精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：（本题共8小题，每题5分，共计40分） 1. 设，其中x，y是实数，则 A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数相等的条件列式求得x，y的值，再由复数模的公式计算. 【详解】，． 由（1-i）x=1+yi，得x-xi=1+yi， ∴x=1,y=-1， 则|x-yi|=|1+i|=． 故答案为B. 【点睛】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题． 2. 已知为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且，，则（ ） A. 0.06 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件和互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】因为B与C互为对立，， 所以， 因为A与B互斥， 所以. 故选：D. 3. 已知函数（且）的图象恒过点，且点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先得出点的坐标，然后可解出，再根据齐次式化简技巧将目标式化简求值. 【详解】根据对数函数的性质，易知点，故， 所以． 故选：D． 【点睛】本题考查对数函数的性质运用，考查同角三角函数关系式的化简求值问题，难度一般.对于齐次式化简求值问题，可分子分母同除以，利用的值求解. 4. 在等比数列中，为方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦达定理及等比数列通项公式下标和性质得，解得，然后利用等比数列通项公式下标和性质求解即可. 【详解】在等比数列中，因为为方程的两根， 所以，所以，所以. 故选：C 5. 若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数在区间上单调递减，得到不等式在恒成立，再根据二次函数根的分布，求实数t的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递减， 所以在恒成立， 所以即解得：. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、利用二次函数根的分布求参数取值范围，考查逻辑思维能力和运算求解能力，求解时要充分利用二次函数的图象特征，把恒成立问题转化成只要研究两个端点的函数值正负问题. 6. 点为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点使（为坐标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】为正三角形，点在椭圆上，代入椭圆方程，计算得到. 【详解】由题意，可设椭圆的焦点坐标为， 因为为正三角形，则点在椭圆上， 代入得，即， 得，解得， 故选B． 【点睛】本题考查了椭圆离心率的计算，意在考查学生的计算能力. 7. 已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】, 因为四点共面，所以， 注意到，从而. 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 8. 已知数列满足，若，则数列的前15项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的关系求出，然后使用裂项相消法可得. 【详解】①， 当时，， 当时，②， ①-②得，所以， 显然也满足上式，所以， 所以， 记数列的前项和为， 则. 故选：A 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. 已知函数在上可导，若，则 C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复合函数的求导法则可判断选项A；根据导数定义可判断选项B；根据导数的求导法则可判断选项CD. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，则． 由，得，即，解得或（舍去），故选项C正确； 对于D，由，得，故，故选项D错误． 故选：AC． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1； B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用简单随机抽样的意义判断A，利用平均数和方差的计算公式判断B，利用百分位数的定义判断C，利用方差的性质判断D. 【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为， 以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确； 对于B，因为数据1，2，，6，7的平均数是，所以， 这组数据的方差是，故B错误； 对于C，该组数据从小到大排列为12，14，15，17，19，23，27，30， 又，即第70百分位数为第6个数为23，故C正确； 对于D，依题意，，则， 故数据的标准差为，故D正确； 故选：ACD 11. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ） A. 以线段为直径的圆与直线相离 B. 以线段为直径的圆与轴相切 C. 当时， D. 的最小值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义和直线与圆的相切关系对四个选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离： 对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误. 对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得， ，所，. 故选:ACD. 【点睛】本题考查了抛物线的定理和圆的切线的性质，属于基础题. 第II卷（共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 若数列满足，则称为“对奇数列”．已知为“对奇数列”，且，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“对奇数列”和等比数列的定义求解即可. 【详解】因为为“对奇数列”，根据定义可得，即， 又，所以是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，则， 故答案为： 13. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，曲线为圆的右半圆，作出直线与曲线的图象，可知直线是过点且斜率为的直线，求出当直线与曲线相切时的值，利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围. 【详解】对于直线，则直线是过点且斜率为的直线， 对于曲线，则， 曲线的方程两边平方并整理得， 则曲线为圆的右半圆，如下图所示： 当直线与曲线相切时，，且有，解得， 当直线过点时，则有，解得. 结合图象可知，当时，直线与曲线有两个交点. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用直线与曲线的交点个数求参数，解题的关键就是将曲线化为半圆，利用数形结合思想求解，同时要找出直线与曲线相切时的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意构造，进而在上是增函数，根据奇偶函数的定义判断的奇偶性，原不等式等价于，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】令， 则， 由当时，，所以， 即在上是增函数， 由题意是定义在上的偶函数，所以， 所以， 所以是偶函数，在递减， 所以，， 即不等式等价为， 所以，解得或． 故答案为：或 四、解答题：（本大题共5小题，共计77分）解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设数列的前项和为，求． 【答案】（1） 证明：依题意，， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义构造证明即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，则， 则， 于是得， 两式相减得 ， 所以. 16. 若函数，当时，函数有极值． （1）求的值. （2）方程有三个不等实根，则实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由题意可得，，解方程求出即可； （2）利用导数画出的大致图象，令与的图象有三个交点，求出的范围即可. 【小问1详解】 由题意可得， 因为函数有极值，所以，解得， 此时，经检验符合题意， 故. 【小问2详解】 由（1）可知，令，解得或， 当变化时，，的变化情况如表， 单调递增 单调递减 单调递增 所以当时，有极大值；当时，有极小值． 则函数的图象如图所示： 由图象知要使关于的方程有三个不等实根，则应满足， 即实数的取值范围是. 17. 如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． （1）证明：平面平面； （2）已知是线段上的点，它到直线的距离为，求直线与平面所成的角． 【答案】（1） 证明：因为在中，, 由正弦定理可得， 即，解得， 因为，所以，所以， 在中，， 所以，所以， 又因为平面，且， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理可得，从而可得，，在中，由勾股定理可得，由线面垂直的判定定理可得平面，即可证明平面平面； （2）利用空间向量求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取中点，连接， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 由（1）可知平面，又因为，所以平面， 平面，所以， 所以以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， 所以， 设， 所以， 则， 又因为, 所以直线的距离 ， 又因为， 所以， 解得或(舍)， 所以， 因为，， 设平面的法向量为， 则有， 取，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 又因为，所以， 所以直线与平面所成的角为. 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性 （2）若函数在处取得极值，且对恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1） 当，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，分类讨论判断导函数的正负即可得出答案； （2）参变分离，构造函数，利用导数求最值，即可得出答案. 【小问1详解】 的定义域为，， 当，此时在单调递减； 当时，令，解得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 综上所述，当，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 ∵函数在处取得极值， ∴，解得，经检验满足题意； 由已知，即，则， 令， ∴，令，解得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， ∴，∴， ∴的取值范围为. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 19. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若A，B为椭圆C上的两点，且满足，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2） ①当斜率不存在时，设的方程为， 则，，，， 因为，所以， 因为，所以， 所以，解得或（舍）； ②当斜率存在时，设的方程为， 联立消去y得， 即， 设，则，， ，， 因为，所以， 即， 代入化简得， 即， 当时，，此时方程为，过定点，舍去； 当时，，此时方程为，过定点． 综上，直线过定点． 【解析】 【分析】（1）首先根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求出椭圆的标准方程； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况进行讨论，利用向量垂直的性质得到关于参数的方程，进而求出直线所过的定点. 【小问1详解】 因为椭圆C离心率为，所以， 又因为点在椭圆C上，所以，解得，， 椭圆C的标准方程为： 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题：（本题共8小题，每题5分，共计40分） 1. 设，其中x，y是实数，则 A. 1 B. C. D. 2 2. 已知为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且，，则（ ） A. 0.06 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 3. 已知函数（且）的图象恒过点，且点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，为方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 点为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点使（为坐标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 7. 已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，若，则数列的前15项和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. 已知函数在上可导，若，则 C. 已知函数，若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1； B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16. 11. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ） A. 以线段为直径的圆与直线相离 B. 以线段为直径的圆与轴相切 C. 当时， D. 的最小值为4 第II卷（共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 若数列满足，则称为“对奇数列”．已知为“对奇数列”，且，则_____________． 13. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围________. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为_________． 四、解答题：（本大题共5小题，共计77分）解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设数列的前项和为，求． 16. 若函数，当时，函数有极值． （1）求的值. （2）方程有三个不等实根，则实数的取值范围. 17. 如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． （1）证明：平面平面； （2）已知是线段上的点，它到直线的距离为，求直线与平面所成的角． 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性 （2）若函数在处取得极值，且对恒成立，求实数的取值范围 19. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若A，B为椭圆C上的两点，且满足，求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $