精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

哈尔滨市第三十二中学校 2024-2025学年度（下）学期 高二数学期中考试卷 考生须知 1．考生要认真填写班级和姓名. 2．本试卷共2页，分为两卷，第I卷选择题11小题（共58分）；第II卷非选择题（共92分）.满分150分.考试时间120分钟. 3．试题所有答案必须书写在答题卡上. 4．考试结束后，考生将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回. 第I卷 选择题（共58分） 一、选择题（单选题，每个小题5分，共40分，其中第2、7题选一题作答） 1. 已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长. 【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上， 所以，解得，所以椭圆的长轴长为． 故选：B. 2. 下列求导过程错误的选项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：B. 3. 现有四所学校，每所学校出2名教师参加学科比武大赛，现有4名教师得奖，获奖教师中恰有2名教师来自同一学校的有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 96种 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理，组合计数问题列式求解. 【详解】从4所学校任取1所的2名教师，再从余下3所学校取2所，并分别取1名教师， 所求的不同方法种数为. 故选：B 4. 若等比数列满足，，则数列的公比等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】， ， 所以， 故选：C. 5. 数列的前项和为，则等于（ ） A. 1011 B. C. 2022 D. 【答案】A 【解析】 【分析】列出式子即可求解. 【详解】． 故选：A. 6. 在等差数列中，，则（ ） A. 45 B. 9 C. 18 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，即可求解. 【详解】因为，所以，. . 故选：C. 7. 为等差数列的前项和，已知，则为（ ） A. 5 B. 8 C. 11 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】设出等差数列的公差，由已知列方程求得公差，代入等差数列的通项公式得答案. 【详解】设等差数列的公差为，由， 得，，解得. 所以. 故选：C. 8. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据乘法的求导公式直接求导，进而得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B． 9. 为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量．3月5日学雷锋纪念日来临之际，盐城某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共4个题目，三位参赛学生从中随机选取一个题目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型，结合排列和分步计数原理来进行计算即可. 【详解】记甲、乙、丙三位同学选到互不相同题目的事件记为， 则， 故选：C. 10. 数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的周期性计算得出即可求解. 【详解】数列中，因为，所以， 数列周期为3， 则. 故选：A. 二、选择题（多选题，每个小题6分，共18分，选错不给分，少选每题2分，其中第9题选一题作答） 11. 已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 是的极小值点 D. 是的极小值点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象中导数的正负情况结合导数与单调性的关系、极值点得定义即可得解. 【详解】由图可知：当时，， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上也单调递增，故A正确，BD错误； 又由图可知，且左边导数， 所以函数在左边附近单调递减，故是的极小值点.故C正确. 故选：AC 12. 若的展开式的各二项式系数之和为32，则（   ） A. B. 展开式中所有项的系数和为32 C. 展开式中常数项为32 D. 展开式中x的奇次项的系数和为123 【答案】AC 【解析】 【分析】由二项式系数和公式可得即可确定A；取求得展开式的系数和判断B；求出常数项判断C；利用赋值法可求x的奇次项的系数和判断D. 【详解】根据题意，展开式的各二项式系数之和为，故A正确； 取，所以展开式中所有项的系数和为，故B错误； 展开式中常数项为，故C正确； 设， 则时，， 时，， 两式相减得，则，故D错误； 故选：AC. 13. 已知数列的通项公式为则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】计算即可判断AB选项，计算出即可判断CD选项. 【详解】因为以， ，所以A错误，B正确； ，故C正确； 因为，所以，所以，故D错误． 故选：BC. 14. 已知数列满足：，则以下说法正确的是（ ） A. 数列为单调递减数列 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据数列通项公式判断单调性，写出相关项依次判断其它各项正误. 【详解】因为， 所以， 所以为递减数列，A对； 易知，则，B错； 由，故，C错； 由，故，D对. 故选：AD 第II卷 非选择题（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，其中第12题选一题作答） 15. 若直线是曲线在处的切线，则的斜率为__________. 【答案】35 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出斜率. 详解】由已知，则，所以当时. 故答案为：35. 16. 已知，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用组合数的性质，即可求解. 【详解】因为，则或，解得或， 又，所以，则， 故答案为：. 17. 已知公差不为的等差数列的首项，且，，成等比数列，则数列的通项公式 为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设数列的公差为，由，，成等比数列可得，由等差数列的通项公式可求得的值，进而求出数列的通项公式. 