3.2.1 第1课时 双曲线的定义及其标准方程(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

3.2　双曲线 3.2.1　双曲线的标准方程 第1课时　双曲线的定义及其标准方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程及其求法(待定系数法、定义法). 2.会利用双曲线的定义和标准方程解决焦点三角形问题. 1.双曲线的定义 定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2)的点的轨迹叫作双曲线 焦点 两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点 焦距 两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距 符号 语言 |PF1-PF2|=常数(常数小于F1F2) |微|点|助|解| (1)在双曲线定义中,若PF1-PF2=常数(0<常数<F1F2),即“去掉绝对值符号”,则动点M的轨迹为双曲线的一支(靠近点F2). (2)常数的大小与点P的轨迹如下表所示. 条件 结论 0<常数<F1F2 动点P的轨迹是双曲线 常数=F1F2 动点P的轨迹是分别以F1,F2为端点,指向F1,F2所在直线两侧的射线 常数>F1F2 动点P不存在,因而轨迹不存在 常数=0 动点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线 2.双曲线的标准方程 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 图形 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 F1F2=2c a,b,c 的关系 b2=c2-a2 |微|点|助|解| (1)双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指双曲线的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴. (2)焦点F1,F2的位置是双曲线的定位条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,即若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2的系数为正,则焦点在y轴上. (3)参数a,b,c的几何意义:在双曲线的标准方程中,因为a,b,c三个量满足c2=a2+b2,所以长度分别为a,b,c的三条线段恰好构成一个直角三角形,且长度为c的线段是斜边,如图所示. 基础落实训练 1.已知点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足PF1-PF2=2a,当a为3和5时,点P的轨迹分别是 (　　) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线 解析:选D　依题意得F1F2=10,当a=3时,因为PF1-PF2=2a=6<F1F2,故点P的轨迹为双曲线的右支;当a=5时,2a=10=F1F2,故点P的轨迹为一条射线. 2.方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则实数k的取值范围为 (　　) A.(-∞,1) B.(2,+∞) C.(1,2) D.(-∞,1)∪(2,+∞) 解析:选A　由方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则解得k<1,故选A. 3.以F1(-,0),F2(,0)为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是 (　　) A.-y2=1 B.-y2=1 C.-y2=1 D.x2-=1 解析:选A　由题意得双曲线焦点在x轴上且c=,设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 则有a2+b2=c2=3,-=1,解得a2=2,b2=1,故所求双曲线的标准方程为-y2=1,故选A. 4.设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P(x,y)满足条件PF1-PF2=4,则动点P的轨迹是 (　　) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.双曲线或线段或不存在 解析:选B　因为定点F1(0,-3),F2(0,3),所以F1F2=6,点P满足PF1-PF2=4<F1F2,所以动点P的轨迹是双曲线的上支. 题型(一)　双曲线的标准方程 [例1]　根据下列条件,分别求双曲线的标准方程. (1)经过点P,Q; (2)c=,经过点(-5,2),焦点在x轴上. 解:(1)法一　若焦点在x轴上,则设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0), 由于点P和Q在双曲线上, ∴解得 (舍去). 若焦点在y轴上,则设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),将P,Q两点坐标代入可得解得 ∴双曲线的标准方程为-=1. 综上,双曲线的标准方程为-=1. 法二　设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0), ∵P,Q两点在双曲线上, ∴解得 ∴所求双曲线的标准方程为-=1. (2)法一　依题意可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0). 则有解得 ∴所求双曲线的标准方程为-y2=1. 法二　∵焦点在x轴上,c=, ∴设所求双曲线方程为-=1(其中0<λ<6). ∵双曲线经过点(-5,2),∴-=1, ∴λ=5或λ=30(舍去). ∴所求双曲线的标准方程是-y2=1. 　　|思|维|建|模| 用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 　　[针对训练] 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在x轴上,a=2,经过点A(-5,2); (2)经过A(-7,-6),B(2,3)两点; (3)过点P(-,2),且与椭圆+=1有相同焦点. 解:(1)因为a=2,且双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线的标准方程为-=1(b>0),将点A(-5,2)的坐标代入双曲线的方程得-=1,解得b2=16,因此,双曲线的标准方程为-=1. (2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),将点A,B的坐标代入双曲线方程可得解得m=,n=-,因此双曲线的标准方程为-=1. (3)由题意知,椭圆+=1的焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),所以可设双曲线标准方程为-=1,其中a2+b2=5,代入点P(-,2)可得-=1,联立解得a2=1,b2=4,所以双曲线的标准方程为x2-=1. 题型(二)　与双曲线有关的轨迹问题 [例2]　动圆M与☉C:(x+2)2+y2=2内切,且过点A(2,0),求圆心M的轨迹方程. 解:设动圆M的半径为r,因为☉C与☉M内切,点A在☉C外,☉C的半径为,所以MC=r-,MA=r, 因此有MA-MC=, 所以点M的轨迹是以C,A为焦点的双曲线的左支, 即圆心M的轨迹方程是2x2-=1. |思|维|建|模| 1.求与双曲线有关的点的轨迹方程的方法 (1)列出等量关系,化简得到方程. (2)寻找几何关系,由双曲线的定义,得出对应的方程. 2.易错提醒 (1)双曲线的焦点所在的坐标轴判断错误. (2)忘记判断所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支. 　　[针对训练] 2.在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),其内切圆圆心在直线x=2上,则顶点C的轨迹方程为 (　　) A.-=1(x>2) 　B.-=1(x>3) C.+=1(0<x<2) 　D.+=1(0<x<3) 解析:选A　如图,设△ABC与圆的切点分别为D,E,F,则有AD=AE=5,BF=BE=1,CD=CF,所以CA-CB=5-1=4.根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,2a=4的双曲线的右支(右顶点除外),即c=3,a=2,又c2=a2+b2,所以b2=5,所以方程为-=1(x>2). 题型(三)　双曲线的定义及应用 [例3]　已知M是双曲线-=1上一点,点F1,F2分别是双曲线左、右焦点,若MF1=5,则MF2= (　　) A.9或1 B.1 C.9 D.9或2 解析:选C　因为M是双曲线-=1上一点,所以所以 由双曲线定义可知|MF1-MF2|=2a=4, 所以MF2=1或MF2=9,又MF2≥c-a=2,所以MF2=9,故选C. [例4]　已知F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,若P是双曲线左支上的点,且PF1·PF2=32,则△F1PF2的面积为　　　　.  解析:由题意,得a=3,b=4,c==5, 所以2a=6,2c=10. 因为P是双曲线左支上的点,所以PF2-PF1=6,两边平方,得P+P-2PF1·PF2=36,所以P+P=36+2PF1·PF2=36+2×32=100. 在△F1PF2中,由余弦定理, 得cos∠F1PF2===0,所以∠F1PF2=90°, 所以=PF1·PF2=×32=16. 答案:16 　　[变式拓展] 1.若例4中双曲线的方程不变,且双曲线上一点P到焦点F1的距离为10,求点P到焦点F2的距离. 解:由双曲线方程-=1,得a=3,b=4,c=5. 由双曲线的定义,得|PF1-PF2|=2a=6, 所以|10-PF2|=6,解得PF2=4或PF2=16. 2.若例4中的条件“PF1·PF2=32”变成“PF1∶PF2=2∶5”,其他条件不变,求△F1PF2的面积. 解:由双曲线方程-=1,得a=3,b=4,c=5. 因为P是双曲线左支上的点,所以PF2-PF1=6.又PF1∶PF2=2∶5,所以PF2=10,PF1=4.因为F1F2=2c=10,所以△PF1F2是等腰三角形.易得PF1边上的高为4,所以=×4×4=8. |思|维|建|模| 双曲线定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标,可以求得该点到某一焦点的距离,进而根据定义求该点到另一焦点的距离. (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算,在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用. 　　[针对训练] 3.已知双曲线-=1在左支上一点M到右焦点F1的距离为18,N是线段MF1的中点,O为坐标原点,则ON等于 (　　) A.4 B.2 C.1 D. 解析:选A　因为双曲线-=1左支上的点M到右焦点F1的距离为18,所以M到左焦点F2的距离MF2=18-10=8,N是MF1的中点,O是F1F2的中点,所以ON=MF2=4. 4.设点P在双曲线-=1上,若F1,F2为双曲线的两个焦点,且PF1∶PF2=1∶3,则△F1PF2的周长等于 (　　) A.22 B.16 C.14 D.12 解析:选A　由题意知F1F2=2=10,由双曲线定义知|PF2-PF1|=6,又PF1∶PF2=1∶3,∴PF1=3,PF2=9,∴△F1PF2的周长为3+9+10=22. [课时检测] 1.若方程-=1表示双曲线,则m的取值范围是 (　　) A.(-2,2) B.(0,+∞) C.[0,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 解析:选A　∵已知方程表示双曲线, ∴(2+m)(2-m)>0.∴-2<m<2. 2.若椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值为 (　　) A.1 B.1或-2 C.1或 D. 解析:选A　由题意知解得a=1. 3.过点(1,1),且=的双曲线的标准方程是 (　　) A.-y2=1 B.-x2=1 C.x2-=1 D.-y2=1或-x2=1 解析:选D　由=,知b2=2a2.当焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1,将点(1,1)代入可得a2=,则双曲线方程为-y2=1.同理,焦点在y轴上时,双曲线方程为-x2=1. 4.已知点M(2,0),N(-2,0),动点P满足条件PM-PN=2,则动点P的轨迹方程为 (　　) A.-y2=1(x≥) B.-y2=1(x≤-) C.x2-=1(x≥1) D.x2-=1(x≤-1) 解析:选D　因为M(2,0),N(-2,0),所以MN=4,动点P满足PM-PN=2<MN,由双曲线的定义可知,动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的左支,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则有c=2,a=1,b==,所以动点P的轨迹方程为x2-=1(x≤-1). 5.设F1,F2是双曲线C:x2-=1的左、右焦点,点P在双曲线C的右支上,当PF1=6时,△PF1F2的面积为 (　　) A.4 B.3 C. D.6 解析:选B　∵双曲线C:x2-=1,∴a=1,b=,c=2,又点P在双曲线C的右支上,PF1=6,∴PF1-PF2=2a,6-PF2=2,即PF2=4,又F1F2=2c=4,∴△PF1F2的面积为×6× =3. 6.在平面直角坐标系中,一动圆C与x轴切于点A(4,0),分别过点M(-5,0),N(5,0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上),则点P的轨迹方程为 (　　) A.-=1(x>4) B.-=1(x<-4) C.-=1(x>4或x<-4) D.-=1 解析:选A　设PM,PN分别与圆C相切于点S,T,则PS=PT,MS=MA,NA=NT,所以PM-PN=MA-NA=9-1=8,且8<MN=10,所以点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支(除去与x轴交点), 这里2a=8,a=4,c=5,则b===3,故点P的轨迹方程为-=1(x>4). 7.已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,点Q(0,2),则PQ+PF1的最小值为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.4 解析:选D　由题意并结合双曲线的定义可得PQ+PF1=PQ+(PF2+2)=PQ+PF2+2≥QF2+2=2+2=4,当且仅当Q,P,F2三点共线时等号成立.PQ+PF1的最小值为4.故选D. 8.(2024·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:选C　由题意可知,∠F1PF2=90°,又由直线PF2的斜率为2,可得tan∠PF2F1==2.根据双曲线定义PF1-PF2=2a,得PF1=4a,PF2=2a.因为=PF1·PF2=×4a×2a=4a2=8,所以a2=2,所以F1=P+P=(4a)2+(2a)2=20a2=40.又F1=4c2,所以c2=10,又a2+b2=c2,所以b2=8,所以双曲线的方程为-=1,故选C. 9.已知A(7,3),双曲线C:-=1的左焦点为F,P是双曲线C的右支上的动点,则PF-PA的最大值是 (　　) A.-1 B.2 C. D.9 解析:选D　若F'为双曲线右焦点F'(3,0),则PF-PF'=2a=4,AF'=5,而PA≥PF'-AF',当且仅当P,F',A共线且A在P,F'之间时等号成立,所以PF-PA≤PF-PF'+AF'=4+5=9,当P,F',A共线且A在P,F'之间时等号成立. 10.(5分)已知双曲线+=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则a等于　　　　.  解析:根据题意可知,双曲线的标准方程为-=1.由其焦距为4,得c=2,则有c2=2-a+3-a=4,解得a=. 答案: 11.(5分)双曲线-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为　　　　.  解析:由题意知双曲线右焦点的坐标为(3,0),则右焦点到直线x+2y-8=0的距离d==. 答案: 12.(5分)若方程+=1表示双曲线,则实数m的取值范围为　　　　　　　　.  解析:依题意有或解得-3<m<2或m>3. 所以实数m的取值范围是(-3,2)∪(3,+∞). 答案:(-3,2)∪(3,+∞) 13.(10分)分别求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8;(2分) (2)双曲线的一个焦点坐标是(0,-6),且双曲线经过点A(-5,6);(2分) (3)a=4,经过点A;(2分) (4)与双曲线-=1有相同的焦点,且经过点(3,2).(4分) 解:(1)由已知得c=5,2a=8.因此a=4,且b2=c2-a2=52-42=9. 又因为双曲线的焦点在x轴上,所以所求的双曲线的标准方程是-=1. (2)由已知得双曲线的焦点在y轴上,且c=6,所以另一个焦点坐标为(0,6). 因为点A(-5,6)在双曲线上,所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为 2a=|-|=|13-5|=8,因此a=4,从而b2=62-42=20. 因此,所求双曲线的标准方程是-=1. (3)当焦点在x轴上时,设所求标准方程为-=1(b>0),把点A的坐标代入,可得b2=-×<0,不符合题意;当焦点在y轴上时,设所求标准方程为-=1(b>0),把A点的坐标代入,可得b2=9, 故所求双曲线的标准方程为-=1. (4)设所求双曲线的方程为-=1(-4<λ<16),因为双曲线过点(3,2),所以-=1,解得λ=4或λ=-14 (舍去).所以双曲线的标准方程为-=1. 14.(10分)已知椭圆C1:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C2:-=1(a>0,b>0)与C1共焦点,点A(3,)在双曲线C2上. (1)求双曲线C2的方程;(4分) (2)已知点P在双曲线C2上,且∠F1PF2=60°,求△PF1F2的面积.(6分) 解:(1)由椭圆方程可知c2=18-14=4,∴F1(-2,0),F2(2,0),∵A(3,),∴2a=|AF1-AF2|=|-|=2, ∴a2=2,b2=c2-a2=4-2=2, ∴双曲线C2的方程为-=1. (2)设点P在双曲线的右支上,并且设PF1=x,PF2=y,∴变形为(x-y)2+xy=16⇒8+xy=16⇒xy=8, ∴=PF1·PF2sin 60°=2. 15.(15分)已知定点A(-,0),B(,0),动点P到两定点A,B距离之差的绝对值为2. (1)求动点P对应曲线C的轨迹方程;(5分) (2)过点Q(1,1)作直线与曲线C交于M,N两点,若点Q恰为MN的中点,求直线MN的方程.(10分) 解:(1)由题意知,|PA-PB|=2<AB=2,故动点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线,且a=,c=, ∴b==1,故曲线C的方程为-y2=1. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),满足 两式相减得=-,即=(y1-y2)(y1+y2), ∵点Q为MN的中点,故 ∴=,即直线MN的斜率为,又过点Q,故直线MN的方程为y-1=(x-1), 即x-2y+1=0. 85 / 134 学科网（北京）股份有限公司 $$