3.3.1 抛物线的标准方程(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

3.3　抛物线 3.3.1　抛物线的标准方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解抛物线的定义,几何图形和标准方程.明确抛物线方程中参数p的几何意义. 2.会求抛物线的标准方程,并能应用它解决有关问题. 1.抛物线的定义 定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线 焦点 定点F叫作抛物线的焦点 准线 定直线l叫作抛物线的准线 |微|点|助|解| 　　对抛物线定义的理解 (1)抛物线的定义可归结为“一动三定”:“一动”即一个动点,设为M;“三定”即一个定点F、一条定直线l、一个定值(即动点M与定点F和定直线l的距离的比值为常数1). (2)定义中的隐含条件:定点F不在准线l上,这是动点轨迹为抛物线的必要条件,否则,若定点F在定直线l上,则动点轨迹为过定点F且和定直线l垂直的一条直线. 2.抛物线的标准方程 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图形 焦点 坐标 准线 方程 x=- x= y=- y= 开口 方向 向右 向左 向上 向下 p的几 何意义 焦点到准线的距离 |微|点|助|解| (1)只有抛物线与轴的交点为坐标原点,焦点在坐标轴上时,抛物线才具有标准形式.抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程只要确定其一,其余两者也就确定了. (2)标准方程的特征:等号的左边是某个变量的平方且系数为1,等号的右边是另一个变量的一次单项式. (3)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2=±2py(p>0)通常又可以写成y=ax2(a≠0),这与以前所学习的二次函数的解析式一致,但需要注意由方程y=ax2(a≠0)求焦点坐标和准线方程时,必须先将抛物线的方程化为标准形式. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x=-2的距离相等,则点P的轨迹是抛物线. (　　) (2)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x+y-1=0的距离相等,则点P的轨迹是抛物线. (　　) (3)若点P到点F(1,0)的距离比到直线x=-2的距离小1,则点P的轨迹是抛物线. (　　) (4)抛物线准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2.抛物线y=x2的焦点坐标为 (　　) A.(0,4) B. C.(4,0) D. 解析:选A　抛物线y=x2的标准形式为x2=16y,其焦点在y轴上,坐标为(0,4). 3.准线方程为y=2的抛物线的标准方程是 (　　) A.y2=-4x B.y2=8x C.x2=4y D.x2=-8y 解析:选D　由抛物线的准线方程为y=2,可知抛物线的焦点在y轴负半轴上,设其方程为x2=-2py(p>0),则其准线方程为y==2,得p=4.∴该抛物线的标准方程是x2=-8y. 题型(一)　求抛物线的标准方程 [例1]　求适合下列条件的抛物线的标准方程. (1)顶点在原点,准线方程为y=4; (2)顶点在原点,且过点(-3,2); (3)顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y-12=0上; (4)焦点在x轴上,且抛物线上一点A(3,m)到焦点的距离为5. 解:(1)由题意顶点在原点,准线方程为y=4, 可知抛物线焦点在y轴负半轴上,且=4,∴p=8, 故抛物线标准方程为x2=-16y. (2)由题意顶点在原点,且过点(-3,2),则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上,则设抛物线标准方程为x2=2py(p>0)或y2=-2p'x(p'>0), 分别将(-3,2)代入,解得p=,p'=, 故抛物线标准方程为x2=y或y2=-x. (3)由于直线3x-4y-12=0与x轴的交点为(4,0),由题意可知抛物线焦点为(4,0),则=4,∴p=8,故抛物线标准方程为y2=16x. (4)由题意抛物线焦点在x轴上,且抛物线上一点A(3,m)到焦点的距离为5, 则设抛物线标准方程为y2=2px(p>0),焦点为,准线方程为x=-,故3-=5, ∴p=4,故抛物线标准方程为y2=8x. 　　|思|维|建|模| 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 [提醒]　当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数. 　　[针对训练] 1.求适合下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点M(-6,6); (2)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上. 解:(1)因为点M(-6,6)在第二象限, 所以过点M的抛物线开口向左或向上. 若抛物线开口向左,焦点在x轴上,设其方程为y2=-2px(p>0),将点M(-6,6)的坐标代入, 可得36=-2p×(-6),所以p=3,所以抛物线的标准方程为y2=-6x. 若抛物线开口向上,焦点在y轴上, 设其方程为x2=2p'y(p'>0), 将点M(-6,6)的坐标代入,可得36=2p'×6, 所以p'=3,所以抛物线的标准方程为x2=6y. 综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y. (2)当焦点F在x轴上时,因为直线l与x轴的交点坐标为(2,0), 所以抛物线的焦点是F(2,0),所以=2,所以p=4,所以抛物线的标准方程是y2=8x. 当焦点F在y轴上时,因为直线l与y轴的交点坐标为(0,-3),所以抛物线的焦点是F'(0,-3),所以=3,所以p'=6,所以抛物线的标准方程是x2=-12y.综上所述,所求抛物线的标准方程是y2=8x或x2=-12y. 题型(二)　抛物线的定义及应用 题点1　利用定义求值 [例2]　(1)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,AF=x0,则x0等于 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 解析:选A　由题意,知抛物线的准线方程为x=-.因为AF=x0,根据抛物线的定义,得x0+=AF=x0,所以x0=1,故选A. (2)抛物线x2=4y上的点P到焦点的距离是10,则点P的坐标为　　　　.  解析:设点P(x0,y0),由抛物线方程x2=4y,知焦点坐标为F(0,1),准线方程为y=-1. 由抛物线的定义,得PF=y0+1=10,所以y0=9,代入抛物线方程得x0=±6. ∴点P坐标为(±6,9). 答案:(6,9)或(-6,9) |思|维|建|模| 　　根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化,从而简化某些问题. 题点2　与抛物线有关的轨迹问题 [例3]　已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1 外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 (　　) A.x2=-12y B.x2=12y C.y2=12x D.y2=-12x 解析:选A　设动圆圆心为M(x,y),半径为r,由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的一条抛物线,所以=3,2p=12,其方程为x2=-12y. |思|维|建|模| 解决有关抛物线的轨迹问题的方法 　　求解有关抛物线的轨迹问题,既可以用轨迹法直接求解,也可以先将条件转化,再利用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于动点到定直线的距离这个条件,有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件. 题点3　与抛物线有关的最值问题 [例4]　已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,求点P到点(0,2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值. 解:由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知,当点P,点(0,2)和抛物线的焦点F三点共线,即P在P'位置时所求距离之和最小,所以距离之和的最小值为d==. 　　[变式拓展] 若将本例中的“点(0,2)”改为“点A(3,2)”,求PA+PF(F为抛物线的焦点)的最小值. 解:将x=3代入y2=2x,得y=±.所以点A在 抛物线内部.设点P到准线(设为l)x=-的距离为d,则PA+PF=PA+d.由图可知,当PA⊥l,即P在P'位置时,PA+d最小,最小值是.即PA+PF的最小值是. |思|维|建|模| 最值问题的处理方法 　　解决与抛物线上的点到定点、定直线的距离有关的最值问题时,常利用抛物线定义,将抛物线上的点到抛物线的焦点的距离和到准线的距离相互转化.即化折线为直线解决问题. 　　[针对训练] 2.设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,若点A(,2)在C上,则AF= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　法一　因为点A(,2)在C上,所以()2=2p·2,解得p=,所以抛物线的准线方程为y=-.由抛物线的定义,AF等于A到准线的距离,即2+=. 法二　因为点A(,2)在C上,所以()2=2p·2,解得p=,所以F,所以AF2=()2+=2+=,所以AF=,故选C. 3.已知动点P(x,y)满足5=|3x+4y-7|,则动点P的轨迹是 (　　) A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:选D　因为5=|3x+4y-7|,得=,即动点P(x,y)到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y-7=0的距离相等,且点(2,1)不在直线3x+4y-7=0上,则由抛物线定义知,动点P(x,y)的轨迹为抛物线. 4.已知点P是抛物线C:x2=12y上的一点,过点P作直线y=-1的垂线,垂足为M,若G(4,0),则PG+PM的最小值为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选A　由抛物线C:x2=12y可知其焦点为(0,3),准线方程为y=-3,记抛物线C的焦点为F(0,3),所以PG+PM=PG+PF-2≥FG-2= -2=3,当且仅当点P在线段FG上时等号成立,所以PG+PM的最小值为3. 题型(三)　直线与抛物线的位置关系 [例5]　当k为何值时,直线y=kx+k-2与抛物线y2=4x有两个公共点?仅有一个公共点?无公共点? 解:由得k2x2+2(k2-2k-2)x+(k-2)2=0.当k=0时,方程化为一次方程-4x+4=0,该方程只有一解x=1,原方程组只有一组解, ∴直线y=-2与抛物线只有一个公共点; 当k≠0时,二次方程的判别式Δ=4(k2-2k-2)2-4k2(k-2)2=-16(k2-2k-1), 当Δ>0时,得k2-2k-1<0,1-<k<1+, ∴当1-<k<0或0<k<1+时,直线与抛物线有两个公共点;由Δ=0得k=1±,此时直线与抛物线相切,只有一个公共点;由Δ<0得k<1-或k>1+,此时直线与抛物线无公共点. 综上,当k=0或k=1±时,直线与抛物线仅有一个公共点;当1-<k<0或0<k<1+时,直线与抛物线有两个公共点;当k<1-或k>1+时,直线与抛物线无公共点. |思|维|建|模| 判断直线与抛物线的位置关系的方法 　　联立方程组消元,当二次项系数不等于零时,用判别式Δ来判定;当二次项系数等于零时,直线与抛物线相交于一点. 　　[针对训练] 5.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则 (　　) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 解析:选C　∵直线y=kx-k=k(x-1),∴直线过定点(1,0).∴当k=0时,直线y=0与抛物线有一个公共点,即顶点;当k≠0时,点(1,0)在抛物线的内部,所以直线与抛物线有两个公共点,综上所述,直线与抛物线有一个或两个公共点. 6.过抛物线y2=8x的焦点F作倾斜角是的直线,交抛物线于A,B两点,则AB= (　　) A.8 B.8 C.16 D.16 解析:选D　根据抛物线y2=8x方程,得焦点坐标为F(2,0),直线AB的斜率为k=tan=-1,则直线AB的方程为y=-(x-2),设A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,x1x2=4,所以弦长AB=|x1-x2|=·=·=16. [课时检测] 1.抛物线y=-x2的准线方程是 (　　) A.x= B.x= C.y=2 D.y=4 解析:选C　将y=-x2化为标准方程x2=-8y,由此可知准线方程为y=2. 2.已知抛物线y=2px2过点(1,4),则该抛物线的焦点坐标为 (　　) A.(1,0) B. C. D.(0,1) 解析:选C　由抛物线y=2px2过点(1,4),可得p=2,∴抛物线的标准方程为x2=y,则焦点坐标为. 3.顶点在原点,且过点(-2,2)的抛物线的标准方程是 (　　) A.y2=-2x B.x2=2y C.y2=2x或x2=-2y D.y2=-2x或x2=2y 解析:选D　点(-2,2)在第二象限.当焦点在y轴上时,可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),把(-2,2)代入解得p=1,所以抛物线的标准方程为x2=2y.当焦点在x轴上时,可设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),把(-2,2)代入解得p=1,所以抛物线的标准方程为y2=-2x. 4.已知直线l与抛物线C:y=2x2相交于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(1,4),则直线l的方程为 (　　) A.4x-y=0 B.2x-y=0 C.8x-y-6=0 D.x-2y+3=0 解析:选A　设A(x1,y1),B(x2,y2),由得y1-y2=2(-)=2(x1+x2)(x1-x2),∵线段AB的中点为(1,4),∴x1-x2≠0,x1+x2=2,∴=2(x1+x2)=4,即直线l的斜率为4,∴直线l的方程为y-4=4(x-1),即4x-y=0. 5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-1的距离为3,则MF= (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:选A　如图所示,根据题意可得抛物线的准线方程为x=-2,若M到直线x=-1的距离为MM2=3,则M到抛物线的准线x=-2的距离为MM1=4,利用抛物线定义可知MF=MM1=4. 6.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线l与x轴的交点为M,点P在抛物线上,且PM=PF,则△PMF的面积为 (　　) A.4 B.8 C.16 D.32 解析:选B　如图所示,易得F(2,0),过点P作PN⊥l,垂足为N.∵PM=PF,PF=PN, ∴PM=PN.∴MN=PN.设P,则|t|=+2,解得t=±4,∴△PMF的面积为|t|·MF=×4×4=8. 7.设点M为抛物线y2=4x上的动点,点M在y轴上的投影为点N,点A(2,),则MA+MN的最小值为 (　　) A.3 B.4 C. D.-1 解析:选A　由抛物线方程y2=4x,可得其准线方程为x=-1,焦点坐标为F(1,0),过点M作y轴的垂线,垂足为N,延长MN交抛物线的准线于点B,则MA+MN=AM+MB-1=AM+MF-1≥AF-1=-1=3,当且仅当A,M,F三点共线时,取等号,所以MA+MN的最小值为3. 8.抛物线E:x2=4y与圆M:x2+(y-1)2=16交于A,B两点,圆心M(0,1),点P为劣弧上不同于A,B的一个动点,平行于y轴的直线PN交抛物线于点N,则△PMN的周长的取值范围是 (　　) A.(6,12) B.(8,10) C.(6,10) D.(8,12) 解析:选B　如图,可得圆心M(0,1)也是抛物线的焦点,直线PN与准线垂直,垂足为H,根据抛物线的定义,可得MN=NH,故△PMN的周长为NH+NP+MP=PH+4, 由可得B(2,3). ∴PH的取值范围为(4,6), ∴△PMN的周长的取值范围为(8,10),故选B. 9.(5分)已知点F(1,0),直线l:x=-1,若动点P到点F和到直线l的距离相等,则点P的轨迹方程是　　　　.  解析:根据抛物线定义可知,点P在以F(1,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线上,所以=1,p=2,抛物线方程为y2=4x. 答案:y2=4x 10.(5分)直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k=　　　　　　　　.  解析:k=0时,直线与抛物线只有一个公共点,当k≠0时,联立方程组消去y,得k2x2+4(k-2)x+4=0,Δ=16(k-2)2-16k2=0,解得k=1,故k=0或k=1. 答案:0或1 11.(5分)已知抛物线x2=4y的焦点为F,点P在抛物线上,且PF=5,请写出满足题意的直线PF的一个方程:　　　　　　.  解析:由题意知焦点为F(0,1).设P(x0,y0),则PF=y0+1=5,y0=4,=4×4,x0=±4.若P(4,4),则kPF==,直线PF的方程为y=x+1,即3x-4y+4=0.若P(-4,4),则kPF==-,直线PF的方程为y=-x+1,即3x+4y-4=0. 答案:3x-4y+4=0(或3x+4y-4=0) 12.(10分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上任意一点P(x,y)到焦点的距离比它到y轴的距离大1. (1)求抛物线C的方程;(4分) (2)若过点F(1,0)的直线l与曲线C相交于不同的A,B两点,求·的值.(6分) 解:(1)依题意,P(x,y)到抛物线C焦点的距离为x+,则x+-x=1,解得p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)显然直线l不垂直于y轴,设直线l的方程为x=ty+1, 由消去x得y2-4ty-4=0,显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1y2=-4,x1x2=·=1, 所以·=x1x2+y1y2=-3. 13.(15分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线过点(-1,1),过焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,且A,B两点的横坐标之和为. (1)求AB;(6分) (2)若P是抛物线上的一个动点,设C(3,2),求PC+PF的最小值.(9分) 解:(1)因为抛物线y2=2px(p>0)的准线过点(-1,1), 所以=1,即p=2,所以抛物线的方程为y2=4x. 根据抛物线的定义可知,AF=xA+,BF=xB+,所以AB=AF+BF=xA+xB+p=+2=. (2)过点P向准线作垂线,垂足为D,过点C向准线作垂线,垂足为E,如图. 根据抛物线的定义可知,PF等于点P到抛物线准线的距离PD,所以PC+PF=PC+PD. 由图可知,PC+PD的最小值为点C到抛物线准线的距离. 又CE=3+1=4,所以PC+PF的最小值为4. 14.(15分)已知点P与点F(2,0)的距离比它到直线x+4=0的距离小2,若记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程;(6分) (2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且OA⊥OB.求证直线l过定点,并求出该定点的坐标.(9分) 解:(1)∵点P与点F(2,0)的距离比它到直线x+4=0的距离小2,∴点P与点F(2,0)的距离和点P到直线x+2=0的距离相等,由抛物线定义知,点P的轨迹是以F(2,0)为焦点,x+2=0为准线的抛物线,即曲线C的方程为y2=8x. (2)证明:设l:x=ty+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-8ty-8m=0,则Δ=64t2+32m>0,即m>-2t2. ∴y1y2=-8m,x1x2==m2, ∵OA⊥OB,∴·=x1x2+y1y2=m2-8m=m(m-8)=0. ∵m≠0,∴m=8,即l:x=ty+8. 当y=0时,x=8,∴l恒过定点(8,0). 85 / 134 学科网（北京）股份有限公司 $$