1.1 第2课时 数列的递推公式与单调性(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

第2课时　数列的递推公式与单调性 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项. 2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法(累加法、累乘法). 3.理解数列的前n项和,会由数列的前n项和求数列的通项公式. 4.理解数列是一种特殊函数,并能通过函数思想研究数列的性质,会求数列的最(大)小项. 1.数列的递推公式 如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示,即an+1=f(an),n≥1.那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式;a1称为数列{an}的初始条件. 2.数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an-1 (或前几项)之间的关系f 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法; (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 |微|点|助|解| (1)有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化.如数列1,3,5,…,2n-1,…的一个通项公式为an=2n-1(n∈N+),用递推公式表示为a1=1,an=an-1+2(n≥2,n∈N+). (2)与所有数列不一定都有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式.如π精确到1,0.1,0.01,0.001,…的近似值构成的数列为3,3.1,3.14,3.142,…,无法写出其递推公式.有些数列即使有递推公式,也不一定唯一.如数列2,4,6,8,10,…为正偶数组成的数列,其递推公式可以是a1=2,an+1=an+2(n∈N+),而a1=2,a2=4,an+1=2an-an-1(n≥2)也是它的递推公式. 3.数列的前n项和 (1)数列{an}的前n项和:把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an. (2)数列{an}的前n项和公式:如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的前n项和公式. (3)an与Sn的关系:an= |微|点|助|解| (1)连续项的和可以用两个和的式子表示,如a5+a6+…+a9=S9-S4. (2)an=Sn-Sn-1,n≥2中不包括a1,故一定要检验n=1时,S1是否满足首项. 4.数列的函数性质 一般地,对于一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项,即an+1>an,那么这个数列叫作递增数列;如果从第2项起,每一项都小于它的前一项,即an+1<an,那么这个数列叫作递减数列;如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,那么这个数列叫作摆动数列;各项都相等的数列叫作常数列. 基础落实训练 1.符合递推关系式an=an-1的数列是 (　　) A.1,2,3,4,… B.1,,2,2,… C.,2,,2,… D.0,,2,2,… 解析:选B　B中从第二项起,后一项是前一项的倍,符合递推公式an=an-1. 2.已知数列{an}中,a1=1,an+1=,则a5= (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 答案:B 3.已知数列{an}满足a1>0,2an+1=an,则数列{an}是 (　　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.以上都不正确 解析:选B　∵=<1,a1>0, ∴{an}是一个递减数列. 4.数列{an}的前n项和Sn,若Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),且S2=3,则a1+a3的值为 (　　) A.1　　　　B.3　　　　C.5　　　　D.6 解析:选C　∵Sn-Sn-1=2n-1(n≥2),且S2=3,∴S1=0,S3=8,∴a1=0,a2=3,a3=5,a1+a3=5. 题型(一)　数列的递推公式及应用 [例1]　已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2(n≥3)给出. (1)写出此数列的前5项; (2)通过公式bn=(n≥1)构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项. 解:(1)∵an=an-1+an-2(n≥3), 且a1=1,a2=2, ∴a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8. 故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8. (2)∵bn=,且a1=1,a2=2,a3=3,a4=5, a5=8,∴b1==, b2==,b3==,b4==. 故数列{bn}的前4项依次为b1=,b2=,b3=,b4=. 　　|思|维|建|模| 由递推关系写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可; (2)若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1; (3)若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,如an+1=. 　　[针对训练] 1.已知数列{an}的第1项a1=1,以后的各项由公式an+1=给出,试写出这个数列的前5项. 解:∵a1=1,an+1=, ∴a2==,a3===, a4===,a5===. 故该数列的前5项为1,,,,. 题型(二)　由递推公式求数列的通项公式 [例2]　(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+-,则an等于 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:选B　法一:归纳法　数列的前5项分别为a1=1,a2=1+1-=2-=, a3=+-=2-=,a4=+-=2-=,a5=+-=2-=.又a1=1,由此可得数列的一个通项公式为an=(n∈N+). 法二:迭代法　a2=a1+1-,a3=a2+-,…,an=an-1+-(n≥2), 则an=a1+1-+-+-+…+-=2-=(n≥2). 又a1=1也适合上式, 所以an=(n∈N+). 法三:累加法　an+1-an=-,a1=1,a2-a1=1-,a3-a2=-,a4-a3=-,…,an-an-1=-(n≥2),以上各项相加得an=1+1-+-+…+-.所以an=(n≥2).因为a1=1也适合上式, 所以an=(n∈N+). (2)已知数列{an}满足a1=1,an+1=an(n∈N+),则an等于 (　　) A.n+1　　　　B.n　　　　C.　　　　D. 解析:选D　由题意,因为数列{an}满足an+1=an(n∈N+),所以=,所以当n≥2时,an=··…···a1=××…×××1=.当n=1时,a1=1满足上式,所以an=(n∈N+). 　　|思|维|建|模| 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题) (2)迭代法、累加法或累乘法,递推公式对应的有以下几类: ①an+1-an=常数,或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),使用累加法或迭代法. ②an+1=pan(p为非零常数),或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的),使用累乘法或迭代法. ③an+1=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第②类解决. 　　[针对训练] 2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2,n∈N+,则an=　　　　.  解析:由题意,得an=an-1+2=an-2+2×2=…=a1+2×(n-1)=2n-1,n≥2.又a1=1适合上式,∴an=2n-1,n∈N+. 答案:2n-1 3.已知数列{an},a1=2,an+1=2an,写出数列的前4项,猜想an,并加以证明. 解:由a1=2,=2an,得 a2=2a1=4=22,a3=2a2=2×22=23,a4=2a3=2×23=24. 猜想an=2n(n∈N+).证明如下: 由a1=2,an+1=2an,得==…===2(n≥2).∴an=··…···a1=2×2×…×2×2=2n. 又当n=1时,a1=21=2符合上式, ∴an=2n(n∈N+). 题型(三)　数列的前n项和及应用 [例3]　设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=2n2-30n.求a1及an. 解:因为Sn=2n2-30n,所以当n=1时,a1=S1=2×12-30×1=-28,当n≥2时,an=Sn-=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32. 验证当n=1时上式成立,所以an=4n-32,n∈N+. 　　[变式拓展] 将本例的条件“Sn=2n2-30n”改为“Sn=2n2-30n+1”,其他条件不变,求an. 解:因为Sn=2n2-30n+1,所以当n=1时,a1=S1=2×12-30×1+1=-27,当n≥2时,an=Sn-=2n2-30n+1-[2(n-1)2-30(n-1)+1]=4n-32. 当n=1时不符合上式.所以an= 　　|思|维|建|模| 已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1=S1求出a1; (2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式; (3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并. 　　[针对训练] 4.[多选]已知数列{an}的前n项和满足Sn=2n+1-1,则下列说法正确的是 (　　) A.a1=3 B.an=2n(n≥2) C.an=2n D.an=2n(n≥2) 解析:选AD　因为Sn=2n+1-1, 所以当n=1时,a1=S1=21+1-1=3; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n. 当n=1时,不符合上式,故an= 5.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-8n,第k项满足4<ak<7,则k=　　　　.  解析:a1=S1=-7,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-8n-(n-1)2+8(n-1)=2n-9,由4<ak<7得4<2k-9<7,得<k<8,因为k为正整数,所以k=7. 答案:7 题型(四)　数列的函数特性 [例4]　设数列{an}的通项公式为an=n2+kn,数列{an}是递增的,求实数k的取值范围. 解:∵数列{an}是递增的,∴an<an+1恒成立, 即n2+kn<(n+1)2+k(n+1)对任意n∈N+恒成立, 整理得k>-2n-1对任意n∈N+恒成立. ∵f(n)=-2n-1(n∈N+)的最大值为-3, ∴k>-3,即k的取值范围是(-3,+∞). 　　[变式拓展] 1.若本例条件增加“an≥a6恒成立”,求实数k的取值范围. 解:由an=n2+kn=-,对称轴为n=-.因为不等式an≥a6恒成立,所以≤-≤,所以-13≤k≤-11.故实数k的取值范围为[-13,-11]. 2.若本例条件增加“数列{an}仅第7项最小”,求实数k的取值范围. 解:由an=n2+kn,知对称轴n=-.因为数列{an}仅第7项最小,所以<-<, 解得-15<k<-13.故实数k的取值范围为(-15,-13). 3.若本例条件“an=n2+kn”变为“an=n·”,求数列{an}中的最大项. 解:an+1-an=(n+1)-n·=·,当n<2时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=2时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>2时,an+1-an<0,即an+1<an.所以a1<a2=a3>a4>a5>…>an>…,所以数列{an}中的最大项为a2或a3,且a2=a3=2×=. 　　|思|维|建|模| (1)函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别,即数列所对应的函数若单调,则数列一定单调,反之若数列单调,其所对应的函数不一定单调. (2)求数列的最大(小)项,还可以通过研究数列的单调性求解.一般地,若则an为最大项;若则an为最小项. 　　[针对训练] 6.已知数列{an}的通项公式为an=. (1)讨论数列{an}的单调性; (2)求数列{an}的最大项和最小项. 解:(1)数列{an}的通项公式an==1+,据此可得1>a1>a2>a3>…>a15,且a16>a17>a18>a19>…>1, 所以当n<16时,数列{an}递减; 当n≥16时,数列{an}递减. (2)由(1)知数列{an}的最大项为a16=,最小项为a15=. [课时检测] 1.已知数列{an}满足a1=2,an=1+(n≥2),则a3= (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:选C　因为a1=2,所以a2=1+=,a3=1+=1+=.故选C. 2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n2,则a5= (　　) A.16　　　　B.18　　　　C.20　　　　D.25 解析:选B　依题意,a5=S5-S4=2×52-2×42=18.故选B. 3.[多选]如果数列{an}为递增数列,则{an}的通项公式可以为 (　　) A.an= B.an=2n-1 C.an=2n2-5n D.an=2n-1 解析:选BCD　对于A,a1=2,a2=1,故不是递增数列,A不符合;对于B,an+1-an=2n+1-(2n-1)=2>0,故是递增数列,B符合;对于C,an+1-an=2(n+1)2-5(n+1)-(2n2-5n)=4n-3>0,故为递增数列,C符合;对于D,an+1-an=-1-(2n-1)=2n>0,故为递增数列,D符合.故选BCD. 4.已知数列{an}中,a1=1,=,则数列{an}的通项公式是 (　　) A.an=2n B.an= C.an= D.an= 解析:选C　法一　由已知可知,a1=1,a2=,a3=,a4=,…,∴an=. 法二　an=··…···a1=·1=. 5.在数列{an}中,若a1=2,an=1-(n≥2),则a2 025= (　　) A.-1　　　　B.　　　　C.2　　　　D.1 解析:选A　由题意得a1=2,a2=1-=1-=,a3=1-=1-2=-1,a4=1-=1+1=2,…,故{an}为周期数列,周期为3,故a2 025=a675×3=a3=-1.故选A. 6.已知数列{an}满足a1=1,且an+1=,则a10= (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:选B　∵an+1=,则==+n,∴-=1,-=2,…,-=9,以上各式相加可得,-=1+2+3+…+9=45,∴a10=.故选B. 7.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13, 21,34,…,满足an+2=an+1+an(n≥1),那么1+a2+a4+a6+…+a2 026等于 (　　) A.a2 024 B.a2 025 C.a2 026 D.a2 027 解析:选D　由于an+2=an+1+an(n≥1),则1+a2+a4+a6+…+a2 026=a1+a2+a4+a6+…+a2 026=a3+a4+a6+…+a2 026 =a5+a6+…+a2 026=a2 025+a2 026=a2 027. 8.已知数列{bn}的通项公式为bn=,则当bn取得最小值时,n= (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选B　由bn=>0,则=.令>1,则n2-2n-5>0,由n∈N+,解得n≥4,所以当n≤3时,<1,当n≥4时,>1,即当n≤3时,数列{bn}递减,当n≥4时,数列{bn}递增.又b3=,b4=,所以b4<b3,即b4为数列{bn}的最小值,故当bn取得最小值时,n=4. 9.(5分)数列{an}的前n项和Sn=nan,a1=1,则an=　　　.  解析:当n≥2时,有Sn=nan,Sn-1=(n-1)an-1,两式作差可得,Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1,整理可得an=an-1.又a1=1,所以an=1. 答案:1 10.(5分)数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是　　　　.  解析:an=-2n2+29n+3=-2+3=-2+3+,当n=7时,an最大且等于108. 答案:108 11.(5分)若数列{an}满足a2=11,an+1=,则a985=　　　　　.  解析:因为a2=11,an+1=,所以a1=,a3==-,a4==,所以{an}是周期为3的数列,故a985=a1=. 答案: 12.(5分)已知数列{an}的前n项和Sn=-(n∈N+),则数列{an}的通项公式为　　　　.  解析:因为Sn=-(n∈N+), 当n=1时,a1=S1=-=4, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-===4n, 因为a1=4也满足an=4n. 综上,an=4n(n∈N+). 答案:an=4n 13.(10分)在数列{an}中,an=n(n-8)-20,请回答下列问题: (1)这个数列共有几项为负?(4分) (2)这个数列从第几项开始递增?(3分) (3)这个数列中有无最小值?若有,求出最小值;若无,请说明理由.(3分) 解:(1)由an=n(n-8)-20=n2-8n-20=(n+2)(n-10)<0,解得1≤n<10,n∈N+,所以数列{an}前9项为负数,即共有9项为负数. (2)因为an+1-an=(n+1)(n+1-8)-20-[n(n-8)-20]=2n-7,当an+1-an=2n-7>0,n>,n∈N+,即从第4项开始数列{an}开始递增. (3)an=n(n-8)-20=n2-8n-20=(n-4)2-36,根据二次函数的性质知,当n=4时,an取得最小值-36,即数列中有最小值,最小值为-36. 14.(15分)已知数列{an}的通项公式为an=,试判断数列{an}的单调性,并判断该数列是否有最大项与最小项. 解:an+1-an=-=,当1≤n≤3时,an+1-an>0,即a1<a2<a3<a4, 当n=4时,an+1-an=0,即a5=a4,当n≥5时,an+1-an<0,即a5>a6>a7>…, 所以{an}在1≤n≤4(n∈N+)时递增,在n≥5(n∈N+)时递减, 所以数列{an}的最大项为a5=a4=,又a1<a2<0,当n≥3(n∈N+)时,an=≥0, 所以数列{an}的最小项为a1=-1. 15.(15分)已知函数f(x)=(x∈R),设数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N+). (1)若an≥,求n的最小值;(5分) (2)若bn=an-,试判断{bn}的单调性.(10分) 解:(1)由题可知an=(n∈N+),若an≥,则an=≥,解得n≥5,故n的最小值为5. (2)因为bn=an-=-=1--,又n∈N+,所以2n≥2,≤,所以1-≥. 令g(x)=x-, 取x1,x2∈(0,+∞),x1<x2, 则g(x1)-g(x2)=x1--=<0, 所以g(x1)<g(x2), 所以g(x)=x-在(0,+∞)上单调递增, 所以bn=1--(n∈N+)是递增的, 即数列{bn}是递增数列. 学科网（北京）股份有限公司 $$