精品解析：贵州省贵阳市南明区贵州师范大学贵安新区附属初级中学2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

贵州师范大学贵安新区附属初级中学 2024-2025学年度第二学期4月质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的定义解答． 【详解】解：2的相反数是， 故选：B． 【点睛】此题考查了相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数，正确理解定义是解题的关键． 2. 下列几何体中，主视图是三角形的为（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别判断出各选项中的几何体的主视图，即可得出答案. 【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意； B、球的主视图是圆，故本选项不符合题意； C、长方体的主视图是长方形，故本选项不符合题意； D、三棱柱的主视图是长方形，故本选项不符合题意； 故选：A. 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知常见几何体的主视图是解本题的关键. 3. 马拉松是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42000米，用科学记数法表示42000（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选：B． 4. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是根据积和乘方将原式化简即可． 【详解】解：． 故选：B． 5. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再结合三角板的特征利用平角定义即可算出的度数． 【详解】解：如下图进行标注， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了平行线性质，三角形平角的定义，利用三角板的特点求出结果是解答本题的关键． 6. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如下表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（　　） 时间/小时 7 8 9 10 人数 3 7 6 4 A. 8，8 B. 8，8.5 C. 9，8.5 D. 9，9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求众数和中位数，根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数为排序后位于中间一位或两位的平均数，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知：出现次数最多的数据为8，位于中间两位的数据为8，9， ∴众数为8，中位数为， 故选B． 7. 如图，在中，，是边上的高，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握30度所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．先根据是边上的高，得到，由直角三角形两锐角互余可得，进而得到，根据30度所对的直角边等于斜边的一半可得；即可解答． 【详解】解：是边上的高， ， ， ，， ， ， 在中，，， ， ， 故选：C． 8. 一副不含大小王的扑克牌共有张，从中随机抛取1张，下列事件发生的概率最大的是（ ） A. 抽到的牌是“K” B. 抽到的牌是“红桃K” C. 抽到的牌是“黑桃Q” D. 抽到的牌是黑桃 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算．熟练掌握简单的概率计算是解题的关键． 分别求出各选项的概率，比较大小，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，抽到的牌是“K” 的概率为； 抽到的牌是“红桃K” 的概率为； 抽到的牌是“黑桃Q” 的概率为； 抽到的牌是黑桃的概率为； ∵， ∴抽到的牌是黑桃的概率最大， 故选：D． 9. 我国古代著作《增删算法统宗》中有这样一道题，其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设孩童有x名，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意列出一元一次方程是解决问题的关键． 设孩童有名，根据“每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完”，列方程即可得到答案． 【详解】解：设孩童有名， 根据题意可得：， 故选：D． 10. 如图是关于x的二次函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 根据抛物线开口方向、对称轴和与轴的交点，确定、、的符号，从而判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴的正半轴相交， ， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ， ， ∴，，，，故B、C、D错误，不符合题意；A正确，符合题意； 故选：A． 11. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作于M，由勾股定理可求得，由题意可证明，则可得，从而有，在中，由勾股定理建立方程即可求得结果． 【详解】解：过点D作于M，如图， 由勾股定理可求得， 由题中作图知，平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的长为为； 故选：D． 【点睛】本题考查了作图：作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用全等的性质、利用勾股定理建立方程是解题的关键． 12. 某生物小组观察一植物生长，得到株高y（厘米）与观察天数x的关系，并画出如图所示的图像（是线段，射线平行于x轴）．下列说法中，错误的是（ ） A. 该植物在50天后停止长高 B. 该植物的株高最高为15厘米 C. AC所在直线对应的函数表达式为 D. 第40天该植物的株高为14厘米 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高，可判断A；设直线的解析式为，然后利用待定系数法求出直线线段的解析式可判断C；把代入②的结论进行计算即可判断B；把代入②的结论进行计算可判断D． 【详解】解： 轴， ∴从第50天开始植物的高度不变，故A的说法正确，不符合题意； 设直线的解析式为， ∵经过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，故C的结论正确，不符合题意； 当时，，即第50天，该植物的高度为16厘米，因此该植物的株高最高为16厘米，故B的说法错误，符合题意; 当时，，即第40天，该植物的高度为14厘米；故D的说法正确，不符合题意. 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，直接提出公因式a即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱，如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点、“马”位于点，则“兵”位于点_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用坐标表示点的位置，建立正确的平面直角坐标系是解题的关键． 按照已知点的坐标建立平面直角坐标系，即可得到答案． 【详解】解：根据题意建立平面直角坐标系如下： 可知“炮”在同一坐标系下的坐标是， 故答案为：． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴实数的取值范围是且． 故答案为：且． 16. 