【详解】设数列的公差为，由，，成等比数列可得， 且， 即， 则， 所以． 故答案为:. 18. “杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，是中国古代数学文化的瑰宝之一.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为、⋯，第行的第3个数字为，则________，数列的前项和________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先利用二项式系数，得，再进行组合数计算即可.利用裂项相消求得前项和. 【详解】由题意知，． 故答案：，. 四、解答题（共77分，其中第15、18题选一题作答） 19. 分别求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】按求导公式和法则逐问求导即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 因为，所以． 【小问3详解】 . 20. 截至2025年2月13日晚，电影《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）总票房（含预售）已突破100亿元，观影人次破2亿，成为中国影史首部票房破100亿且观影人次破2亿的电影，登顶全球影史单一市场票房榜，暂列全球票房榜第17名．按照猫眼专业版AI预测，其最终票房将达到153.38亿，若达成则有望超越电影《星球大战：原力觉醒》的150.19亿票房，排名全球前五．银河影院为了解观众是否喜欢电影与性别有关，调查了400名学生（男女各一半）的选择，发现喜欢该电影的人数是300，喜欢该电影的女生比男生少60人． （1）完成下面的列联表； 喜欢电影 不喜欢电影 总计 女生 男生 总计 （2）根据调查数据回答：有的把握认为是否喜欢电影与性别有关吗？ 附：． 临界值表如下： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）填表见解析 （2）有的把握认为是否喜欢电影与性别有关. 【解析】 【分析】小问1，可设喜欢电影的男生人数为，喜欢电影的女生人数为，根据题意求出和的值完成列表即可，小问2，先假设对电影的喜好与否与性别没有关系，然后选取，代入公式计算，通过比较与表中给出的临界值可得假设错误，即对电影的喜好与否与性别有关. 【小问1详解】 设喜欢电影的男生人数为，喜欢电影的女生人数为，有，解得. 计算得到不喜欢该电影的男生人数为，不喜欢该电影的女生人数为.填表如下： 喜欢电影 不喜电影 总计 女生 120 80 200 男生 180 20 200 总计 300 100 400 【小问2详解】先假设是否喜欢哪吒电影与性别无关. 在表格中选取，根据公式计算： 说明是否喜欢哪吒电影与性别有关的可能性在以上. 21. 已知数列的前项和为，对一切正整数，点在函数的图象上. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求解； （2）利用等比数列的定义知数列是等比数列，再分组求和，利用等差、等比数列前项和公式，即可求解. 【小问1详解】 由题设知，当时，， 当时，， 经验证，满足， 所以. 【小问2详解】 因为，则， 又为常数，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以 . 22. 如图，是抛物线上异于顶点的两个动点，直线过抛物线的焦点，且焦点到准线的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由焦点到准线的距离求解出的值，则得抛物线的方程；（ （2）设直线的方程为，与抛物线的方程联立，利用弦长公式解出，求出点到直线的距离，即可求得的面积. 【小问1详解】 抛物线的焦点到准线的距离为2， ，抛物线的方程为． 【小问2详解】 由题意得，且直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设点，，由，消去，得， ，，， ，解得． 点到直线的距离， ， 所以的面积为． 23. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. （1）求a的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在上的最大值、最小值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为. （3）最大值为40，最小值为. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值； （2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解； （3）求出在上的单调性，即可利用单调性求出最值. 【小问1详解】 因为，则， 则，而直线的斜率为， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，所以，定义域为，且. 令，即，化简可得，解得， 当，即时，解得或， 所以的单调递增区间为和， 当即时，解得， 所以的单调递减区间为. 综上，得单调增区间为和，单调减区间为. 【小问3详解】 由（2）知，其单调增区间为和，单调减区间为， 所以在上单调递减，在上单调递增，为其极小值点， 则 0 4 0 减函数 增函数 40 综上，函数在上的最大值为，最小值为. 24. 假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球与2个红球，第二个盒子里装有2个白球与4个红球，这些小球除颜色外完全相同. （1）从两个盒子中分别取出一个球，求取到红球的概率； （2）每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率； （3）若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型结合对立事件概率计算求解； （2）应用对立事件及条件概率公式计算求解； （3）应用全概率公式计算求解. 【小问1详解】 记“取到红球”为事件， 则， 即取到红球的概率为. 【小问2详解】 依题意，记事件表示第次从第一个盒子里取出红球，记事件表示两次取球中有红球， 则， 即所求概率为. 【小问3详解】 记事件表示从第一个盒子里取出红球，记事件表示从第一个盒子里取出白球，记事件表示从第二个盒子里取出红球， 则. 即所求概率为. 25. 已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前n项和，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据等差中项的性质和等比数列定义求解；(2)利用错位相减法求和即可证明. 【小问1详解】 因为，，成等差数列，所以， 又因为数列的公比为2，所以， 即，解得，所以． 小问2详解】 由（1）知，则， 所以， ① ， ② ①②得 ． 所以． 又因为， 所以是递增数列，所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 哈尔滨市第三十二中学校 2024-2025学年度（下）学期 高二数学期中考试卷 考生须知 1．考生要认真填写班级和姓名. 2．本试卷共2页，分为两卷，第I卷选择题11小题（共58分）；第II卷非选择题（共92分）.满分150分.考试时间120分钟. 3．试题所有答案必须书写在答题卡上. 4．考试结束后，考生将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回. 第I卷 选择题（共58分） 一、选择题（单选题，每个小题5分，共40分，其中第2、7题选一题作答） 1. 已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（ ） A. B. C. D. 2. 下列求导过程错误的选项是（ ） A. B. C. D. 3. 现有四所学校，每所学校出2名教师参加学科比武大赛，现有4名教师得奖，获奖教师中恰有2名教师来自同一学校有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 96种 4. 若等比数列满足，，则数列的公比等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 数列的前项和为，则等于（ ） A 1011 B. C. 2022 D. 6. 在等差数列中，，则（ ） A. 45 B. 9 C. 18 D. 36 7. 为等差数列前项和，已知，则为（ ） A. 5 B. 8 C. 11 D. 13 8. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 9. 为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量．3月5日学雷锋纪念日来临之际，盐城某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共4个题目，三位参赛学生从中随机选取一个题目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为（       ） A. B. C. D. 10. 数列中，，，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 二、选择题（多选题，每个小题6分，共18分，选错不给分，少选每题2分，其中第9题选一题作答） 11. 已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 是的极小值点 D. 是的极小值点 12. 若的展开式的各二项式系数之和为32，则（   ） A. B. 展开式中所有项的系数和为32 C. 展开式中常数项为32 D. 展开式中x的奇次项的系数和为123 13. 已知数列的通项公式为则（ ） A. B. C. D. 14. 已知数列满足：，则以下说法正确的是（ ） A. 数列为单调递减数列 B. C. D. 第II卷 非选择题（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，其中第12题选一题作答） 15. 若直线是曲线在处的切线，则的斜率为__________. 16. 已知，则__________ 17. 已知公差不为的等差数列的首项，且，，成等比数列，则数列的通项公式 为____________． 18. “杨辉三角”最早出现在中国数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，是中国古代数学文化的瑰宝之一.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为、⋯，第行的第3个数字为，则________，数列的前项和________． 四、解答题（共77分，其中第15、18题选一题作答） 19. 分别求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）． 20. 截至2025年2月13日晚，电影《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）总票房（含预售）已突破100亿元，观影人次破2亿，成为中国影史首部票房破100亿且观影人次破2亿的电影，登顶全球影史单一市场票房榜，暂列全球票房榜第17名．按照猫眼专业版AI预测，其最终票房将达到153.38亿，若达成则有望超越电影《星球大战：原力觉醒》的150.19亿票房，排名全球前五．银河影院为了解观众是否喜欢电影与性别有关，调查了400名学生（男女各一半）的选择，发现喜欢该电影的人数是300，喜欢该电影的女生比男生少60人． （1）完成下面的列联表； 喜欢电影 不喜欢电影 总计 女生 男生 总计 （2）根据调查数据回答：有的把握认为是否喜欢电影与性别有关吗？ 附：． 临界值表如下： 0.10 0.05 0.01 0.005 0001 2.706 3.841 6635 7.879 10.828 21. 已知数列的前项和为，对一切正整数，点在函数的图象上. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 22. 如图，是抛物线上异于顶点的两个动点，直线过抛物线的焦点，且焦点到准线的距离为2． （1）求抛物线的方程； （2）若，求的面积． 23. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. （1）求a的值； （2）求函数的单调区间； （3）求函数在上的最大值、最小值. 24. 假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球与2个红球，第二个盒子里装有2个白球与4个红球，这些小球除颜色外完全相同. （1）从两个盒子中分别取出一个球，求取到红球的概率； （2）每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率； （3）若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率. 25. 已知数列是公比为2的等比数列，，，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前n项和，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$