5.1.1 平均变化率-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“平均变化率”核心知识点，通过气温变化实例导入，对比两天与一个月温差引发思考，搭建从生活现象到数学定义的学习支架，衔接后续导数概念的理解与应用。 其亮点在于情境贴近生活，结合微生物密度、虹吸管流水等实际问题，培养学生用数学眼光观察现实世界。步骤化解题总结与课堂小结强化数学思维，帮助学生用数学语言表达变化规律，提升应用能力，助力教师高效教学。

第5章 导数及其应用 1 5.1 导数的概念 5.1.1 平均变化率 2 某市某年4月20日最高气温为 ,而4月 19日和4月18日最高气温分别为和 , 短短两天的时间，气温陡增 ，闷热中的人 们无不感叹：“天气热得太快了！” 但是，如果我们将该市某年3月18日最高气 温，与4月18日最高气温进行比较，发现温度相差 ， 甚至超过了 ，而人们不会发出上述感叹.本节课我们一起来探究其 中的原因. 返回导航 新课导入 3 1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率. 2.了解平均变化率概念的形成过程，能在具体情境中说明平均变化率的实 际意义. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 函数的平均变化率及其几何意义 思考1 函数的平均变化率定义中， 是否必须是正数？ 提示 可以是正值，也可以是负值，但不可以为0. 思考2 函数在某区间上的平均变化率为0是否说明函数值在此区间上都相等？ 提示 函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的 函数值都相等． 返回导航 7 ［知识梳理］ 1.函数的平均变化率 一般地，函数在区间 上的平均变化率为①__________. 2.平均变化率的意义 平均变化率是曲线陡峭程度的“②________”，或者说，曲线陡峭程度是平 均变化率的“视觉化”. 数量化 返回导航 8 ［例1］ （1）在曲线的图象上取一点 及附近一点 ，则 ( ) A. B. C. D. 解析：选C．由已知得 ．故选C． √ 返回导航 9 （2）已知函数，分别计算在自变量 从1变到2和从3变到 5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 【解】由题意得，自变量从1变到2时，函数 的平均变化率为 ;自变量从3变到5时，函数 的平均变化率为 . 因为，所以函数在自变量 从3变到5时函数值变化的较快． 返回导航 10 （1）求函数平均变化率的步骤 ①求自变量的增量 ； ②求函数值的增量 ； ③求函数值的增量与自变量的增量的比值 . （2）求平均变化率的一个关注点 求点附近的平均变化率，可用 的形式求解. 返回导航 11 ［跟踪训练1］ （1）设函数，当自变量由改变到 时， 函数的改变量 为( ) A. B. C. D.都不对 解析：选C．由题意知 .故选C. （2）函数从到 的平均变化率为___． 3 解析：因为 ， 所以函数从到的平均变化率为 . √ 返回导航 12 二 实际问题中的平均变化率 ［例2］ （1）降低室内微生物密度的有效方法 是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气. 在某室内，空气中微生物密度 随开窗通风换 气时间 的关系如图所示.则下列时间段内，空 气中微生物密度变化的平均速度最快的是( ) A. B. C. D. √ 返回导航 13 解析：如图，分别令，，，， 所对应的点 为，，，，，由图可知 ， 所以在 时间段内空气中微生物密度变化的平均速度最快.故选C. 返回导航 14 （2）（对接教材例2）如图，水经过虹吸管从容器甲流 向容器乙，后容器甲中水的体积 （单位：），则第一个内 的平均变化率为_____ __________．，结果保留三位小数 解析：在区间上，体积 的平均变化率为 ， 即第一个内容器甲中水的体积的平均变化率为 （负号表示容器甲中的水在减少）． 返回导航 15 （1）用平均变化率求解或解读生产生活中发生的某些变化情况已成为考 查数学应用的热点，特别是在物理中的应用更为突出. （2）变化率的正、负反映该变化过程是增加还是减少，变化率绝对值的 大小反映该变化过程的快慢. 返回导航 16 ［跟踪训练2］ 已知一质点作直线运动，其位移与时间 的关系为 ，该质点在2到 之间的平均速度不大于5，求 的取值范围. 解：易知质点在2到 之间的平均速度为 , 又,则，所以,又 , 所以.所以的取值范围是 . 返回导航 17 三 平均变化率的应用 ［例3］ 巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山” 之美誉，在当地用“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八” 的俗语来形容爬十八盘的感受.如图是一段登山过程中 海拔（单位：）随水平距离（单位： ）变化的关系图，同样是登山， 但是从处到处会感觉比较轻松，而从处到 处会感觉比较吃力.试用数 学语言给出解释. 返回导航 18 【解】 从处到处高度的平均变化率为 ， 从处到处高度的平均变化率为 ， 由，知山路从处到处比从处到 处陡峭. 故从处到处会感觉比较轻松，而从处到 处会感觉比较吃力. 返回导航 19 平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度、物体受热膨 胀率、高度（重量）的平均变化率等等.解决这些问题的关键在于找准自变 量和因变量. 返回导航 20 ［跟踪训练3］ 通过某导体横截面的电量（单位：C）关于时间 （单位：）的函数关系式为.求当从变到时，电量 关于时间 的平均变化率，并解释它的实际意义. 解：当从变到时，电量从变到，此时电量关于时间 的 平均变化率为，它表示从变到 这段时间 内，平均每秒通过该导体横截面的电量为 ． 返回导航 21 PART 02 课堂巩固 自测 22 1.函数在 上的平均变化率为( ) A.1 B. C.3 D.4 解析：选C．函数在上的增量 ， 所以函数在上的平均变化率为 .故选C． √ 返回导航 23 2.已知函数的图象上一点 及邻近一点 ,则 ( ) A.4 B. C. D. 解析：选C.因为 ,所以 .故选C. √ 返回导航 24 3.已知质点运动规律,则在时间段 上的平均速度为 _________. 解析：因为 ， 所以 . 返回导航 25 4.某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润（单位：元）与产量 （单位：台）之间的关系式为 ，则产量由 1 000台提高到1 500台时，总利润的平均变化率为_______元/台． 2 000 解析：当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均变化率为 （元/台）． 返回导航 26 1.已学习：平均变化率 . 2.须贯通：明确平均变化率的意义;平均变化率的绝对值越大，表示函数值 变化得越快，绝对值越小，表示函数值变化得越慢. 3.应注意：平均变化率的正负只表示变化的方向. 返回导航 27 $