2.2 第2课时 直线与圆的综合应用(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

第2课时　直线与圆的综合应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 能解决直线与圆的方程有关的实际应用问题.掌握解决与圆有关最值(范围)问题和常用方法. 题型(一)　直线与圆的方程的实际应用 [例1]　一艘海监船上配有雷达,其监测范围是半径为26 km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿,船速为10 km/h,这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间约为 (　　) A.1 h B.2 h C.3 h D.4 h 解析:选B　如图,根据题意以海监船的位置为坐标原点,其正东方向为x轴,正北方向为y轴建立平面直角坐标系,所以A(40,0),B(0,30),圆O:x2+y2=676,记从N处开始被监测,到M处监测结束,所以lAB:+=1,即lAB:3x+4y-120=0,因为O到lAB:3x+4y-120=0的距离为OO'==24,所以MN=2=20,所以该艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间约为=2 h. 　　|思|维|建|模| 建立平面直角坐标系求解直线与圆的有关问题的思路 (1)选择合适坐标原点(方便求解直线、圆的方程),建立平面直角坐标系; (2)根据题意写出直线与圆的方程; (3)根据直线与圆的位置关系,采用几何法计算相关长度,完成问题的求解. 　　[针对训练] 1.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A地正东40 km处,求城市B处于危险区的时间为多少h. 解:如图,以A地为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则台风中心经过以B(40,0)为圆心,30为半径的圆内时城市B处于危险区,即B处于危险区时,台风中心在线段MN上,由题意知,台风路径用方程表示为y=x,则圆心B(40,0)到直线y=x的距离d==20,可求得MN=2=20, 所以城市B处于危险区的时间为=1 h. 题型(二)　与圆有关的最值问题 题点1　过圆内一点的最长弦、最短弦 [例2]　在圆x2+y2-2x-2y-1=0的所有经过坐标原点的弦中,最短弦的长度为 (　　) A.1 B.2 C.2 D.4 解析:选B　由x2+y2-2x-2y-1=0,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=3,如图,图中AB⊥MO,MB=,MO=,M为圆x2+y2-2x-2y-1=0的圆心,A,B为直线AB与圆的交点,易知AB为所有经过坐标原点的弦中的最短弦,AB=2=2=2.故选B. |思|维|建|模| 最长弦和最短弦问题的解法 (1)求出圆的标准方程,判断点是在圆内还是在圆外; (2)过圆内一点的最长弦为圆的直径,此时直线过圆心;最短弦与圆心和该点的连线垂直. 最长弦长为直径,可直接得出,最短弦长可利用垂径定理和勾股定理求得. 题点2　与圆有关的斜率、距离的最值问题 [例3]　已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3. (1)求的最大值和最小值; (2)求y-x的最大值和最小值; (3)求x2+y2的最大值和最小值. 解:(1)方程表示以点(2,0)为圆心,为半径的圆,设=k,即kx-y=0,当直线kx-y=0与圆相切时,斜率k取得最大值和最小值,此时=,解得k=±.故的最大值为,最小值为-. (2)设y-x=b,即x-y+b=0, 当x-y+b=0与圆相切时,纵截距b取得最大值和最小值,此时=,即b=-2±. 故y-x的最大值为-2+,最小值为-2-. (3)x2+y2表示圆上的点与原点距离的平方,由平面几何知识知,它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值,又圆心到原点的距离为2,故(x2+y2)max=(2+)2=7+4,(x2+y2)min=(2-)2=7-4. |思|维|建|模| (1)ax+by型的最大值转化为直线ax+by=c的截距的最大值; (2)型的最大值和最小值转化为过点(x,y)和(a,b)的直线斜率的最大值和最小值; (3)(x-a)2+(y-b)2型的最大值和最小值转化为(x,y)和(a,b)的距离的最大值和最小值的平方. 题点3 　圆上的动点到直线的距离的最值和范围问题 [例4]　已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k=　　　　.  解析:圆C:x2+y2-2y=0的圆心为C(0,1),半径r=1, 由圆的性质可知,四边形PACB的面积S=2S△PBC,又四边形PACB的最小面积是2,则S△PBC的最小值S=1=r(PB)min=(PB)min,则(PB)min=2, 因为PB==,所以当PC取最小值时,PB最小.又点P(x,y)是直线kx+y+4=0上的动点,当CP垂直于直线kx+y+4=0时,PC最小,即为圆心C(0,1)到直线的距离,所以==,解得k=±2,因为k>0,所以k=2. 答案:2 |思|维|建|模| 　　设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r, (1)当直线与圆相离时,圆上一点到直线的距离的最大值为d+r,最小值为d-r,如图①; (2)当直线与圆相切时(d=r),圆上一点到直线的距离的最大值为2r,最小值为0,如图②; (3)当直线与圆相交时,圆上一点到直线的距离的最大值为d+r,最小值为0,劣弧上的点到直线的距离的最大值为r-d,如图③. 　　[针对训练] 2.从点P(1,-2)向圆x2+y2-2mx-2y+m2=0作切线,当切线长最短时,m的值为 (　　) A.-1 B.1 C.2 D.0 解析:选B　x2+y2-2mx-2y+m2=0可化为(x-m)2+(y-1)2=1,圆心C(m,1),半径为1,切线长最短时,CP最小,CP=,即当m=1时,CP最小,切线长最短. 3.已知点O(0,0),A(0,2),点M是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,则△OAM面积的最小值为　　　　.  解析:根据题意,得圆(x-3)2+(y+1)2=4的圆心为点(3,-1),半径r=2,O(0,0),A(0,2),AO所在的直线是y轴, 当M到直线AO的距离最小时,△OAM的面积最小, 则M到直线AO的距离的最小值d=3-2=1, 则△OAM的面积最小值S=×OA×d=1. 答案:1 4.已知x和y满足(x+1)2+y2=. (1)求x2+y2的最值; (2)试求点P(3,3)到圆的最远距离. 解:(1)由题意知x2+y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方,显然当圆上的点与坐标原点的距离取得最大值和最小值时,其平方也相应地取得最大值和最小值.易知圆(x+1)2+y2=的圆心为点(-1,0),半径为,所以原点(0,0)到圆心(-1,0)的距离d=1.故圆上的点到坐标原点的最远距离为1+=,最近距离为1-=,因此x2+y2的最大值和最小值分别为和. (2)由(1)知圆心为点(-1,0),半径为,则点P到圆心的距离为=5,所以点P(3,3)到圆的最远距离为5+=. [课时检测] 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.圆x2+y2=4上的点到直线4x-3y+25=0的距离的取值范围是 (　　) A.[3,7] B.[1,9] C.[0,5] D.[0,3] 解析:选A　x2+y2=4,圆心为点(0,0),半径r=2,圆心到直线4x-3y+25=0的距离d==5,所以圆上的点到直线的距离的最小值为5-2=3,最大值为5+2=7,所以圆上的点到直线的距离的取值范围是[3,7]. 2.若点M(x,y)在圆x2+(y-2)2=1上运动,则的取值范围是 (　　) A.[,+∞) B.(-∞,-] C.(-∞,-]∪[,+∞) D.[-,] 解析:选C　如图,将看作圆上动点(x,y)与原点O(0,0)连线的斜率,设=k,把y=kx代入圆的方程得(k2+1)x2-4kx+3=0,则Δ=16k2-4×3×(k2+1)≥0,解得k≥或k≤-. 3.已知点P是直线l:3x+4y-7=0上的动点,过点P引圆C:(x+1)2+y2=r2(r>0)的两条切线PM,PN,M,N为切点,则当PM的最小值为时,r的值为 (　　) A.2 B. C. D.1 解析:选D　如图,由题意得PM2=PC2-r2,当PC⊥l时,PC最小,则PM最小. 因为(PC)min=d==2,所以()2=22-r2,解得r=1. 4.已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　将圆的方程x2+y2-6x=0化为标准方程(x-3)2+y2=9. 设圆心为C,则C(3,0),半径r=3. 设点(1,2)为点A,过点A(1,2)的直线为l, 因为(1-3)2+22<9,所以点A(1,2)在圆C的内部, 则直线l与圆C必相交,设交点分别为B,D. 易知当直线l⊥AC时,直线l被该圆所截得的弦的长度最小, 设此时圆心C到直线l的距离为d, 则d=AC==2, 所以BDmin=2=2=2, 即弦的长度的最小值为2,故选B. 5.[多选]已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 (　　) A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时,PB=3 D.当∠PBA最大时,PB=3 解析:选ACD　由题意知直线AB:+=1,即x+2y-4=0,圆心(5,5)到直线x+2y-4=0的距离d==.因为+4<10,所以A项正确.因为-4<2,所以B项错误.当直线PB与圆相切时,∠PBA取得最值.如图,当切点在点P的位置时,∠PBA最小,此时圆心(5,5) 到点B的距离为=,则PB==3;当切点在点P'的位置时,∠PBA最大,同理可得PB=3.所以C、D项正确.故选ACD. 6.[多选]已知△ABC的三个角A,B,C所对的三边分别为a,b,c,a=2,c=b,设BC的中点为O,则下列说法正确的是 (　　) A.△AOC不可能是等腰三角形 B.cos∠AOC的最小值为 C.△ABC面积的最大值为2 D.△ABC周长的最小值为4 解析:选BC　如图,以点O为坐标原点建立平面直角坐标系,设点A,B,C的坐标分别为(x,y),(-1,0),(1,0).由c=b得点A的轨迹为☉E:(x-3)2+y2=8(y≠0).对于A,当点A在☉E上运动时,b∈(2-2,2+2),存在点A使得b=1,即△AOC为等腰三角形,故A错误;对于B,当直线OA与☉E相切时,∠AOC取到最大值,易得对应的cos∠AOC=,故B正确;对于C,当AE⊥x轴时,△ABC的面积取到最大值,最大值为2,故C正确;对于D,△ABC的周长为a+b+c=2+(+1)b∈(4,8+4),所以△ABC周长的最小值不存在,故D错误.故选BC. 7.(5分)设某村庄外围成圆形,其所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短距离是　　　　.  解析:从村庄外围到小路的最短距离是圆心(2,-3)到直线x-y+2=0的距离减去圆的半径2,即-2=-2. 答案:-2 8.(5分)圆x2+y2=16上的点到直线x-y=3的距离的最大值为　　　　.  解析:由题设,圆心为点(0,0),半径为4,∴圆心到直线x-y=3的距离为=,∴圆x2+y2=16上的点到直线x-y=3的距离的最大值为4+. 答案:4+ 9.(5分)点P(x,y)是直线l:kx+y+3=0上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-4y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB面积的最小值为2,则k的值为　　　　.  解析:由题意可知,圆心C(0,2),半径r=2.如图所示,S四边形PACB=2S△PAC=2×PA× AC=2PA=2=2,所以当PC最小时,四边形PACB的面积取最小值.而PC的最小值即点C到直线l的距离d,又d==,所以2=2,解得d=.即=,解得k=±2.所以k的值为±2. 答案:±2 10.(5分)在平面直角坐标系中,已知A(3,4),圆C:x2+y2=1,设点P(x,y),过点P的直线l与圆C切于点B,且PA=PB,则PA长度的最小值是　　　　.  解析:圆C:x2+y2=1的圆心为C(0,0),因为PA2=PB2=PC2-CB2=PC2-1,又P(x,y),所以(x-3)2+(y-4)2=x2+y2-1,化简可得3x+4y-13=0,即点P在直线3x+4y-13=0上,所以PA长度的最小值为A(3,4)到直线3x+4y-13=0的距离d==. 答案: 11.(5分)已知圆C:(x-5)2+(y-3)2=3,直线l:y=ax+1,点M,N为圆C上的两个动点,若直线l上存在点P,使得∠MPN=120°,则a的最大值为　　　　.  解析:如图,取MN的中点为E,连接PE,CE,已知C:(x-5)2+(y-3)2=3,圆心C(5,3),半径r=CN=,则当P,E,C三点共线时,PC有最大值.因为∠MPN=120°,所以此时∠NPC=60°.又由正弦定理得===2,故PC=2sin∠PNC,所以当∠PNC=90°时,(PC)max=2.由于点P在直线l上,所以圆心C到直线l的距离d=≤PC≤2,整理解得0≤a≤,故a的最大值为. 答案: 12.(5分)(2022·新课标Ⅱ卷)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是　　　　.  解析:由题意知点A(-2,3)关于直线y=a的对称点为A'(-2,2a-3).所以kA'B=.所以直线A'B的方程为y=x+a,即(3-a)x-2y+2a=0.由题意知直线A'B与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,易知圆心为点(-3,-2),半径为1,所以≤1,整理得6a2-11a+3≤0,解得≤a≤.所以实数a的取值范围是. 答案: 13.(5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围为　　　　.  解析:设圆(x-2)2+y2=2的圆心为C,半径为r,点P到直线x+y+2=0的距离为d, 则圆心C(2,0),r=, 所以圆心C到直线x+y+2=0的距离为=2,可得dmax=2+r=3,dmin=2-r=. 由已知条件可得AB=2, 所以△ABP面积的最大值为AB·dmax=6, △ABP面积的最小值为AB·dmin=2. 综上,△ABP面积的取值范围是[2,6]. 答案:[2,6] 14.(10分)已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3). (1)求MQ的最大值和最小值;(5分) (2)若M(m,n),求的最大值和最小值.(5分) 解:(1)由圆C的方程x2+y2-4x-14y+45=0化为标准方程得(x-2)2+(y-7)2=8, ∴圆心C的坐标为点(2,7),半径r=2, 又QC==4, ∴(MQ)max=4+2=6, (MQ)min=4-2=2. (2)由题意可知表示直线MQ的斜率, 设直线MQ的方程为y-3=k(x+2), 即kx-y+2k+3=0,则=k. 由直线MQ与圆C有交点, 得≤2,可得2-≤k≤2+, ∴的最大值为2+,最小值为2-. 15.(15分)已知直线l:3x+4y+1=0,一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切,且圆心C到直线l的距离为3. (1)求圆的方程;(6分) (2)P是直线l上的动点,PE,PF是圆的两条切线,E,F分别为切点,求四边形PECF的面积的最小值.(9分) 解:(1)∵圆与x,y轴正半轴都相切, ∴圆的方程可设为(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0), ∵圆心C到直线l的距离为3, 由点到直线的距离公式,得d==3,解得a=2,∴圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=4. (2)∵PE,PF是圆的两条切线,E,F分别为切点,∴△PCE≌△PCF, ∴S四边形PECF=2S△PCE,PE是圆的切线,且E为切点, ∴PE⊥CE,CE=2,PE2=PC2-CE2=PC2-4,∴当斜边PC取最小值时,PE也最小,即四边形PECF的面积最小.(PC)min即为圆心C到直线l的距离,由(1)知(PC)min=3, ∴(PE2)min=32-4=5,即(PE)min=, ∴S四边形PECF=2S△PCE=2×CE·PE=2××2×=2, ∴四边形PECF的面积的最小值为2. 16.(15分)已知圆C过原点O和点A(1,3),圆心在x轴上. (1)求圆C的方程;(4分) (2)直线l经过点(1,1),且l被圆C截得的弦长为6,求直线l的方程;(5分) (3)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m,设m与x轴的交点为N,若向量=+,求动点Q的轨迹方程.(6分) 解:(1)设圆心为C(a,0)(a>0),由题意可得OC=AC, 则a=,解得a=5,所以圆C的半径为5,故圆C的方程为(x-5)2+y2=25. (2)由题意可知,圆心C到直线l的距离为d==4, 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1, 此时,圆心C到直线l的距离为4,合乎题意; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-1),即kx-y+1-k=0, 由题意可得==4,解得k=, 此时,直线l的方程为y-1=(x-1),即15x-8y-7=0. 综上所述,直线l的方程为x=1或15x-8y-7=0. (3)设点M(x0,y0),其中x0≠0,则N(x0,0),设点Q(x,y), 因为=+,则(x,y)=(x0,y0)+(x0,0)=(2x0,y0), 可得即 因为点M在圆C上,所以(x0-5)2+=25,即+y2=25.故点Q的轨迹方程为(x-10)2+4y2=100(x≠0). 61 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $$