1.1 第1课时 数列的概念与表示(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

　数　列 1.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与表示 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式),会由数列的前几项归纳出通项公式.会用数列的通项公式写出数列的任意一项. 2.理解数列是一种特殊函数,并能通过函数思想研究数列的性质. 逐点清(一)　数列的概念与分类 [多维理解] 定义 按照一定顺序排成的一列数叫作数列 项 数列中的每一个数叫作这个数列的项,排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项,排在第二位的数叫作数列的第2项,…,排在第n位的数叫作数列的第n项 一般形式 数列的一般形式可以写成a1,a2,…,an,…,简记为{an} 按项的 个数分类 只有有限多项的数列称为有穷数列,有无穷多项的数列称为无穷数列 |微|点|助|解| (1){an}与an是两个不同的概念:{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,而an只表示数列{an}的第n项. (2)同一个数可以在数列中重复出现,在表示数列时不要漏写“{　}”,{an}中的小写字母a也可以换成其他字母. (3)数列与数集是两个不同的概念,它们的主要区别:数集中的元素具有无序性和互异性,数列中的项是有序的且可以相同,即如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列. [微点练明] 1.下列各项表示数列的是 (　　) A.a,b,c,…,x,y,z B.2 019,2 020,2 021,…,2 025 C.锐角三角形,直角三角形,钝角三角形 D.a+b,a-b,ab,2a 解析:选B　数列必须由数组成,A、C、D中均不是数. 2.下列有关数列的说法正确的是 (　　) A.同一数列的任意两项均不可能相同 B.数列-2,0,2与数列2,0,-2是同一个数列 C.{2,4,6,8}是有穷数列 D.数列中的每一项都与它的序号有关 解析:选D　常数列中任意两项都是相同的,所以A不正确;数列-2,0,2与2,0,-2中数字的排列顺序不同,不是同一个数列,所以B不正确;{2,4,6,8}表示一个集合,不是数列,所以C不正确;根据数列的定义知,数列中的每一项与它的序号是有关的,所以D正确.故选D. 3.下列各组元素能构成数列吗?如果能,构成的数列是有穷数列,还是无穷数列?请说明理由. (1)8,8,8,8;(2)-3,-1,1,x,5,7,y,11; (3)当n分别取1,2,3,4,…时,(-1)n的值排成的一列数. 解:(1)能构成数列,且构成的数列是有穷数列. (2)当x,y均代表数时是数列,此时构成的数列是有穷数列;当x,y中有一个不代表数时,便不能构成数列,这是因为数列必须是由一列数组成的. (3)能构成数列,且构成的是无穷数列.所构成的数列是-1,1,-1,1,…. 逐点清(二)　数列的通项公式 [多维理解] 　　如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示,那么这个公式就称为数列{an}的通项公式. |微|点|助|解| (1)数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式,即an=f(n).数列的通项公式必须适合数列中的任何一项. (2)已知通项公式an=f(n),那么只需依次用1,2,3,…代替公式中的n,就可以求出数列的各项. (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式,如an=(-1)n还可以写成an=(-1的形式等. (4)并不是所有的数列都有通项公式,就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样. [微点练明] 1.已知数列{an}的通项公式为an=n2+2n,若第2m项是第m项的3倍,则m=　　　　.  解析:由题得a2m=3am,又a2m=4m2+4m,am=m2+2m,所以4m2+4m=3m2+6m,解得m=0(舍去)或m=2. 答案:2 2.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N+). (1)计算a3+a4的值; (2)是不是该数列中的项?若是,应为第几项?若不是,请说明理由. 解:(1)数列{an}中,an=,a3==,a4==,所以a3+a4=+=. (2)若为数列{an}中的项,则=, 即n(n+2)=120,整理得n2+2n-120=0,而n∈N+,解得n=10, 所以是数列{an}的第10项. 3.已知无穷数列1×2,2×3,3×4,…,n(n+1),…. (1)求这个数列的第10项和第31项. (2)420是不是这个数列中的项?如果是,是第几项? (3)证明:60不是这个数列中的项. 解:(1)因为无穷数列1×2,2×3,3×4,…,n(n+1),…,所以该数列的通项公式为an=n(n+1), 则a10=10×(10+1)=110,a31=31×(31+1)=992. (2)因为an=n(n+1),将420代入,得n(n+1)=420,解得n=20或n=-21(舍去), 所以420是这个数列中的第20项. (3)证明:因为an=n(n+1), 将60代入,得n(n+1)=60,即n2+n-60=0,解得n=-+(舍负), 又n∈N+,故n=-+不满足题意, 所以60不是这个数列中的项. 逐点清(三)　求数列的通项公式 [典例]　写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数: (1)a,b,a,b,…; (2),,,,…; (3)1,-3,5,-7,9,…; (4)-,,-,,…; (5),2,,8,,…; (6)-3,33,-333,3 333,…. 解:(1)数列的奇数项为a,偶数项为b,因此通项公式可用分段形式来表示,记为an=也可记为an=+(-1)n+1·,n∈N+. (2)这个数列的前4项为,,,, 其分母都是序号n加上1,分子都是分母的平方减去1,故an=,n∈N+. (3)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…,是连续的奇数,且奇数项为正,偶数项为负,故an=(-1)n+1(2n-1),n∈N+. (4)这个数列的前4项为-,,-,,它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故an=,n∈N+. (5)数列的项有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察,该数列为,,,,,…,其分母都是2,分子都是序号的平方,故an=,n∈N+. (6)因为-3=(-1)1××(10-1),33=(-1)2××(100-1),-333=(-1)3××(1 000-1), 所以an=,n∈N+. 　　|思|维|建|模| 　　用观察归纳法写出一个数列的通项公式,体现了由特殊到一般的思维规律,可参考以下思路: (1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等. (2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系式. (3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再以(-1)n或(-1处理符号. (4)对于周期数列可以考虑拆成几个简单数列之和的形式或利用周期函数来解决,如三角函数等. (5)对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳. 　　[针对训练] 　根据所给数列的前几项写出数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,…; (2),,,,…; (3)-,,-,,…; (4)1,2,3,4,…. 解:(1)an=2n+1. (2)∵=,=, ∴原数列可变形为,,,,…, 可知各项分母均等于17减去项数的3倍,故得an=,n∈N+. (3)各项绝对值依次为:,,,,…,可见这一数列第n项的分子为2n,而各项的分母等于分子的平方减去1,故这一数列第n项的绝对值为,再注意到原数列的奇数项为负,偶数项为正,故第n项的符号由符号因式(-1)n决定,∴an=(-1)n·,n∈N+. (4)∵1=1+,2=2+, 3=3+,4=4+, 故an=n+. [课时检测] 1.[多选]下列数列中,是无穷数列的是 (　　) A.1,,,,… B.-1,-2,-3,-4 C.-1,-,-,-,… D.1,,,…, 答案:AC 2.已知an=3n-2,则数列{an}的图象是 (　　) A.一条直线 B.一条抛物线 C.一个圆 D.一群孤立的点 解析:选D　数列{an}的通项公式为an=3n-2,可以看作为an关于n的一次函数,变量n∈N+,数列若用图象表示,从图象上看是一群孤立的点.故选D. 3.已知数列{an}的一个通项公式为an=a·3n-1,且a2=8,则a4= (　　) A.1 B.2 C.26 D.80 解析:选D　因为a2=8,代入通项公式可得a2=a·32-1=9a-1=8,解得a=1,所以an=3n-1,所以a4=34-1=80. 4.已知数列0,lg 2,lg 3,lg 4,…,根据该数列的规律,该数列中小于1的项有 (　　) A.8项 B.9项 C.10项 D.11项 解析:选B　根据规律可得该数列的通项公式为an=lg n,由lg n<1得n<10.∵n∈N+,∴该数列中小于1的项有9项. 5.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,则下列结论正确的是 (　　) A.a7=8 B.a8=21 C.a9=33 D.a10=59 解析:选B　由题得a6=a4+a5=8⇒a7=a5+a6=13⇒a8=a6+a7=21,a9=a7+a8=34⇒a10=a8+a9=55.故B正确. 6.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲,西方称之为 “中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2 020 这2 020个数中,被2除余1,且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则a18= (　　) A.161 B.171 C.181 D.191 解析:选B　由题意可知an-1既是2的倍数,也是5的倍数,即an-1是10的倍数,则an-1=10(n-1)(n∈N+), 故a18=10×(18-1)+1=171. 7.数列-1,,-,,…的一个通项公式是 (　　) A.an=(-1)n· B.an=(-1)n· C.an=(-1)n· D.an=(-1)n· 解析:选A　由数列-1,,-,,…可知:奇数项的符号为“-”,偶数项的符号为“+”,其分母为奇数2n-1,分子为n2.∴此数列的一个通项公式an=(-1)n·. 8.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则此数列的第40项为 (　　) A.648 B.722 C.800 D.882 解析:选C　由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,可得偶数项的通项公式为a2n=2n2.则此数列第40项为2×202=800. 9.[多选]已知数列{an}的前5项依次如图所示,则{an}的通项公式可能为 (　　) A.an=sin B.an=|n-3|-1 C.an= D.an=(n-3)2-1 解析:选ABC　an=sin 时,a1=sin =1,a2=sin =0,a3=sin =-1,a4=sin =0,a5=sin =1,满足题意,故A正确; an=|n-3|-1时,a1=|1-3|-1=1,a2=|2-3|-1=0,a3=|3-3|-1=-1,a4=|4-3|-1=0,a5=|5-3|-1=1,满足题意,故B正确; an=时,a1=-1+2=1,a2=-2+2=0,a3=-3+2=-1,a4=4-4=0,a5=5-4=1,满足题意,故C正确; an=(n-3)2-1时,a1=(1-3)2-1=3,不满足题意,故D错误. 10.(5分)已知数列1,2,,,,…,则 是这个数列的第　　　项.  解析:原数列前几项可以看为,,,,,根据此规律可得数列通项公式为an=. 令3n-2=22,则n=8. 答案:8 11.(5分)如图所示是一个按某种规律排列的数阵,根据规律,自然数2 025应该排在从上向下数的第m行,是该行中从左向右数的第n个数,那么m+n的值是　　　.  解析:根据图中规律可知,每一行的最后一个数为1,4,9,16,…,且个数为1,3,5,7,…,则第n行的最后一个数为n2,个数为2n-1,k∈N+,因为2 025=452,所以2 025排在第45行最后一个,又第45行个数为2×45-1=89,所以m=45,n=89,所以m+n=134. 答案:134 12.(5分)定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫作等和数列,这个常数叫作该数列的公和.已知数列{an}是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a8的值为　　　　.  解析:根据“等和数列”的定义可知,数列{an}的规律为a1=2,a2=3,a3=2,a4=3,…,即奇数项为2,偶数项为3. 所以a8的值为3. 答案:3 13.(10分)数列{an}的通项公式是an=,n∈N+. (1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项?(5分) (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?(5分) 解:(1)令an==0,解得n=21或n=0(舍去),所以0是{an}中的第21项. 令an==1,解得n=∉N+, 所以1不是{an}中的项. (2)假设{an}中存在第m项与第m+1项相等, 则am=am+1,即=, 解得m=10.所以数列{an}中存在连续的两项,第10项与第11项相等. 14.(10分)已知数列{an}的通项公式an=,n∈N+. (1)写出它的第10项;(2分) (2)判断是不是该数列中的项;(3分) (3)求an+1及a2n.(5分) 解:(1)a10===. (2)令an==,当n为偶数时,=, 整理得8n2-33n-35=0,解得n=-或n=5. 因为n∈N+且n为偶数,所以原方程无解; 当n为奇数时,∵n∈N+,∴an<0, ∴不是该数列中的项. 综上所述,不是该数列中的项. (3)an+1= =; a2n==. 学科网（北京）股份有限公司 $$