如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】由正方形中“十字架”模型的解法可知，过点作于，可证()，可得，由勾股定理可求，再由“对角形互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半”，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， () ， ， ， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，对角形互相垂直的四边形面积等，掌握正方形中“十字架”模型的解法是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，再计算加减法即可得到答案； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为． 18. 为了了解青少年的形体情况，相关部门随机抽查了某市若干名初中生坐姿、站姿、走姿的好坏情况，对测评数据做了适当处理（如果一个学生有一种以上不良姿势，以他最突出的一种作记载），并根据统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题： （1）被抽查的初中生中，坐姿不良的学生有_________名；这次抽查一共抽查了_________名学生． （2）如果该市有7万名初中生，那么该市初中生中，三姿良好的学生约有多少名？ （3）请根据以上结果，提出一条合理化建议． 【答案】（1）100，500 （2）该市初中生中，三姿良好的学生约有10500名 （3）应该多注意青少年的走姿、坐姿、站姿（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）由条形统计图和扇形统计图就可以看出：坐姿不良的学生有100人，占总人的百分比为，进而求出这次一共抽查的学生人数； （2）由样本估计总体，列式计算即可； （3）由结果即可得到建议：三姿良好的学生数太少，建议开展矫正三姿专题讲座，在平时的站、坐、走的活动中注意保持良好姿势等． 【小问1详解】 解：由条形统计图和扇形统计图就可以看出：坐姿不良的学生有100人，占总人的百分比为， 这次抽查的学生数一共为（名）， 答：这次抽查一共抽查了500名学生； 故答案为：100，500； 【小问2详解】 解：（名）， 答：全市初中生中，三姿良好的学生约有10500名； 【小问3详解】 解：应该多注意青少年的走姿、坐姿、站姿．（答案不唯一，合理即可） 19. 一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地，设第一小时内行驶的速度为． （1）直接用含x的式子表示提速后走完剩余路程所用的时间为_________h； （2）求汽车实际走完全程所用的时间． 【答案】（1）（或） （2）汽车实际走完全程所用的时间为 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，解题的关键是找准等量关系． （1）根据题意，列出代数式即可； （2）设第一小时内行驶的速度为，根据节省的时间列出方程，然后求解并检验，即可获得答案． 【小问1详解】 解：剩余路程所用的时间为：（或）， 故答案为：（或）； 【小问2详解】 解：，根据题意得， ， 解得，经检验，是该分式方程的解， ∴汽车实际走完全程所用的时间为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点在该反比例函数的图象上，且它到x轴的距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，熟知相关知识是解题的关键． （1）把点A坐标代入正比例函数解析式中求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中计算求解即可； （2）先求出点在反比例函数的图象上，根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值得到n的取值范围，进而根据反比例函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴点在反比例函数的图象上， ∵点在该反比例函数的图象上，且它到x轴的距离小于3， ∴， ∴或， ∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象分别在第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大， ∴或． 21. 下面是多媒体上的一道试题： 如图，在菱形中，过点作于点，点在边上，，连接，求证：四边形是矩形． 小星和小红分别给出了自己的思路． 小星：先证明四边形是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证； 小红：先证明与全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证． （1）请你选择一位同学的思路，并进行证明； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 选择小星的思路． 证明：四边形是菱形， ，． ， ， 四边形是平行四边形． ， ， 四边形是矩形； 选择小红的思路． 证明：四边形是菱形， ，． ， ， ， ． ， ， ， 四边形是矩形； （2）的长为 【解析】 【分析】（1）小星的思路．先证明四边形是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证； 小红的思路．由“”可证≌，可得，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证； （2）先在中利用勾股定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， 四边形是菱形， ， ． 在中，， ， 解得． 的长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 22. 爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．王老师周末到公园爬山，爬山路线示意图如图所示，王老师从山脚A出发，沿走到点B，再沿到山顶C．已知山高为，过点B分别作于点D，于点E，，．（图中所有点均在同一平面内） （1）求的长； （2）王老师从山脚A到山顶C共走了多少米？（结果取整数；参考数据：，，） 【答案】（1） （2）王老师从山脚A到山顶C共走了约 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由含30度角的直角三角形的性质可得答案； （2）证明四边形是矩形，得到，则可得到的长，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴王老师从山脚A到山顶C共走了约． 23. 如图，是的直径，，与相交于点．是的切线，与的延长线相交于点，连接． （1）写出一对相等的角； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理即可得出结果； （2）连接，交于点H，根据得到，由是的切线，推出，即可证明结论； （3）设，则，利用勾股定理可得，代入求解即可得的值，再证明是的中位线，即可得答案． 【小问1详解】 解：， （答案不唯一）； 【小问2详解】 证明：连接，交于点H， ， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，交于点H， ， ， 设，则， ， ，即， 解得：， ， 点O点H分别是的中点， 是的中位线， ． 【点睛】此题考查的是圆周角定理、切线的判定与性质，平行线的性质与判定，垂径定理，三角形中位线的性质，正确作出辅助线是解决此题关键． 24. 足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围． 