2.2 第1课时 直线与圆的位置关系(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

2.2　直线与圆的位置关系 第1课时　直线与圆的位置关系 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 掌握直线与圆的三种位置关系:相交、相切、相离.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系. 1.直线与圆的三种位置关系及判定 位置关系 相离 相切 相交 图形 几何法 d与r的 大小 d>r d=r d<r 代数法 依据方程组 解的情况 Δ<0 方程组 无解 Δ=0 方程组 仅有一 组解 Δ>0 方程组有 两组不同 的解 2.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交. (　　) (2)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线和圆相交或相切. (　　) (3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解. (　　) (4)过圆外一点的直线与圆相离. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.直线x-y+3=0被圆x2+y2+2x-4y=0所截得的弦长为 (　　) A. B.2 C.5 D.10 解析:选B　圆x2+y2+2x-4y=0即(x+1)2+(y-2)2=5,故圆心为点(-1,2),显然圆心在直线x-y+3=0上,故直线被圆所截得的弦即为圆的直径,长为2. 3.若直线ax+by=1与圆O:x2+y2=1相离,则点P(a,b)与圆O的位置关系为 (　　) A.点P在圆O内 B.点P在圆O上 C.点P在圆O外 D.无法确定 解析:选A　由题设O(0,0)与直线ax+by=1的距离d=>1,即a2+b2<1,所以点P(a,b)在圆O内. 4.已知圆C:x2+y2=25与直线l:3x-4y+m=0(m>0)相切,则m= (　　) A.15 B.5 C.20 D.25 解析:选D　易知C的圆心为原点O,设O到直线l的距离为d,因为圆C与直线l相切,则d==5,解得m=25. 题型(一)　直线与圆位置关系的判断 [例1]　已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线: (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点. 解:法一　将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程化简整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.则Δ=4m(3m+4). (1)当Δ>0,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点. (2)当Δ=0,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点. (3)当Δ<0,即-<m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 法二　已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即圆心为C(2,1),半径r=2. 圆心C(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离d== . (1)当d<2,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点. (2)当d=2,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点. (3)当d>2,即-<m<0时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 　　|思|维|建|模|　 根据直线与圆的位置关系求参数的方法 代数法 (判别式法) 将直线与圆的位置关系转化为一元二次方程根的个数问题,利用判别式得到关于参数的方程或不等式,通过解方程或不等式求解 几何法 由直线与圆的位置关系得到圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系,从而列方程或不等式求解 　　 [针对训练] 1.直线ax+y-a=0(a∈R)与圆x2-4x+y2=0的位置关系是 (　　) A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定 解析:选B　由ax+y-a=0⇒y=-a(x-1),所以直线ax+y-a=0恒过定点(1,0),圆x2-4x+y2=0可化为(x-2)2+y2=4,因为(1-2)2+02<4,所以点(1,0)在圆(x-2)2+y2=4的内部,所以直线ax+y-a=0与圆x2-4x+y2=0相交. 2.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-3,1) B.(1,3) C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 解析:选C　由题意得圆心为点(a,0),半径为.圆心到直线的距离为d==,由直线与圆有公共点可得≤,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1.所以实数a的取值范围是[-3,1]. 题型(二)　圆的弦长问题 [例2]　求直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长. 解:法一　直线x-y+2=0和圆x2+y2=4的公共点坐标就是方程组的解,解得所以公共点的坐标为(-,1),(0,2),所以直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为=2. 法二　如图,设直线x-y+2=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,弦AB的中点为M,则OM⊥AB(O为坐标原点), 又OM==,所以AB=2AM=2=2=2. |思|维|建|模| 求弦长常用的三种方法 (1)几何法:利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系+d2=r2解题. (2)交点坐标法:若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间的距离公式计算弦长. (3)公式法:设直线y=kx+b,与圆的两交点为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长l=|x1-x2|=. 　　[针对训练] 3.直线l:x-y+3=0被圆C:x2+(y-1)2=4截得的弦长为 (　　) A. B.2 C. D.2 解析:选D　由圆C:x2+(y-1)2=4,得圆心C(0,1),半径r=2,所以圆心C(0,1)到直线l的距离为d==1,所以直线l被圆C截得的弦长为2=2×=2. 4.(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　　　　.  解析:设直线x-my+1=0为直线l,由条件知☉C的圆心C(1,0),半径r=2,C到直线l的距离d=,AB=2=2=.由S△ABC=,得××=,整理得2m2-5|m|+2=0,解得m=±2或m=±. 答案:2 题型(三)　圆的切线问题 [例3]　已知点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.求过点M的圆C的切线方程. 解:由题意得圆心C(1,2),半径r=2. ∵(3-1)2+(1-2)2=5>4,∴点M在圆C外部. 当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0. 又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,即此时满足题意,∴直线x=3是圆的切线. 当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0, 则圆心C到切线的距离d==r=2,解得k=.∴切线方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0.综上可得,过点M的圆C的切线方程为x=3或3x-4y-5=0. 　　[变式拓展] 1.若本例条件不变,求过点M的圆C的切线长. 解:∵MC==,∴过点M的圆C的切线长为==1. 2.若本例条件点“M(3,1)”改为“M(+1,2-)”,求过点M的圆C的切线方程. 解:∵(+1-1)2+(2--2)2=4, ∴点M在圆C上.又kMC==-1, ∴切线的斜率k=-=1. ∴过点M的圆C的切线方程是y-(2-)=x-(+1),即x-y+1-2=0. 　　|思|维|建|模| 过圆外一点求圆的切线方程的两种求解方法 几何法 设出切线的方程,利用圆心到切线的距离等于半径,求出未知量的值.此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出其切线方程 代数法 设出切线的方程后与圆的方程联立消元,利用Δ=0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程,则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在,可直接写出其切线的方程 [提醒]　过一点求圆的切线方程时,若点在圆上,则切线只有一条;若点在圆外,则切线有两条. 　　[针对训练] 5.过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l,则切线l的方程为 (　　) A.y=1 　B.4x-3y-5=0 C.y=1或3x-4y-5=0 　D.y=1或4x-3y-5=0 解析:选D　由题意可设切线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0,∴圆心到直线l的距离d==1,解得k=0或k=,∴切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0. 6.已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,过点A(-2,-1)向圆C作切线,切点为B,则AB= (　　) A. B. C. D.3 解析:选C　圆(x-1)2+(y+2)2=4的圆心C(1,-2),半径r=2,又A(-2,-1),则AC==,则AB===. [课时检测]　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.直线l:y=x+1与圆C:(x-1)2+y2=4的位置关系是 (　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.都有可能 解析:选A　圆C的圆心为点(1,0),半径为2,直线l的方程为x-y+1=0,圆心到直线l的距离为=<2,所以直线l与圆C的位置关系是相交. 2.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+1=0没有公共点,则实数m的取值范围是 (　　) A.(-5,15) B.(-∞,-5)∪(15,+∞) C.(-∞,4)∪(13,+∞) D.(4,13) 解析:选B　圆x2+y2-2x+4y+1=0的圆心为点(1,-2),半径为2,由题意,圆心到直线3x+4y+m=0的距离>2,∴m<-5或m>15.故选B. 3.圆心为(3,0)且与直线x+y=0相切的圆的方程为 (　　) A.(x-)2+y2=1 B.(x-3)2+y2=3 C.(x-)2+y2=3 D.(x-3)2+y2=9 解析:选B　由题意知所求圆的半径r==,故所求圆的方程为(x-3)2+y2=3.故选B. 4.若圆x2+y2-2x+4y+m=0截直线x-y-3=0所得弦长为6,则实数m的值为 (　　) A.-1 B.-2 C.-4 D.-31 解析:选C　圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=5-m,∴圆心为点(1,-2). 设圆心到直线的距离为d,则d==0, 因此弦长6就是直径2r,∴r=3.∴r2=5-m=9⇒m=-4,故选C. 5.已知圆C与直线x+y+3=0相切,直线mx+y+1=0始终平分圆C的面积,则圆C的方程为 (　　) A.x2+y2-2y=2 B.x2+y2+2y=2 C.x2+y2-2y=1 D.x2+y2+2y=1 解析:选D　在直线mx+y+1=0的方程中,令x=0,则y=-1,则直线mx+y+1=0过定点(0,-1).由于直线mx+y+1=0始终平分圆C的面积,则点(0,-1)是圆C的圆心,又圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的半径r==.因此,圆C的方程为x2+(y+1)2=2,即x2+y2+2y=1. 6.[多选]已知圆M:(x-4)2+(y-2)2=5,下列结论正确的是 (　　) A.过点P(2,1)且与圆M相切的直线的方程为2x+y-5=0 B.过点P(2,1)且与圆M相切的直线的方程为x-2y=0 C.直线l:y=x与圆M交于A,B两点,则AB=2 D.直线l:y=x与圆M交于A,B两点,则AB= 解析:选AC　点P(2,1)到圆M:(x-4)2+(y-2)2=5的圆心(4,2)的距离为=,刚好等于圆的半径,所以点P在圆上.显然斜率不存在时不满足题意,则设过点P的切线方程为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0.根据圆心到切线的距离等于半径及点到直线的距离公式得=,即=,两边平方,解得k=-2,所以切线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0,A正确,B错误.对于直线l:y=x,圆心(4,2)到直线y=x的距离d===.根据弦长公式AB=2, 得AB=2=2=2,C正确,D错误.故选AC. 7.(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α= (　　) A.1 B. C. D. 解析:选B　圆x2+y2-4x-1=0的圆心C(2,0),半径r=,过点P(0,-2)作圆C的切线,切点为A,B,因为PC==2,则PA==,可得sin∠APC==,cos∠APC==,则sin∠APB=sin 2∠APC=2sin∠APC·cos∠APC=2××=,cos∠APB=cos 2∠APC=cos2∠APC-sin2∠APC=-=-<0,即∠APB为钝角,所以sin α=sin(π-∠APB)=sin∠APB=. 8.(5分)直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若弦AB的中点为C(-2,3),则直线l的方程为　　　　　　　.  解析:由圆的方程可得,圆心为P(-1,2),所以kPC==-1,故直线l的斜率k=1,所以直线l的方程为y-3=x+2,即x-y+5=0. 答案:x-y+5=0 9.(5分)过圆x2+y2=8内的点P(-1,2)作直线l交圆于A,B两点.若直线l的倾斜角为135°,则弦AB的长为　　　　.  解析:由题意知直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0,圆心O(0,0)到直线l的距离d==,则有AB=2=2=. 答案: 10.(5分)已知圆M的圆心为M(3,-5),且与直线x-7y+2=0相切,则圆M的面积为　　　.  解析:因为圆M与直线x-7y+2=0相切,所以点M(3,-5)到直线x-7y+2=0的距离即为圆M的半径,所以r===4,圆M的面积为π×(4)2=32π. 答案:32π 11.(5分)已知圆C与直线x-2y-2=0相切于点M(2,0),且圆心C在直线y=-x上.过原点作圆C的切线,则切线长为　　　　.  解析:设圆心为点(t,-t),圆的半径为r,由题意,圆心(t,-t)到x-2y-2=0的距离为r,即r=,又圆心到M(2,0)的距离也是r,即r=,故=,解得t=4,则圆心为点(4,-4),半径为2,原点到圆心的距离是=4,于是过原点作圆C的切线长为=2. 答案:2 12.(10分)已知圆C的圆心在x轴上,且经过点A(-1,0),B(1,2). (1)求线段AB的垂直平分线方程;(3分) (2)求圆C的标准方程;(3分) (3)已知直线l:y=kx+1与圆C相交于M,N两点,且MN=2,求直线l的方程.(4分) 解:(1)设AB的中点为D,则D(0,1),kAB==1,由圆的性质,得CD⊥AB,所以kCD×kAB=-1,得kCD=-1. 所以线段AB的垂直平分线的方程是y=-x+1,即x+y-1=0. (2)设圆C的标准方程为(x-a)2+y2=r2,其中C(a,0),半径为r(r>0). 由圆的性质,圆心C(a,0)在直线CD上,化简得a=1,则圆心C(1,0),r=CA=2, 所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4. (3)设F为MN中点,则CF⊥l,FM=FN=.设圆心C到直线l的距离d=CF==,则d==,解得k=1,所以直线l的方程为y=x+1,即x-y+1=0. 13.(15分)已知圆O的圆心为原点,斜率为1且过点M(,3)的直线与圆相切. (1)求圆O的方程;(6分) (2)过M的直线l交圆O于A,B,若△OAB的面积为2,求直线l的方程.(9分) 解:(1)过点M(,3)且斜率为1的直线为y=x+2,则圆心(0,0)到直线的距离d1==2,所以半径r=2,则圆O的方程为x2+y2=4. (2)设O到直线l的距离为d,则S△OAB=d=2,解得d=. 若直线l斜率不存在,方程为x=,满足题意; 若直线l斜率存在,设为k,直线l的方程为y=k(x-)+3, 因为d=,所以=,解得k=, 则直线l的方程为y=(x-)+3,即y=x+;综上,直线l的方程为x=或y=x+. 14.(15分)在平面直角坐标系中,圆C过点A(4,0),B(2,2),且圆心C在x+y-2=0上. (1)求圆C的方程;(7分) (2)若已知点P(4,2),过点P作圆C的切线,求切线的方程.(8分) 解:(1)因为圆C过A(4,0),B(2,2),则AB的中垂线过圆心C,设AB的中点为M,则M(3,1), 因为kAB==-1,所以AB的中垂线方程为y-1=x-3,即y=x-2. 又圆心在x+y-2=0上, 联立解得 因此圆心C(2,0),半径r=CA=2, 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=4. (2)因为(4-2)2+>4,所以点P(4,2)在圆C外,过P(4,2)作圆C的切线. 若切线斜率不存在时,则切线方程为x=4,满足与圆C相切,若切线斜率存在时,设切线方程y-2=k(x-4),即kx-y-4k+2=0,则=2,解得k=, 所以切线方程为x-y-4×+2=0,即x-y+2=0. 综上,切线方程为x=4或x-y+2=0. 61 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $$