3.3.2 第2课时 抛物线的焦点弦结论的应用(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

第2课时　抛物线的焦点弦结论的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 　　如图,AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l. (1)x1x2=,y1y2=-p2; (2)以弦AB为直径的圆与准线相切; (3)AB=x1+x2+p=2==2p(α是直线AB的倾斜角,α≠0°); (4)+=为定值(F是抛物线的焦点). (一)　AB=x1+x2+p==2p的应用 [例1]　过点M(1,0)作直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点,当直线l的斜率为1时,AB=　　　　.  解析:法一　直线l为y=x-1, 由得x2-6x+1=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=6,∴AB=x1+x2+p=8. 法二　由过焦点M(1,0)的弦长AB=,直线斜率为1,则sin α=,∴AB==8. 法三　∵直线的斜率为1, ∴AB=2p=4×=8. 答案:8 |反|思|领|悟| 　　在求解焦点弦长时,有多种公式可以运用,在选择、填空题的求解中可以灵活选择,从而实现快速求解. 　　[针对训练] 1.过抛物线C:y2=12x的焦点作直线l交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若A,B中点为M(x0,y0),AB=18,则x0= (　　) A.4 B.6 C.8 D.10 解析:选B　由AB=x1+x2+p=x1+x2+6=18,∴x1+x2=12,∴x0=6. 2.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,则抛物线的方程为　　　　.  解析:依题意可设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则直线方程为y=-x+.设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则AB=, ∴=8,∴p=2,故所求的抛物线方程为y2=4x. 当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,同理可求得抛物线方程为y2=-4x. 综上,抛物线方程为y2=±4x. 答案:y2=±4x (二)　x1x2=,y1y2=-p2的应用 [例2]　已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,若·=-12,则抛物线C的方程为 (　　) A.x2=8y B.x2=4y C.y2=8x D.y2=4x 解析:选C　设抛物线的方程为y2=2px(p>0),直线AB的方程为x=my+,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1x2=,y1y2=-p2, 得·=x1x2+y1y2=-p2=-p2=-12,得p=4(舍负), 即抛物线C的方程为y2=8x. |反|思|领|悟| (1)在涉及一些求斜率之积或者数量积的问题时,往往需要x1x2或y1y2,通过抛物线特殊性质的记忆,可以避免联立方程组,从而快速求解. (2)x1x2=,y1y2=-p2适用于y2=±2px,而在x2=±2py中,x1x2=-p2,y1y2=. 　　[针对训练] 3.已知抛物线x2=-8y的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则k1k2= (　　) A.4 B.-4 C. D.- 解析:选D　设A(x1,y1),B(x2,y2),则k1k2=·===-. (三)　+=的应用 [例3]　如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且AF=4,则线段AB的长为 (　　) A.5 B.6 C. D. 解析:选C　如图,过点A作AD⊥l,AD=AF=AC=4,则∠ACD=30°,∠AFx=60°,则p+2=4,所以p=2,因为+=,AF=4,所以BF=,所以AB=AF+BF=4+=. |反|思|领|悟| 　　焦半径公式AF=xA+=,BF=xB+=(AF,BF分别为上方、下方焦半径,θ为直线的倾斜角). 　　[针对训练] 4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A,B两点,且AF>BF,则的值为 (　　) A.3 B.2 C. D. 解析:选A　法一　由抛物线的性质可知,AF+BF=AB==①, +=②, 由①②解得AF=2p,BF=p,∴=3. 法二　AF=,BF=, ∴==3. 5.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P,Q两点,则+的值为　　　　.  解析:由抛物线焦点弦的性质得+===1. 答案:1 [课时检测] 1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则的值一定等于 (　　) A.-4 B.4 C.p2 D.-p2 解析:选A　==-4. 2.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若AF=2BF,则AB等于 (　　) A.4 B. C.5 D.6 解析:选B　因为AF=2BF,+=+===1,解得BF=,AF=3,故AB=AF+BF=. 3.[多选]已知抛物线y2=2px(p>0),过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),且抛物线的准线与x轴的交点为M,则以下结论正确的是 (　　) A.x1x2= B.·=-p2 C.∠AMB=90° D.+= 解析:选ABD　由抛物线焦点弦的性质知A、B、D正确.设过焦点F的直线方程为x=my+,代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0.∴y1+y2=2pm,y1y2=-p2,x1x2=,x1+x2=2pm2+p,∵M点坐标为,故=,=,·=x1x2+(x1+x2)++y1y2=m2p2.当m≠0时,·≠0,即∠AMB≠90°,故C错误. 4.已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦.若AB=4,则AB中点的纵坐标是 (　　) A.1 B.2 C. D. 解析:选D　如图所示,设线段AB的中点为P(x0,y0),分别过A,P,B三点作准线l的垂线,垂足分别为A',Q,B',由题意得AA'+BB'=AB=4,PQ==2.又PQ=y0+,∴y0+=2,∴y0=. 5.抛物线x2=8y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的倾斜角等于60°,那么PF等于 (　　) A.2 B.4 C. D.3 解析:选C　如图所示,抛物线x2=8y的焦点为F,则F(0,2),准线方程为y=-2,设直线l与y轴交点为B,直线AF的倾斜角等于60°,即∠FAB=60°,而PA⊥l,所以∠FAP=30°,由抛物线定义可知PF=PA,因而∠FAP=∠PFA=30°,作FE垂直于AP的延长线于E,则EA=4,∠FPE=60°,所以EF=EA·tan 30°=,在△FEP中,PF===. 6.已知O为坐标原点,过点M(a,0)(a≠0)的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,若k1k2=-2p,则a等于 (　　) A.1 B.2 C. D. 解析:选A　设A(x1,y1),B(x2,y2),则k1===,同理可得k2=,∴k1k2=. 易知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my+a(a≠0), 与抛物线方程联立,得消去x,可得y2-2mpy-2pa=0, 由根与系数的关系可得y1y2=-2pa, 则k1k2===-=-2p,∴a=1. 7.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则AB+DE的最小值为 (　　) A.16 B.14 C.12 D.10 解析:选A　由题知l1,l2斜率均存在,设l1的斜率为k1,l2的斜率为k2,则k1k2=-1,∴AB+DE=2p+2p=4p+2p=8+4≥8+4×2=16, 当k1=±1时,最小值为16. 8.[多选]已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD,AB的斜率为k,且k>0,C,B两点在x轴上方,O为坐标原点,则下列结论正确的是 (　　) A.·=-p2 B.四边形ABCD面积的最小值为16p2 C.+= D.若AF·BF=4p2,则直线CD的斜率为- 解析:选ACD　如图所示,F,设直线AB的方程为x=y+,A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜角为θ,∴y1y2=-p2,x1x2=,AB=,设C(x3,y3),D(x4,y4),同理可得y3y4=-p2,x3x4=,CD=.对于A,·=x3x4+y3y4=-p2=-,故正确;对于B,四边形ACBD的面积S=CD·AB==,故其最小值为8p2,故错误;对于C,+=+=,故正确;对于D,若AF·BF==x1x2+(x1+x2)+=4p2,则(x1+x2)=,∴x1+x2=7p,即7p+p=,∴sin2θ=,sin θ=(舍负),又k>0,∴θ=,则直线CD的倾斜角为,其斜率为-,故正确. 9.(5分)已知直线l:y=x-1经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,则AB=　　　　.  解析:设直线AB的倾斜角为α,则sin α=,由题意知,直线l:y=x-1过点(1,0),所以=1,解得p=2,则AB===8. 答案:8 10.(5分)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=　　　　;=　　　　.  解析:∵=1,∴p=2,由抛物线的性质,知==+==1. 答案:2　1 11.(5分)过抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与T交于A,B两点,且=2,T的准线l与x轴交于点C,△CBF的面积为4,则T的通径长为　　　　.  解析:设过抛物线的焦点F的直线方程为x=my+,与抛物线方程y2=2px(p>0)联立得y2-2pmy-p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2<0,则y1y2=-p2,又因为=2,所以y1=-2y2,解得y2=-p,所以S△CBF=CF×|y2|=×p×p=4,解得p=4,所以2p=8,所以T的通径长为8. 答案:8 12.(10分)已知点P(1,m)是抛物线C:y2=2px(p>0)上的点,F为抛物线的焦点,且PF=2,过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A,B. (1)求抛物线C的方程;(2分) (2)若AB=8,求直线l的斜率.(8分) 解:(1)由题意PF=1+=2,p=2, ∴抛物线方程为y2=4x. (2)法一　由(1)知焦点为F(1,0), 若直线l斜率不存在,则AB=4,不符合题意, 因此设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0), 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=, AB=x1+x2+2=+2=8, 解得k=1或k=-1. 法二　若直线l的斜率不存在,则AB=4,不符合题意, 设直线l的倾斜角为α, 根据焦点弦的性质,AB=, 代入可得sin2α==, 即α=45°或135°,则k=tan α=±1. 13.(10分)已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点. (1)若直线l的倾斜角为60°,求AB的值;(5分) (2)若AB=9,求线段AB的中点M到准线的距离.(5分) 解:(1)法一　因为直线l的倾斜角为60°, 所以其斜率k=tan 60°=.又F. 所以直线l的方程为y=. 联立消去y,得x2-5x+=0. 若设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5, 而AB=AF+BF=+=x1+x2+p.所以AB=5+3=8. 法二　因为抛物线y2=6x,所以p=3, 又直线l的倾斜角α=60°, 所以AB===8. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知, AB=AF+BF=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3=9, 所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3,又准线方程是x=-, 所以M到准线的距离等于3+=. 14.(15分)已知直线x-2y+2=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于M,N两点,MN=8,O为坐标原点. (1)求p;(5分) (2)过点P(3,2)作直线l交抛物线C于A,B两点,且点P是线段AB的中点,求△OAB的面积.(10分) 解:(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线与抛物线消去x得y2-4py+4p=0,∴y1+y2=4p,y1y2=4p, ∴MN=|y1-y2|=·=·=8. 解得p=4或p=-3(舍去)∴p=4. (2)由(1)得抛物线C的方程为y2=8x. 设A(x3,y3),B(x4,y4), ∵A,B在抛物线C上, ∴=8x3,=8x4, 两式作差得(y3+y4)(y3-y4)=8(x3-x4).∵AB中点坐标为(3,2),∴x3+x4=6,y3+y4=4,∴4(y3-y4)=8(x3-x4),∴=2,∴l:y-2=2(x-3),整理得y=2x-4. 故l过C的焦点,弦长AB=x3+x4+p=6+4=10.又点O到l的距离为=, ∴S△OAB=××10=4. 故△OAB的面积为4. 85 / 134 学科网（北京）股份有限公司 $$