【答案】（1） （2）球不能射进球门，理由： 依题意，当时，， 球不能射进球门． （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，平移规律： （1）依题意，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答． （2）依题意，当时，，即可作答． （3）依题意，设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 再把点和点分别代入，算出的值，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解： ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， 即． 25. 在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动． （1）操作判断 如图1，在中，，点为的中点，于点，于点．在折叠等腰三角形纸片的过程中，不难发现：，的数量关系是 ． （2）迁移探究 如图2，在操作探究过程中，小华发现：对于任意的等腰三角形，若将“点为的中点”改为“点到顶点，的距离相等”，结论仍然成立．请你就图2的情形进行证明． （3）拓展应用 已知是等边三角形，（2）中的其它条件不变，当，是等腰直角三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）相等；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）证明是的角平分线，利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由和是等腰三角形，证明，从而证明，即可证明结论； （3）分点在内部和点在外部两种情况讨论，结合等边三角形和等腰直角三角形的性质即可求出结果． 【详解】（1）证明：相等，理由如下： ，点为的中点， 是的角平分线， ，， ； 故答案为：相等； （2）证明：结论仍成立，理由如下： ， ， 点到顶点，的距离相等， ， ， ，即， ，， ， ； （3）解：若点在内部，如图所示： 是等边三角形， ， 和是等腰直角三角形， ， ，， 在中，， ； 若点在外部，如图所示： 是等边三角形， ， 和是等腰直角三角形， ， ，， 在中，， ； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了三线合一，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，本题的关键是理解题意结合分类讨论思想解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州师范大学贵安新区附属初级中学 2024-2025学年度第二学期4月质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 4 2. 下列几何体中，主视图是三角形的为（　　　） A. B. C. D. 3. 马拉松是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42000米，用科学记数法表示42000（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如下表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（　　） 时间/小时 7 8 9 10 人数 3 7 6 4 A. 8，8 B. 8，8.5 C. 9，8.5 D. 9，9 7. 如图，在中，，是边上的高，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 一副不含大小王的扑克牌共有张，从中随机抛取1张，下列事件发生的概率最大的是（ ） A. 抽到的牌是“K” B. 抽到的牌是“红桃K” C. 抽到的牌是“黑桃Q” D. 抽到的牌是黑桃 9. 我国古代著作《增删算法统宗》中有这样一道题，其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设孩童有x名，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是关于x的二次函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 12. 某生物小组观察一植物生长，得到株高y（厘米）与观察天数x的关系，并画出如图所示的图像（是线段，射线平行于x轴）．下列说法中，错误的是（ ） A. 该植物在50天后停止长高 B. 该植物的株高最高为15厘米 C. AC所在直线对应的函数表达式为 D. 第40天该植物的株高为14厘米 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 分解因式：______． 14. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱，如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点、“马”位于点，则“兵”位于点_______． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 16. 如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为______． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 18. 为了了解青少年的形体情况，相关部门随机抽查了某市若干名初中生坐姿、站姿、走姿的好坏情况，对测评数据做了适当处理（如果一个学生有一种以上不良姿势，以他最突出的一种作记载），并根据统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题： （1）被抽查的初中生中，坐姿不良的学生有_________名；这次抽查一共抽查了_________名学生． （2）如果该市有7万名初中生，那么该市初中生中，三姿良好的学生约有多少名？ （3）请根据以上结果，提出一条合理化建议． 19. 一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地，设第一小时内行驶的速度为． （1）直接用含x的式子表示提速后走完剩余路程所用的时间为_________h； （2）求汽车实际走完全程所用的时间． 20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点在该反比例函数的图象上，且它到x轴的距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围． 21. 下面是多媒体上的一道试题： 如图，在菱形中，过点作于点，点在边上，，连接，求证：四边形是矩形． 小星和小红分别给出了自己的思路． 小星：先证明四边形是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证； 小红：先证明与全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证． （1）请你选择一位同学的思路，并进行证明； （2）若，，求的长． 22. 爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．王老师周末到公园爬山，爬山路线示意图如图所示，王老师从山脚A出发，沿走到点B，再沿到山顶C．已知山高为，过点B分别作于点D，于点E，，．（图中所有点均在同一平面内） （1）求的长； （2）王老师从山脚A到山顶C共走了多少米？（结果取整数；参考数据：，，） 23. 如图，是的直径，，与相交于点．是的切线，与的延长线相交于点，连接． （1）写出一对相等的角； （2）求证：； （3）若，求的长． 24. 足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和），求的取值范围． 25. 在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动． （1）操作判断 如图1，在中，，点为的中点，于点，于点．在折叠等腰三角形纸片的过程中，不难发现：，的数量关系是 ． （2）迁移探究 如图2，在操作探究过程中，小华发现：对于任意的等腰三角形，若将“点为的中点”改为“点到顶点，的距离相等”，结论仍然成立．请你就图2的情形进行证明． （3）拓展应用 已知是等边三角形，（2）中的其它条件不变，当，是等腰直角三角形时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $