1.4 两条直线的交点(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

1.4　两条直线的交点 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系. 逐点清(一)　两条直线的交点坐标 [多维理解] 　　设两条直线的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的公共解;反之,如果这两个二元一次方程只有一个公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点. [微点练明] 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若点A(1,-1)在直线Ax+By=0上,则A=B. (　　) (2)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交. (　　) (3)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解. (　　) (4)若直线2x+y+1=0与直线x-y-4=0的交点为(a,b),则a-b=4. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2.直线x-2y-6=0与直线2x+y-2=0的交点坐标为 (　　) A.(0,-3) B.(1,0) C.(3,-4) D.(2,-2) 解析:选D　由解得则交点坐标为(2,-2). 3.已知三条直线x+y=5,3x+y=7,ax+2y=6相交于两点A,B.若A(2,1),则a= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　联立解得所以A(2,1)是直线ax+2y=6上的点,代入直线ax+2y=6得2a+2=6,解得a=2.故选B. 4.已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是　　　　.  解析:联立方程组解得即交点坐标为,因为交点位于第四象限,所以>0且<0,解得-<a<2,即a的取值范围是. 答案: 逐点清(二)　两条直线的位置关系的判断 [多维理解] 　　方程组的解的组数与两直线的位置关系 方程组 的解 一组 无数组 无解 直线l1,l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1,l2的位置关系 相交 重合 平行 |微|点|助|解| (1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系,但是由于运算量较大,一般较少使用. (2)两条直线相交的等价条件是A1B2-A2B1≠0. [微点练明] 1.若关于x,y的方程组无解,则m= (　　) A. B.- C.2 D.-2 解析:选A　由题意知,直线2x+y=1与直线x+my=1平行,故2m-1=0,解得m=. 2.已知三条直线l1:x-2y+2=0,l2:y-2=0,l3:mx+y=0将平面分为六个部分,则满足条件的m的值共有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 解析:选C　因为三条直线l1:x-2y+2=0,l2:y-2=0,l3:mx+y=0将平面分为六个部分,所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交,当三条直线交于一点时,联立解得此时2m+2=0,即m=-1,当两条平行线与第三条直线相交时,可得l1∥l3或l2∥l3,所以m=-或m=0.综上,m=-1或m=-或m=0.故选C. 3.分别判断下列直线是否相交,若相交,求出交点坐标. (1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; (2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; (3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. 解:(1)联立方程组解得因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,-1). (2)联立方程组 ①×2得4x-12y+8=0. ①和②可以化为同一个方程,即①和②表示同一条直线,直线l1与l2重合. (3)联立方程组无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2. 逐点清(三)　过两条直线交点的直线系方程 　　过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0). [典例]　已知两条直线l1:x+2y-6=0和l2:x-2y+2=0的交点为P.求: (1)过点P与Q(1,4)的直线方程; (2)过点P且与直线x-3y-1=0垂直的直线方程. 解:设过直线l1:x+2y-6=0和l2:x-2y+2=0交点的直线方程为x+2y-6+m(x-2y+2)=0, 即(m+1)x+(2-2m)y+2m-6=0①. (1)把点Q(1,4)代入方程①, 化简得3-5m=0,解得m=. 所以过两直线交点P与Q的直线方程为 x+y-=0,即2x+y-6=0. (2)由直线①与直线x-3y-1=0垂直, 得m+1-3(2-2m)=0,解得m=, 所以所求直线的方程为x+y-=0, 即3x+y-8=0. |思|维|建|模|　求过两条直线交点的直线方程的方法 方程 组法 一般是先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件求出直线方程 直线 系法 先设出过两直线交点的直线系方程,再结合条件利用待定系数法求出参数,最后确定直线方程 　　[针对训练] 1.无论k为何值,直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点,则该定点为 (　　) A.(1,3) B.(-1,3) C.(3,1) D.(3,-1) 解析:选D　直线方程可化为2x+y-5+k(x-y-4)=0,则此直线过直线2x+y-5=0和直线x-y-4=0的交点.由解得因此所求定点为(3,-1). 2.经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 (　　) A.x+y+1=0 B.x-y+1=0 C.x+y+1=0或3x+4y=0 D.x-y+1=0或x+y+1=0 解析:选C　设直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0,即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0,令x=0,得y=,令y=0,得x=.由=,得λ=或λ=.所以直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0. [课时检测] 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.两条直线l1:2x-y-1=0与l2:x+3y-11=0的交点坐标为 (　　) A.(3,2) B.(2,3) C.(-2,-3) D.(-3,-2) 解析:选B　解方程组得 2.不论m为何实数,直线l:(m-1)x+(2m-3)y+m=0恒过定点 (　　) A.(-3,-1) B.(-2,-1) C.(-3,1) D.(-2,1) 解析:选C　直线l的方程可化为m(x+2y+1)-x-3y=0,令解得∴直线l恒过定点(-3,1). 3.若直线y=-2x+4与直线y=kx的交点在直线y=x+2上,则实数k= (　　) A.4 B.2 C. D. 解析:选A　解方程组得直线y=-2x+4与直线y=x+2的交点,依题意,=k,解得k=4,所以实数k=4. 4.若直线2x-y+m=0和直线3x-y+3=0的交点在第二象限,则m的取值范围为 (　　) A.(-∞,3) B.(2,+∞) C.(-∞,2)∪(3,+∞) D.(2,3) 解析:选D　联立解得所以交点为(m-3,3m-6),由于(m-3,3m-6)在第二象限,所以解得2<m<3,所以m的取值范围为(2,3),故选D. 5.过两直线x+y-3=0,2x-y=0的交点,且与直线y=x平行的直线方程为 (　　) A.x+3y+5=0 B.x+3y-5=0 C.x-3y+5=0 D.x-3y-5=0 解析:选C　由解得则直线x+y-3=0,2x-y=0的交点为(1,2).又直线y=x的斜率为,则所求直线方程为y-2=(x-1),整理得x-3y+5=0. 6.若直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直,垂足为(1,p),则m-n+p的值为 (　　) A.20 B.-4 C.12 D.4 解析:选A　因为直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直,所以2m+4×(-5)=0,解得m=10,所以直线mx+4y-2=0为5x+2y-1=0,又垂足为(1,p),可得5×1+2p-1=0,解得p=-2,则垂足为(1,-2).又其在2x-5y+n=0上,可得2×1-5×(-2)+n=0,解得n=-12.所以m-n+p=10-(-12)+(-2)=20. 7.设直线kx-y-k+=0过定点A,直线2kx-y-8k=0过定点B,则直线AB的倾斜角为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　kx-y-k+=0可变形为k(x-1)-(y-)=0,令解得 所以点A的坐标为(1,),2kx-y-8k=0可变形为k(2x-8)-y=0,令解得所以点B的坐标为(4,0),所以直线AB的斜率为=-,故直线AB的倾斜角为. 8.[多选]已知直线l1:3x+y-1=0与l2:x+2y-7=0,则下列说法正确的是 (　　) A.l1与l2的交点坐标是(0,-1) B.过l1与l2的交点且与l1垂直的直线的方程为x-3y+13=0 C.l1,l2与x轴围成的三角形的面积是 D.l1的倾斜角是锐角 解析:选BC　联立3x+y-1=0与x+2y-7=0,解得交点坐标为(-1,4),所以A中说法错误.由所求直线与直线3x+y-1=0垂直得所求直线的斜率为.由点斜式得y-4=(x+1),即x-3y+13=0.所以B中说法正确.l1,l2与x轴围成的三角形的面积S=××4=,所以C中说法正确.l1的斜率k1=-3<0,所以l1的倾斜角是钝角.所以D中说法错误. 9.下面三条直线l1:3x+y=4,l2:x-y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形,则m的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由解得即直线l1与l2的交点为M(1,1),因为直线l1:3x+y=4,l2:x-y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形,所以l3过点M,或l3分别与l1,l2平行,若l3过点M,则2-3m=4,即m=-;若l3∥l1,则=-3,即m=-;若l3∥l2,则=1,所以m=.综上,m的可能取值为-,,-. 10.已知直线l1:x+2y-6=0,l2:x-y-3=0,则l1,l2,x轴及y轴围成的四边形的面积为 (　　) A.8 B.6 C. D.3 解析:选C　解方程组得即直线l1,l2的交点坐标为(4,1); 直线l1:x+2y-6=0与x轴、y轴的交点坐标分别为(6,0),(0,3);直线l2:x-y-3=0与x轴、y轴的交点坐标分别为(3,0),(0,-3).如图所示,可得所求四边形的面积为×6×3-×3×1=. 11.(5分)斜率为-2,且过两条直线3x-y+4=0和x+y-4=0交点的直线方程为　　　　　　　.  解析:法一　由方程组得 ∴交点坐标为(0,4),即y-4=-2x, ∴所求直线方程为2x+y-4=0. 法二　设所求直线方程为3x-y+4+λ(x+y-4)=0,即(3+λ)x+(λ-1)y+4-4λ=0,∴k==-2,解得λ=5. ∴所求直线方程为2x+y-4=0. 答案:2x+y-4=0 12.(5分)过点P(3,0)作直线l,使它被两条相交直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的线段恰好被点P平分,则直线l的一般式方程为　　　　　　.  解析:当直线l的斜率不存在时,两交点为(3,4),(3,-6),不满足所截得的线段恰好被点P平分;当直线l的斜率存在时,设直线l:y=k(x-3),k≠2且k≠-1,联立方程组可得A,同理联立方程组可得B,由中点坐标公式得+=6,解得k=8,所以直线l的方程为y=8(x-3)=8x-24.所以直线l的一般式方程为8x-y-24=0. 答案:8x-y-24=0 13.(5分)已知定点A(0,1),点B在直线x+y+1=0上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是　　　　.  解析:当直线AB和直线x+y+1=0互相垂直时,线段AB最短.即直线AB 的方程的斜率为k=1,所以直线AB的方程为y=x+1. 联立解得即B(-1,0). 答案:(-1,0) 14.(10分)已知平行四边形ABCD中,AB边所在直线方程为x+y-1=0,AD边所在直线方程为3x-y+4=0. (1)求点A的坐标;(4分) (2)若点C的坐标为(3,3),分别求BC与DC边所在直线的方程.(6分) 解:(1)联立解得 所以A. (2)因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AB∥CD,设CD边所在直线的方程为x+y+m=0,代入点C的坐标(3,3),得m=-6, 所以CD边所在直线的方程为x+y-6=0, 同理AD∥BC,设BC边所在直线的方程为3x-y+n=0,代入点C的坐标(3,3),得n=-6, 所以BC边所在直线的方程为3x-y-6=0. 15.(10分)如图,已知在△ABC中,A(-8,2),AB边上的中线CE所在直线的方程为x+2y-5=0,AC边上的中线BD所在直线的方程为2x-5y+8=0,求直线BC的方程. 解:设B(x0,y0),则AB的中点E的坐标为, 由条件可得 解得即B(6,4). 同理可求得C点的坐标为(5,0).故所求直线BC的方程为=,即4x-y-20=0. 1 / 94 学科网（北京）股份有限公司 $$