5.1.1 平均变化率(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

　导数及其应用 　　　　　　　 5.1　导数的概念 5.1.1　平均变化率 [教学方式:基本概念课逐点理清式教学] [课时目标] 1.了解平均变化率的实际背景.　2.理解平均变化率的含义. 3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题. 逐点清(一)　平均变化率的概念 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 1.平均变化率 (1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为. (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. 2.平均变化率的几何意义 函数y=f(x)在定义域内，从x0变化到x0+Δx的平均变化率等于该函数图象上过两点P0(x0，f(x0))，P(x0+Δx，f(x0+Δx))割线的斜率，如图. |微|点|助|解| (1)要注意Δx，Δy的值可正、可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常数函数，则Δy=0. (2)求点x0附近的平均变化率可用表示. (3)平均变化率一定是相对某一区间而言的，一般地，区间不同，平均变化率也不同. [微点练明] 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为零，说明函数值在此区间上没有发生变化. (　　) (2)自变量的改变量x2-x1取值越小，越能准确体现函数的变化率. (　　) (3)已知某弯曲山路的上、下两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可以近似刻画此弯曲山路的陡峭程度. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√ 2.[多选]某物体的位移公式为s=s(t)，从t0到t0+Δt这段时间内，下列理解正确的有 (　　) A.(t0+Δt)-t0为自变量的改变量 B.t0为函数值的改变量 C.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)为函数值的改变量 D.为s(t)在区间[t0，Δt+t0]上的平均变化率 解析:选ACD　由自变量的改变量、函数值的改变量、平均变化率的概念易得A、C、D正确. 3.若函数f(x)=x2-t，当1≤x≤m时，平均变化率为2，则m等于 (　　) A. B.2 C.3 D.1 解析:选D　由题得===m+1=2，所以m=1. 4.(1)已知函数f(x)=x+，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快； (2)已知函数f(x)=x2+1，求f(x)在区间[2，2+Δx]上的平均变化率. 解:(1)当自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为==，当自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为==，因为<，所以函数f(x)在区间(3，5)上函数值变化得较快. (2)由已知得f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)2+1-(22+1)=4Δx+(Δx)2，所以f(x)在区间[2，2+Δx]上的平均变化率为==4+Δx. 逐点清(二)　实际问题中的平均变化率 [多维理解] 　　实际问题中的平均变化率与函数在某一区间上的平均变化率类似，首先求f(x2)-f(x1)，再求比值.当函数解析式没有给定时，先根据实际问题求出函数解析式，再重复上述步骤即可. [微点练明] 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.某水库储水量与水深的关系如下表所示: 水深(m) 0 5 10 15 20 25 30 35 储水量 (104m3) 0 10 30 90 160 275 435 650 在35 m范围内，当水深每增加5 m时，水库储水量的平均变化率 (　　) A.不变 B.越来越小 C.越来越大 D.不能确定 解析:选C　根据平均变化率的定义， 在35 m范围内，当水深每增加5 m时，水库储水量的平均变化率依次为 水深(m) 0 5 10 15 20 25 30 35 平均变化率 (104m2) 0 2 4 12 14 23 32 43 平均变化率越来越大. 2.“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精准避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min内将速度从约20 000 km/h降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v，着陆过程中速度的平均变化率为a，则 (　　) A.v≈0.185 m/s，a≈10.288 m/s2 B.v≈-0.185 m/s，a≈10.288 m/s2 C.v≈0.185 m/s，a≈-10.288 m/s2 D.v≈-0.185 m/s，a≈-10.288 m/s2 解析:选D　巡视器与火星表面的距离逐渐减小，所以v=≈-0.185 m/s.巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小，所以a=≈-10.288 m/s2. 3.蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T=+15，其中T为体温(单位:℃)，t为太阳落山后的时间(单位:min)，则t=0到t=10，蜥蜴的体温的平均变化率为　　　　℃/min.  解析:==-1.6(℃/min)，故从t=0到t=10，蜥蜴的体温的平均变化率为-1.6 ℃/min. 答案:-1.6 4.一质点作直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1，该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5，则Δt的取值范围是　　　　.  解析:质点在2到2+Δt之间的平均速度为v===4+Δt，又v≤5，则4+Δt≤5，所以Δt≤1.又Δt>0，所以Δt的取值范围是(0，1]. 答案:(0，1] 逐点清(三)　平均变化率的意义 1.某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，用-的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.则下列命题正确的是 (　　) A.在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 B.在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱 C.在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标 D.甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]的污水治理能力最强 解析:选D　设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W=h(t)，乙企业的污水排放量W与时间t的关系为W=g(t).在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力h(t)=-，乙企业的污水治理能力g(t)=-.由题图可知，h(t1)-h(t2)>g(t1)-g(t2)，所以h(t)>g(t)，即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A错误；由题图可知，在t2时刻h(t)的切线斜率小于在t2时刻g(t)的切线斜率，但两切线斜率均为负值，故在t2时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强，故B错误；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都小于污水达标排放量，故甲、乙两企业的污水排放量都达标，故C错误；由题图可知，甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]时h(t1)-h(t2)的差值最大，所以在[t1，t2]时的污水治理能力最强，故D正确. 2.已知气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)=πr3. (1)求半径r关于体积V的函数r(V)； (2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平均变化率；哪段半径变化得快(精确到0.01)?此结论可说明什么意义? 解:(1)∵V=πr3，∴r3=， ∴r=，即r(V)=. (2)函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率为=≈0.62(dm/L)， 函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率为=-≈0.16(dm/L). 显然体积V从0 L增加到1 L时，半径变化得快，这说明气球刚开始膨胀得快，随着体积的增大，半径增加得越来越慢. [课时检测] 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.已知函数y=2+，当x由1变到2时，函数值的改变量等于 (　　) A. B.- C.1 D.-1 解析:选B　函数值的改变量为-(2+1)=-. 2.一物体的运动方程是s=3+2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均变化率为 (　　) A.0.4 B.2 C.0.3 D.0.2 解析:选B　在[2，2.1]这段时间内的平均变化率为=2. 3.一个物体做直线运动，位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=6t2+mt，且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s，则实数m的值为 (　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析:选A　由题意得Δs=s(2)-s(1)=6×22+2m-(6×12+m)=18+m，Δt=2-1=1，因为物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s，所以v===18+m=20 m/s，解得m=2. 4.函数y=x2在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0-Δx，x0]上的平均变化率为k2，则 (　　) A.k1>k2 B.k1<k2 C.k1=k2 D.不确定 解析:选A　因为k1==2x0+Δx，k2==2x0-Δx，又由题意知Δx>0，所以k1>k2. 5.如图，向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为h=f(t)，定义域为D，设t0∈D，k1，k2分别表示f(t)在区间[t0，t0+Δt]，[t0-Δt，t0](Δt>0)上的平均变化率，则 (　　) A.k1<k2 B.k1>k2 C.k1=k2 D.无法确定 解析:选A　由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，所以f(t)在区间[t0-Δt，t0]，[t0，t0+Δt](Δt>0)上的平均变化率由大变小，即k2>k1. 6.某公司的盈利y(元)与时间x(天)的函数关系是y=f(x)，假设>0(x1>x0≥0)恒成立，且=10，=1，则说明后10天与前10天比 (　　) A.公司亏损且亏损幅度变大 B.公司的盈利增加，增加的幅度变大 C.公司亏损且亏损幅度变小 D.公司的盈利增加，增加的幅度变小 解析:选D　由>0(x1>x0≥0)恒成立，可知y=f(x)单调递增，即盈利增加.又平均变化率=10>=1，说明盈利增加的幅度变小. 7.降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度(c)随开窗通风换气时间(t)的关系如图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是 (　　) A.[5，10] B.[5，15] C.[5，20] D.[5，35] 解析:选C　如图，令t=5，t=10，t=15，t=20，t=35所对应的点分别为A，B，C，D，E，由图可知0>kAB>kAC>kAE>kAD，所以[5，20]内空气中微生物密度变化的平均速度最快. 8.已知二次函数f(x)=x2和指数函数g(x)=ax(a>0，a≠1)在区间[2，4]上的平均变化率相同，则a= (　　) A. B.2 C.2或 D.不能确定 解析:选B　二次函数f(x)=x2在区间[2，4]上的平均变化率为==6. 指数函数g(x)=ax在区间[2，4]上的平均变化率为==. 因为两个函数在区间[2，4]上的平均变化率相同，所以=6.又a>0，且a≠1，解得a=2. 9.函数f(x)=log5(x2+1)在区间[1，7]上的平均变化率为　　　　.  解析:f(x)在区间[1，7]上的平均变化率为===. 答案: 10.某地某天上午9:20的气温为23.4 ℃，下午1:30的气温为15.9 ℃，则在这段时间内气温的平均变化率为　　　　℃/min.  解析:从上午9:20到下午1:30，共250 min，这段时间内气温的变化量为15.9-23.4=-7.5 ℃，(即气温下降7.5 ℃)，所以在这段时间内气温的平均变化率为=-0.03(℃/min). 答案:-0.03 11.函数y=x3+2在区间[1，a]上的平均变化率为21，则a=　　　　.  解析:由==a2+a+1=21，解得a=4或a=-5.又∵a>1，∴a=4. 答案:4 12.(10分)如图，路灯距地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯. (1)求身影的长度y(单位:m)与人距C点的距离x(单位:m)之间的关系式；(4分) (2)求人离开C点10 s内身影长度的平均变化率.(6分) 解:(1)如图，设人从C点运动到B点位移为x m，AB为身影长度，为y m，D为路灯顶部，BE为此人的身高，由于CD∥BE，则=，即=，所以y=0.25x. (2)设人离开C点的时间为t s，而84 m/min=1.4 m/s，而x=1.4t，所以y=0.35t.在[0，10]内自变量的增量为t2-t1=10-0=10，函数值的增量为f(t2)-f(t1)=0.35×10-0.35×0=3.5，所以==0.35.即人离开C点10 s内身影长度的平均变化率为0.35 m/s. 13.(10分)已知某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)=sin t，t∈. (1)分别求s(t)在区间和上的平均速度；(5分) (2)比较(1)中两个平均速度的大小，并说明其几何意义.(5分) 解:(1)物体在区间上的平均速度为===， 物体在区间上的平均速度为===. (2)由(1)可知 - =>0，所以> .作函数s(t)=sin t在上的图象，如图所示，可以发现，在s(t)=sin t的图象上，连接(0，0)，的直线的斜率大于连接的直线的斜率. 学科网（北京）股份有限公司 $$