专题01 数列的简单表示方法与等差数列6大题型（期末真题汇编，甘肃专用）高二数学上学期

专题01 数列的简单表示方法与等差数列 6大高频考点概览 考点01 利用an与Sn关系求通项或项 考点02 构造/累加/观察/累乘法求数列通项公式 考点03 递推数列与数列的增减性及周期性质 考点04 等差数列及其通项公式 考点05 等差数列前n项和 考点06 等差数列性质运用 地 城 考点01 利用an与Sn关系求通项或项 1．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)已知数列的首项为，前项和为，且，则（    ） A．数列是等比数列 B．是等比数列 C． D．数列的前项和为 【答案】BCD 【分析】利用递推公式，结合，即可判断选项AB，根据数列的通项公式即可判断选项C，结合对数运算求出，利用等差数列前项和公式即可判断选项D. 【详解】因为，所以， 两式相减得，，即， 令，则， 所以数列从第项起是等比数列， 则，A错， 又，C正确； 又， 所以，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列，B正确； 且， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则数列的前项和为，D正确. 故选：BCD 2．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知数列的前项和公式为，则通项公式 . 【答案】 【分析】根据与的关系可求得通项公式. 【详解】当时，， 当时，， 则， 满足上式，所以， 故答案为：. 3．(24-25高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)已知数列的前项和，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求出首项，再根据之间的关系，即可证明结论； （2）结合（1）可确定的表达式，利用错位相减法求出，结合数列不等式恒成立，即可求得答案. 【详解】（1）当时，，解得或， 由于，故； 由于，可得， 当时，，则， 整理得， 由于，所以，即， 故数列为首项为1，公差为1的等差数列； （2）由（1）可得， 则，故， 则， 故， 由，可得，即，即， 由于对任意恒成立，则， 故实数的取值范围为. 4．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据求出； （2）错位相减法求和得到，结合，得到. 【详解】（1）由题知，当时，，则． 又．① 当时，，② ①-②得， 所以． 当时，也适合． 综上，数列的通项公式为． （2）因为． 所以，① ，② ①-②得， 整理得， 因为．所以 5．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)设数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值及对应的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据作差计算可得； （2）根据二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为， 当时，当时，， 所以， 经检验时也符合上式，所以； （2）因为， 所以当时，取最大值，，， 即，． 6．(24-25高二上·甘肃多校·期末)已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系计算即可得； （2）借助裂项相消法计算即可得. 【详解】（1）因为，令得， 因为，所以， 两式相减得， 又满足上式，所以； （2）由（1）可得， 所以． 7．(24-25高二上·甘肃定西岷县·期末)已知数列的前项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前20项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，由等差数列定义可知为等差数列，进而求出通项公式，利用与关系即可求； （2）结合（1）可求，利用裂项相消法即可求. 【详解】（1）∵数列的前项和为满足， ，而， 数列是首项为1，公差为1的等差数列， ，即， 当时，，显然也满足上式， . （2）由（1）知，， ， . 8．(23-24高二上·安徽滁州中学·期末)已知数列的前n项和为，，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析题意，先利用定义判定等比数列，再求通项公式即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由题意得，又， 所以， 所以是首项为3，公比为3的等比数列， 故. （2）由（1）知， 则，① ，② ①与②两式相减得 ， 故. 9．(24-25高二上·甘肃庆阳环县第一中学·期末)已知数列的前n项和.求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系计算并验证首项即得； （2）先求出，利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）因为， 当时，， 两式相减，得， 当时，满足上式， 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，故， 所以. 地 城 考点02 构造/累加/观察/累乘法求数列通项公式 10．设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】由题设有，等比数列定义求通项公式，进而有求，再由及放缩法确定范围求参数值. 【详解】，又， 所以是首项为1，公比为的等比数列， 所以， 故，令 由且，则， 由，则， 则，所以， 故，则正整数的值为2023. 故选：C 11．(23-24高二上·河南商丘第二高级中学·月考)（多选）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，则下列选项正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D．若，则最大正整数为8 【答案】BCD 【分析】首先运用，得到数列的通项关系式，再配凑得出数列是等比数列，求得数列的通项公式后，代入分式形式，经裂项相消即可. 【详解】由，可得， 可配凑出， 所以数列是一个以为首项，为公比的等比数列，选项A错误，选项B正确； 所以，得，选项C正确； 显然， ，，……， 上式累加可得前项和为：， 不等式等价于，即，即， 其中. 所以最大正整数为8.选项D正确. 故选：BCD. 12．已知数列中，，当时，，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】变形得到，故为首项为2，公比为2的等比数列，从而利用等比数列通项公式求出答案. 【详解】当时，，故， 其中，故为首项为2，公比为2的等比数列， 故，所以. 故答案为： 13．(21-22高二下·湖北鄂东南三校联考·)已知数列的前项和为，则 . 【答案】 【分析】由，所以由得，两边同时除以得，所以为等差数列，求出从而求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以，即， 所以是以为首项，为公差的等差数列. 所以，， 所以， 故答案为：. 14．(24-25高二上·甘肃·期末)已知数列的首项为，且满足，数列是首项为2，各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项． (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由题设中的递推关系可得，故可求证为等差数列，故可求的通项公式； （2）利用分组求和可求. 【详解】（1）由，得，否则，依次，这与题设矛盾， 而，于是， 所以数列是首项，公差为2的等差数列， 故，所以． （2）由（1）得． 设数列的公比为，则，且． 因为是和的等差中项，所以， 即，解得或（舍去）或（舍去）， 所以，所以， 所以 ． 所以． 15．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题. (1)求数列的通项公式； (2)若，且，设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先对① ，② ，③进行等差数列基本量代入化简，再分别考虑①②，①③，②③三种情形联立求得数列通项公式； （2）利用累加法求得，再对进行裂项求和后，根据数列的单调性即可证明. 【详解】（1）由条件①得，因为成等比数列，则， 即，又，则， 由条件②得，即， 由条件③得，可得，即. 若选①②，则有，可得，则； 若选①③，则，则； 若选②③，则，可得，所以. （2）由，且， 当时，则有 又也满足，故对任意的，有， 则， 所以,， 由于对于单调递增，所以， 综上：. 16．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知数列满足，当时，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推关系式利用裂项相消法求和可得，可得结果； （2）解法一：利用错位相减法计算可得 解法二：分情况讨论n的奇偶，再分别求出表达式. 【详解】（1）当时，， 即． 设，则，， ． 所以． 当时，也符合， 所以． （2）解法一：，① ，② ①－②得 ， 所以． 解法二：． 当为偶数时，． 当为奇数时， ． 综上， 17．已知数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）累加法计算通项公式即可； （2）利用裂项相消法计算即可. 【详解】（1）因为， 所以，，，， 累加得， 因为，所以，故； （2）， ． 18．(20-21高二上·山东烟台·期末)数列2，，6，，…的通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分析数列各项变化的规律，即可得答案． 【详解】根据题意，数列2，，6，，， 其中，，，， 其通项公式可以为， 故选：B． 19．(24-25高二上·甘肃多校·期末)数列的一个通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合选项，举例说明即可求解. 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，当时，，当时，， 当时，，当时，，故B正确； C选项，当时，，故C错误； D选项，当时，，故D错误． 故选：B． 20．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)在数列中，首项，时，，则数列的前项和为 . 【答案】/ 【分析】利用累乘法可求出数列的通项公式，再利用裂项求和法可求得数列的前项和. 【详解】在数列中，首项，时，， 即当时，， 所以，，，，， 上述等式全部相乘得，则， 也满足，故对任意的，， 所以，， 所以数列的前和为. 故答案为：. 地 城 考点03 递推数列与数列的增减性及周期性质 21．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)设数列满足，则的值为 . 【答案】 【分析】先利用对数的运算公式化简得递推关系式，然后构造一个等比数列，通过等比数列的通项公式来求的值. 【详解】因为 所以当时，， 即， 所以， 设，则， 且， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. 故答案为： 22．(21-22高二上·福建三明第一中学·月考)已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 【答案】AB 【分析】将给定的递推公式两边取倒数，构造等比数列，求出通项并逐项判断作答. 【详解】因数列满足，显然，， 两边取倒数得：，即有，而， 因此，数列是首项为4，公比为2的等比数列，A正确； 于是得，整理得，数列的通项公式为，B正确； 因，即数列是递减数列，C不正确； 因，则，D不正确. 故选：AB 23．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，， ，利用递推公式一一验证即可. 【详解】依题意，，，，，，，故A错误； 当时，，， 上述三式相加可得，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D 24．(24-25高二上·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·月考)斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列满足，，设，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】利用斐波那契数列的规律列方程来求得的值. 【详解】由斐波那契数列的定义及递推公式可得： ， 则． 故选：C 25．(24-25高二上·甘肃定西岷县·期末)已知数列满足，，则（    ） A．2 B．1 C． D．-1 【答案】C 【分析】根据递推公式，列出数列前几项，可得数列有周期性，进而利用周期性求. 【详解】由，， 得，，，，，…， 由此不难发现，数列的项具有周期性，且最小正周期为3， 故. 故选：C. 26．(23-24高二上·江苏南通如皋·月考)设数列满足，且，则（    ） A．-2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】判断出数列的周期为4，即可求解. 【详解】因为，， 所以，，，， 显然数列的周期为4，而，因此. 故选：A. 27．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)若数列满足，，数列的前项和为，且，则（   ） A． B．是等比数列 C．数列的前项和 D． 【答案】CD 【分析】依题意可得是首项为，公差为的等差数列，即可求出的通项公式，再由作差求出的通项公式，即可得到，从而判断A、B，利用分组求和法判断C，利用错位相减法判断D. 【详解】因为，，显然， 所以，又， 所以是首项为，公差为的等差数列，则， 则，则，故A错误； 由，当时，解得， 又时，，则，整理得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，则， 则，所以，所以不是等比数列，故B错误； 由， 所以数列的前项和 ，故C正确； 由，记数列的前项和为， 则， 所以， 所以， 所以，即，故D正确. 故选：CD. 28．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)若数列：满足，则数列为E数列，记. (1)写出一个满足，且的数列. (2)若，，证明：E数列是递增数列的充要条件是. (3)对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得?如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据与和可考虑写出交替的数列； （2）先证明必要性，根据数列是递增数列，可得，进而求得．再证明充分性，因为，再累加可得，证明即可； （3） 设，则，再累加求得，再分析的奇偶，根据整除的性质，先假设存在再证明矛盾即可． 【详解】（1）是一个满足条件的数列． （2）必要性：因为数列是递增数列， 所以， 所以是首项为0，公差为3的等差数列． 所以， 充分性：由于， 故，，……，， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 又因为，， 所以， 故，即是递增数列． 综上所述，结论成立． （3）设，则， 因为，，……，， 所以 ， 因为，所以为偶数()， 所以为偶数， 所以要使，必须使为偶数， 即4整除，即或， 当时，数列的项满足，，， 此时，有且成立， 当时，数列的项满足，，，时，亦有且成立； 当或时，不能被4整除，此时不存在数列，使得且成立． 【点睛】关键点睛：本题主要考查了数列新定义的问题，需要根据题意去绝对值分析，并根据整除的性质推理证明． 地 城 考点04 等差数列及其通项公式 29．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)在数列中，，则的值为（    ） A．96 B．98 C．100 D．102 【答案】D 【分析】根据等差数列通项公式可得结果. 【详解】由题意得，数列是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴. 故选：D. 30．(24-25高二上·甘肃武威凉州区·开学考)已知是数列的前项和，，数列是公差为1的等差数列，则（   ） A．479 B．480 C．291 D．290 【答案】B 【分析】令 ，由基本量法求出通项，再由等差数列的前项和公式求出结果即可； 【详解】因为是数列的前项和，，且数列是公差为1的等差数列，令 ，可得， 所以， 所以 ． 故选：B． 31．(24-25高二上·甘肃·期末)已知数列是等差数列，公差为2，且满足，则等于（   ） A．34 B．30 C．28 D．22 【答案】B 【分析】根据即可求解. 【详解】因为数列是等差数列，公差为2，且满足， 所以， 故选：B. 32．(24-25高二上·甘肃定西岷县·期末)数列的前项和为，且，下列说法正确的是（    ） A．若数列为等差数列，则的公差为1 B．若数列为等差数列，则的首项为1 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用待定系数法可求等差数列的首项和公差，即可判断A、B；利用并项求和以及等差数列前项和公式可判断C，再利用作差法可判断D. 【详解】若数列为等差数列，则可设， 所以 ， 所以解得，， 所以，所以数列的首项为0，公差为1，故A正确，B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ， 因为， 即，故D正确. 故选：ACD. 33．(21-22高二上·河南部分名校大联考·期末)已知等差数列的前n项和为，，，则 ． 【答案】－1 【分析】由已知及等差数列通项公式、前n项和公式，列方程求基本量即可. 【详解】若公差为，则，可得. 故答案为：. 34．(24-25高二上·甘肃庆阳环县第一中学·期末)已知递减等差数列，，是方程两个实根，当时， . 【答案】 【分析】根据二次方程求和，再根据等差数列的通项公式即可求解. 【详解】解方程，得和， 又等差数列递减，则，， 数列的公差为， 所以，故. 故答案为：. 35．(24-25高二上·甘肃甘南藏族合作第一中学·期末)已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用已知条件转化推出是以为首项，为公差的等差数列，然后求解通项公式； （2）化简，然后利用错位相减法求和求解即可． 【详解】（1）当时，， 所以，， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 故，所以，． （2）， 所以，， 令，① 则，② ①②得：， ，故， 所以，． 36．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知等差数列的公差为，是等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列以及等比数列定义计算即可求得结果； （2）利用分组求和由等差数列和等比数列前项和公式代入计算可得结果. 【详解】（1）设的公比为． 因为，所以，故． 又，所以． （2）记和的前项和分别为，，则． 又， ， 所以． 37．(24-25高二上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设． (1)求抛物线的方程； (2)求证：数列是等差数列，并求、； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析，， (3) 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）方法一：设，则，，将直线的方程与抛物线的方程联立，可得出，可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，再由可得出数列的通项公式； 方法二：由点、、在抛物线上，利用点差法可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，再由可得出数列的通项公式； （3）方法一：求出直线的方程，可求出，并求出点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； 方法二：设，则、，计算出梯形、的面积，由此可得出，即可得出答案. 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，可得， 因此，抛物线的方程为. （2）方法一：在抛物线上，则，， 过，且斜率为的直线的方程为， 可得， 解得或，所以，可得， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 所以，； 方法二：因为点、、在抛物线上， 所以，两式相减得：． 所以：可得， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 所以，. （3）方法一：，则直线的方程为， 则， 点到直线的距离 ， 故； 方法二： 则直线的方程为，设直线与相交于 令，可得， 则 则 方法三：由（2）知：、、， 设，则、， 则梯形的面积为 ， 即，同理可得， 又梯形的面积为 ， 即，则的面积为： . 【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法： （1）定义法：（常数） 数列为等差数列； （2）等差中项法： 数列为等差数列； （3）通项公式法：（、为常数，）数列为等差数列. 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法. 38．(23-24高二上·浙江温州温州中学·月考)已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式以及等比中项的性质，利用基本量法即可求出，从而得出通项公式； （2）利用第（1）小问求出，再由错位相减法进行数列求和即可得出结论. 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 因为，，成等比数列，所以，即， 联立，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 39．已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求得公差和公比后可得通项公式； （2）用错位相减法求数列的和． 【详解】（1）解：设的公差为，的公比为 ，，， 联立，整理可得，解得， 所以，. （2）解：由（1）知， 则，① ，② ①-②，得 . 所以. 地 城 考点05 等差数列前n项和 40．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)已知等差数列满足，则的前10项和为（   ） A．5 B．10 C．20 D．30 【答案】B 【分析】由等差数列前项和公式和等差中项即可求出结果. 【详解】为等差数列前项和， ， 故选：B. 41．(24-25高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)设为等差数列的前项和，若，则（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】根据已知及等差数列下标和的性质可得，再应用等差数列的前n项和公式求. 【详解】由题设，且， 所以，则，故. 故选：D. 42．(23-24高二上·安徽滁州中学·期末)已知数列，，，且，则数列的前2023项之和为（   ） A．0 B．2 C．2024 D．4048 【答案】B 【分析】分析可知，数列的奇数项构成首项为，公差为的等差数列；数列的偶数项构成首项为，公差为的等差数列.利用等差数列的求和公式可求得数列的前项之和. 【详解】当为奇数时，，， 所以数列的奇数项构成首项为，公差为的等差数列； 当为偶数时，，， 所以数列的偶数项构成首项为，公差为的等差数列. 所以，数列的前项和为： . 故选：B. 43．已知数列是等差数列，，是方程的两根，则数列的前20项和为（    ） A． B． C．15 D．30 【答案】D 【分析】根据韦达定理得到，利用等差数列求和公式及等差数列性质进行计算. 【详解】，是方程的两根， 所以， 又是等差数列， 所以其前20项和为． 故选：D 44．(23-24高二上·河北邢台部分重点高中·期末)等差数列的前项和为，公差，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的前项和公式列方程，即可求解. 【详解】由题意得，解得. 故选：D. 45．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)等差数列的前n项和为，若，，，则（   ） A． B．数列是递减数列 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合及数列单调性判断ABC；利用等差数列性质求解判断D. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，等差数列的公差， 数列是递减数列，B正确； 对于C，等差数列的前8项都为正，第9项为0，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 46．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知等比数列的前项积为，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的公比为 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据的定义，由可求，判断A，结合等比数列通项公式求，判断B，结合指数幂的运算性质，等差数列通项公式求，判断D，再求判断C. 【详解】因为，所以，A正确． 设公比为，因为，， 所以，B正确． ，D正确． ，C错误． 故选：ABD . 47．(23-24高二上·广西玉林博白县五校·)已知等差数列的前项和，且，，则下列选项不正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】BD 【分析】AB选项，由等差数列的性质得到，从而确定；C选项，，，故C正确；D选项，根据等差数列求和公式和性质得到. 【详解】AB选项，由等差数列性质得到， 又，所以， 设公差为，则，数列为递减数列，A正确，B错误； C选项，因为，，则的最大值为，C正确. D选项，因为，故，D错误. 故选：BD 48．(24-25高二上·内蒙古部分名校·期末)已知是各项都为正整数的递减数列，若，则的最大值为 ；当取最大值时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】先证明，再证明时，满足条件的存在，再由时，，并证明满足条件的数列不存在，时存在满足条件的数列，由此可得结论. 【详解】当时，，与条件矛盾， 所以， 数列满足要求， 所以的最大值为， 当时，由已知， 当，则数列只能为， 但，与条件矛盾， 当时，存在数列满足条件， 所以当取最大值时，的最小值为． 故答案为：；. 49．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)已知正实数，为常数，且，无穷数列的各项均为正整数，且对任意正整数，恒成立. (1)证明：无穷数列为等比数列； (2)若，，求的通项公式及数列的前项和； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3) 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）结合（1）及所给条件得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式，从而求出的通项公式，再由等差数列求和公式计算可得； （3）结合（1）求出的通项公式，再利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为，所以 ， 又，正实数，为常数，且，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 所以； （3）若，则是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以 . 【点睛】关键点点睛：本题关键是得到 ，从而得到为等比数列. 50．(23-24高二下·贵州毕节金沙县第五中学·月考)（1）推导等差数列前项和公式； （2）推导等比数列前项和公式. 【答案】证明见解析 【分析】（1）用倒序相加法能证明等差数列的前项和公式； （2）利用错位相减法能证明等比数列的前项和公式． 【详解】 （1）等差数列中，， ，① ，② ①②，得：， 等差数列前项和公式，得证． （2）在等比数列中，， 当时，，， 当时，，③ ，④ ③④，得：， ，得证． 地 城 考点06 等差数列性质运用 51．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)在等差数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质可求得的值. 【详解】在等差数列中，，故. 故选：C. 52．(21-22高二上·陕西西安阎良区·期末)已知等差数列，且，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质求得正确答案. 【详解】由于数列是等差数列， 所以. 故选：B 53．(17-18高一·云南宾川县第四高级中学·月考)若是等差数列，首项，，，则使前n项和成立的最大自然数n是　　 A．46 B．47 C．48 D．49 【答案】A 【分析】首先判断出a23＞0，a24＜0，进而a1+a46=a23+a24＞0，所以可得答案． 【详解】∵{an}是等差数列，并且a1＞0，a23+a24＞0，a23•a24＜0 可知{an}中，a23＞0，a24＜0，∴a1+a46=a23+a24＞0 所以， 故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是46， 故答案为：A 【点睛】等差数列的性质灵活解题时技巧性强，根据等差数列的概念和公式，可以推导出一些重要而便于使用的变形公式．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果． 54．(23-24高二上·河南商丘第二高级中学·月考)在等差数列中，若是方程的两根，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质求得正确答案. 【详解】由于是方程的两根， 所以，即. 故选：A 55．(19-20高一下·上海金山区华东师大三附中·期末)等差数列与的前项和分别为和，且，则 【答案】 【分析】根据等差数列与的前项和分别为和，有，即可求解. 【详解】等差数列与的前项和分别为和， 则有： 同理： 所以 【点睛】此题考查等差数列的性质，前项和与通项公式之间的关系，即通过，求解两个等差数列特殊项的比值关系. 56．(23-24高三上·甘肃酒泉·)已知等差数列的前项和为，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的前项和为，所以成等差数列，代入数据即可求解. 【详解】因为等差数列的前项和为， 所以，，，成等差数列， 所以，解得， 所以，所以，解得. 故答案为：. 57．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知圆的方程为，过点的2025条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则（    ） A．5 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【分析】分别确定过点的最短弦长和最长弦长，再由弦长公式求出弦长，然后由等差中项的性质计算即可； 【详解】由题意知的圆心为，半径， 又可得点在圆内， 所以过点的最短弦长是与过点的直径垂直的弦长，， 由弦长公式可得， 过点的最长弦长为直径，所以， 又过点的2025条弦长组成一个等差数列， 所以，所以. 故选：C. 58．(24-25高二上·甘肃白银·期末)在等差数列中，，则（    ） A．20 B．10 C． D．5 【答案】D 【分析】应用等差中项的性质有，结合已知即可求. 【详解】根据题意，得，则. 故选：D 59．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)已知数列的前n项和，其中. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据计算即可求解； （2）由（1）得，结合裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由题意知， 当时，； 当时，， 符合上式，所以，， （2）由（1）知，则， 所以， 得，. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列的简单表示方法与等差数列 6大高频考点概览 考点01 利用an与Sn关系求通项或项 考点02 构造/累加/观察/累乘法求数列通项公式 考点03 递推数列与数列的增减性及周期性质 考点04 等差数列及其通项公式 考点05 等差数列前n项和 考点06 等差数列性质运用 地 城 考点01 利用an与Sn关系求通项或项 1．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)已知数列的首项为，前项和为，且，则（    ） A．数列是等比数列 B．是等比数列 C． D．数列的前项和为 2．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知数列的前项和公式为，则通项公式 . 3．(24-25高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)已知数列的前项和，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 4．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 5．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)设数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值及对应的值. 6．(24-25高二上·甘肃多校·期末)已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 7．(24-25高二上·甘肃定西岷县·期末)已知数列的前项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前20项和. 8．(23-24高二上·安徽滁州中学·期末)已知数列的前n项和为，，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 9．(24-25高二上·甘肃庆阳环县第一中学·期末)已知数列的前n项和.求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前n项和. 地 城 考点02 构造/累加/观察/累乘法求数列通项公式 10．设数列的前n项和为，已知，，若，则正整数k的值为（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 11．(23-24高二上·河南商丘第二高级中学·月考)（多选）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，则下列选项正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D．若，则最大正整数为8 12．已知数列中，，当时，，则的通项公式为 ． 13．(21-22高二下·湖北鄂东南三校联考·)已知数列的前项和为，则 . 14．(24-25高二上·甘肃·期末)已知数列的首项为，且满足，数列是首项为2，各项均为正数的等比数列，且是和的等差中项． (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 15．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题. (1)求数列的通项公式； (2)若，且，设数列的前项和为，求证：. 16．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知数列满足，当时，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 17．已知数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 18．(20-21高二上·山东烟台·期末)数列2，，6，，…的通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 19．(24-25高二上·甘肃多校·期末)数列的一个通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 20．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)在数列中，首项，时，，则数列的前项和为 . 地 城 考点03 递推数列与数列的增减性及周期性质 21．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)设数列满足，则的值为 . 22．(21-22高二上·福建三明第一中学·月考)已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 23．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D． 24．(24-25高二上·安徽蚌埠固镇县毛钽厂实验中学·月考)斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列满足，，设，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 25．(24-25高二上·甘肃定西岷县·期末)已知数列满足，，则（    ） A．2 B．1 C． D．-1 26．(23-24高二上·江苏南通如皋·月考)设数列满足，且，则（    ） A．-2 B． C． D．3 27．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)若数列满足，，数列的前项和为，且，则（   ） A． B．是等比数列 C．数列的前项和 D． 28．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)若数列：满足，则数列为E数列，记. (1)写出一个满足，且的数列. (2)若，，证明：E数列是递增数列的充要条件是. (3)对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得?如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，请说明理由. 地 城 考点04 等差数列及其通项公式 29．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)在数列中，，则的值为（    ） A．96 B．98 C．100 D．102 30．(24-25高二上·甘肃武威凉州区·开学考)已知是数列的前项和，，数列是公差为1的等差数列，则（   ） A．479 B．480 C．291 D．290 31．(24-25高二上·甘肃·期末)已知数列是等差数列，公差为2，且满足，则等于（   ） A．34 B．30 C．28 D．22 32．(24-25高二上·甘肃定西岷县·期末)数列的前项和为，且，下列说法正确的是（    ） A．若数列为等差数列，则的公差为1 B．若数列为等差数列，则的首项为1 C． D． 33．(21-22高二上·河南部分名校大联考·期末)已知等差数列的前n项和为，，，则 ． 34．(24-25高二上·甘肃庆阳环县第一中学·期末)已知递减等差数列，，是方程两个实根，当时， . 35．(24-25高二上·甘肃甘南藏族合作第一中学·期末)已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 36．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知等差数列的公差为，是等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 37．(24-25高二上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设． (1)求抛物线的方程； (2)求证：数列是等差数列，并求、； (3)求的面积． 38．(23-24高二上·浙江温州温州中学·月考)已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 39．已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和． 地 城 考点05 等差数列前n项和 40．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)已知等差数列满足，则的前10项和为（   ） A．5 B．10 C．20 D．30 41．(24-25高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)设为等差数列的前项和，若，则（    ） A．8 B．12 C．18 D．24 42．(23-24高二上·安徽滁州中学·期末)已知数列，，，且，则数列的前2023项之和为（   ） A．0 B．2 C．2024 D．4048 43．已知数列是等差数列，，是方程的两根，则数列的前20项和为（    ） A． B． C．15 D．30 44．(23-24高二上·河北邢台部分重点高中·期末)等差数列的前项和为，公差，，则（    ） A． B． C． D． 45．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)等差数列的前n项和为，若，，，则（   ） A． B．数列是递减数列 C． D． 46．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知等比数列的前项积为，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的公比为 C． D． 47．(23-24高二上·广西玉林博白县五校·)已知等差数列的前项和，且，，则下列选项不正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D． 48．(24-25高二上·内蒙古部分名校·期末)已知是各项都为正整数的递减数列，若，则的最大值为 ；当取最大值时，的最小值为 ． 49．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)已知正实数，为常数，且，无穷数列的各项均为正整数，且对任意正整数，恒成立. (1)证明：无穷数列为等比数列； (2)若，，求的通项公式及数列的前项和； (3)若，求数列的前项和. 50．(23-24高二下·贵州毕节金沙县第五中学·月考)（1）推导等差数列前项和公式； （2）推导等比数列前项和公式. 地 城 考点06 等差数列性质运用 51．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)在等差数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 52．(21-22高二上·陕西西安阎良区·期末)已知等差数列，且，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 53．(17-18高一·云南宾川县第四高级中学·月考)若是等差数列，首项，，，则使前n项和成立的最大自然数n是　　 A．46 B．47 C．48 D．49 54．(23-24高二上·河南商丘第二高级中学·月考)在等差数列中，若是方程的两根，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 55．(19-20高一下·上海金山区华东师大三附中·期末)等差数列与的前项和分别为和，且，则 56．(23-24高三上·甘肃酒泉·)已知等差数列的前项和为，且，，则 ． 57．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知圆的方程为，过点的2025条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则（    ） A．5 B．6 C．9 D．10 58．(24-25高二上·甘肃白银·期末)在等差数列中，，则（    ） A．20 B．10 C． D．5 59．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)已知数列的前n项和，其中. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $