外切,所以两圆圆心距|C1C2|=1+r,即=3=1+r,解得r=2,因为圆C覆盖圆C1,C2,所以圆C半径的最小值为r1+r2=1+2=3,所以圆C面积的最小值为32π=9π. 7.已知圆C:(x-4)2+(y-3)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为 (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:选C　以AB为直径的圆O的方程为x2+y2=m2,圆心为原点,半径为r1=m.圆C:(x-4)2+(y-3)2=1的圆心为(4,3),半径为r2=1.要使圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则圆O与圆C有公共点,所以|r1-r2|≤|OC|≤|r1+r2|,即|m-1|≤ ≤m+1,所以解得4≤m≤6,所以m的最大值为6. 8.[多选]已知圆C1:x2+y2+2x=0与圆C2:(x-1)2+(y-m)2=4(m>0),则以下结论正确的是 (　　) A.若过点C1与圆C2相切的直线有且只有1条,则m=2 B.若直线l过点(0,1),且平分圆C1的周长,则l的方程为x-y+1=0 C.若圆C1与圆C2有且只有2条公切线,则0<m< D.若m=2,则圆C1与圆C2的公共弦长为 解析:选BC　圆C1的标准方程为(x+1)2+y2=1,圆心C1(-1,0),半径为r1=1,圆C2:(x-1)2+(y-m)2=4(m>0)的圆心为C2(1,m),半径为r2=2,对于A,若过点C1与圆C2相切的直线只有1条,则圆C1的圆心C1在圆C2上,即(-1-1)2+(0-m)2=4.因为m>0,所以方程无解,即过点C1与圆C2相切的直线不可能有且只有1条,A错误;对于B,因为直线l平分圆C1的周长,所以直线l过点C1(-1,0),又直线l过点(0,1),所以直线l的斜率为=1,所以直线l的方程为x-y+1=0,B正确;对于C,若圆C1与圆C2有且只有2条公切线,则两圆相交,且|C1C2|==,由题意可得r2-r1<|C1C2|<r1+r2,即1<<3.因为m>0,解得0<m<,C正确;对于D,当m=2时,圆C2的方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心为C2(1,2),半径为r2=2,由C可知两圆相交,将两圆方程作差可得4x+4y-1=0,此时,两圆的相交弦所在直线的方程为4x+4y-1=0,圆心C1到直线4x+4y-1=0的距离为d==,所以两圆的公共弦长为2=2=,D错误. 9.(5分)若圆x2+y2=4与圆(x+m)2+y2=9(m>0)外切,则实数m=　　　　.  解析:圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2.圆(x+m)2+y2=9(m>0)的圆心为(-m,0),半径为3.由于两圆外切,所以 =|m|=2+3=5,由于m>0,故解得m=5. 答案:5 10.(5分)已知圆O:x2+y2=4,圆C与x轴相切于点P(2,0),与y轴正半轴交于A,B两点,且|AB|=3,则圆O和圆C的公共弦所在的直线方程为　　　　　　. 解析:由圆C与x轴相切于点P(2,0),可设圆C的方程为(x-2)2+(y-b)2=b2,由|AB|=3,得b2=22+=,所以圆C的方程为(x-2)2+=,圆C与圆O的方程相减得4x+5y-8=0,即为两圆的公共弦所在的直线方程. 答案:4x+5y-8=0 11.(5分)圆(x-a)2+(y-2a-3)2=9上总存在两个点到(2,3)的距离为1,则a的取值范围是　　　　　　　　　.  解析:圆(x-a)2+(y-2a-3)2=9上总存在两个点到(2,3)的距离为1,转化为以(2,3)为圆心,1为半径的圆与已知圆相交,可得3-1<<3+1,即解得-<a<0或<a<2,即a的取值范围是∪. 答案:∪ 12.(10分)已知圆C1:x2+y2-2y-4=0,圆C2:x2+y2-4x+2y=0. (1)分别将圆C1和圆C2的方程化为标准方程,并写出它们的圆心坐标和半径;(4分) (2)求圆C1与圆C2的公共弦所在的直线方程及公共弦长.(6分) 解:(1)圆C1:x2+y2-2y-4=0变形为x2+(y-1)2=5,圆心为(0,1),半径为. 圆C2:x2+y2-4x+2y=0变形为(x-2)2+(y+1)2=5,圆心为(2,-1),半径为. (2)圆C1:x2+y2-2y-4=0与圆C2:x2+y2-4x+2y=0相减得到公共弦所在直线方程, 即-2y-4+4x-2y=0,整理得x-y-1=0, 圆心(0,1)到直线x-y-1=0的距离为d==, 故公共弦长为2=2×=2. 13.(10分)如果A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),是以OD为直径的圆上一段圆弧,是以BC为直径的圆上一段圆弧,是以OA为直径的圆上一段圆弧,三段弧构成曲线Ω, (1)求所在圆与所在圆的公共弦方程;(5分) (2)求与的公切线方程.(5分) 解:(1)所在的圆是以(1,0)为圆心,1为半径的圆,所以所在圆的方程为(x-1)2+y2=1. 所在的圆是以(0,1)为圆心,1为半径的圆, 所以所在圆的方程为x2+(y-1)2=1, 两圆的方程相减可得-2x+2y=0,即x-y=0. 故所在圆与所在圆的公共弦方程为x-y=0. (2)因为所在的圆是以(1,0)为圆心,1为半径的圆,所在的圆是以(0,1)为圆心,1为半径的圆, 所以与所在圆的公切线平行于经过点(1,0),(0,1)的直线, 所以所求切线的斜率为k==-1. 设公切线的方程为y=-x+b(b>0), 则点(0,1)到y=-x+b的距离d==1, 解得b=1+或b=1-(舍去). 所以公切线的方程为x+y--1=0. 14.(15分)已知圆O:x2+y2=1,圆C的圆心在直线y=1上,且过点A(4,3),B(2,1). (1)求圆C的标准方程;(5分) (2)已知第二象限内的点D在圆O上,过点D作圆O的切线l1恰好与圆C相切,求l1的斜率.(10分) 解:(1)设圆C的圆心坐标为(a,1),半径为r. 因为圆C过点A(4,3)和B(2,1),解得 所以圆C的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=4. (2)如图所示,两圆外离,公切线有四条,由于第二象限内的点D在圆O上显然满足题意的是l1.下面求公切线斜率.显然斜率存在,设切线y=kx+b. 圆心O(0,0)到切线y=kx+b(即kx-y+b=0)的距离d1==1①, 圆心C(4,1)到切线y=kx+b(即kx-y+b=0)的距离d2==2, 两式相除,得=,化简得|4k-1+b|=|2b|, 则4k-1+b=2b或4k-1+b=-2b. 即b=4k-1或b=. 当b=4k-1时,代入方程①,得|4k-1|=,两边平方整理得15k2-8k=0,解得k=0或k=. 当b=时,代入方程①,得7k2-8k-8=0,解得k=.由于>1>且由图可知0<<,因此,=. 故满足题意的l1的斜率为=. 学科网（北京）股份有限公司 $$