2025年暑期新高二数学学案 两条直线的平行与垂直-苏教版（2019）选择性必修第一册

第一章直线与方程 1.3两条直线的平行与垂直 知识点一、两条直线平行 设两条不重合的直线l1,l2的斜率分别为k1,k2（k1,k2均存在） l1//l2↔k1=k2 例1-1、 判断正误（正确打√，错误打×） （1） 若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行。（ ） （2） 若l1//l2，则k1=k2（ ） （3） 若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交。（ ） （4） 若两条直线斜率都不存在，则这两条直线平行。（ ） 例1-2、判断下列各题中直线l1与l2是否平行。 （1）l1的斜率为1，l2经过点P（1，1），Q（3，3）； （2）l1经过点A（-3，2），B（-3，10），l2经过点C（5，-2），D（5，5）； （3）l1经过点A（0，1），B（1，0），l2经过点C（-1，3），D（2，0） 知识点二、两条直线垂直 对于两条直线l1,l2,设它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1,k2。 例2、 已知两条不同的直线l1,l2，下列说法正确的是（ ） A、 若l1,l2的斜率存在且乘积为-1，则l1⊥l2 B、 若l1,l2互相垂直，则它们的斜率互为负倒数 C、 若l1,l2的倾斜角的正弦值相等，则l1//l2 D、 若l1,l2的倾斜角互余，则l1⊥l2 知识点三、利用直线的斜截式方程判断两直线的位置关系 已知直线l1：y=k1x+b1,l2：y=k2x+b2且k1,k2均存在，则 （1） l1//l2↔k1=k2,且b1≠b2 （2） l1⊥l2↔k1·k2=-1 （3） l1与l2重合↔k1=k2,且b1=b2 （4） l1与l2相交↔k1≠k2 例3-1、已知直线l1的方程为y=-2x+3，l2的方程为y=4x-2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，则直线l的斜截式方程为________________。 例3-2、已知直线l1的方程为y=2x+1，直线l2过点A（-2，4）。 （1）当l1//l2时，求l2的方程； （2）当l1⊥l2时，求l2的方程。 知识点四、利用直线的一般式方程判断两直线的位置关系 根据直线的一般式方程确定两直线平行 一般地，设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 l1//l2↔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0(B1≠0,B2≠0)或A1C2-A2C1≠0（B1=0，B2=0） 根据直线的一般式方程确定两直线垂直 设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 l1⊥l2↔A1A2+B1B2=0 例4、（1）当m为何值时，直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行？ （2）当a为何值时，直线l1:（a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:（a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直？ 能力点1、平行直线系方程与垂直直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫作直线系方程。 例1、 若直线l过点(3,4)，且平行于过点M（1，2）和N（-1，-5）的直线，则直线l的方程为________________。 变：过点（1，0）且与直线x-2y=0垂直的直线方程是________________。 能力点2、利用两直线的位置关系求参数 例2、已知直线l1经过点A（3，a），B（a-1,2），直线l2经过点C（1，2），D（-2，a+2）。 （1）若l1//l2,求a的值； （2）若l1⊥l2，求a的值。 能力点3、两直线位置关系与图形特征的综合问题 例3、已知四边形ABCD的顶点A（m,n），B（5，-1），C（4，2），D（2，2），求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形。 达标训练： 1、 下列说法中正确的有（ ） （1）平行的两条直线的斜率一定存在且相等 （2）平行的两条直线的倾斜角一定相等 （3）垂直的两直线的斜率之积为-1； （4）只有斜率相等的两条直线才一定平行 A、0个 B、1个 C、2 个 D、3个 2、 （多选）已知直线l：（a2+a+1)x-y+1=0，其中a∈R,下列说法正确的是（ ） A、 若直线l与直线x-y=0平行，则a=0 B、 当a=-1时，直线l与直线x+y=0垂直 C、 过点（0，2）且平行于直线l的直线方程是（a2+a+1)·x-y+2=0 D、 当a=0时，直线l在两坐标轴上的截距相等 3、 已知直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两根，若l1⊥l2，则b=____________；若l1//l2，则b=____________。 4、 当m为何值时，过两点A（1，1），B（2m2+1,m-2)的直线： （1） 倾斜角为135度？ （2） 与过两点（3，2），（0，-7）的直线垂直？ （3） 与过两点（2，-3），（-4，9）的直线平行？ 5、 已知过点A（1，1），B（1，-3）两点的直线与过点C（-3，m），D（n，2）两点的直线互相垂直，则点（m,n）有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个 6、 已知直线l1：(m+1)x+2y-1=0,l2:8x+(m+1)y-m+1=0,则“m=-5”是l1//l2的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 7、（多选）已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y+a-2=0，则（ ） A、过点（1，-1），且与直线l1垂直的直线方程是ax-y-a-1=0 B、若l2在x轴和y轴上的截距相等，则a=1 C、若l1⊥l2，则a=0或a=2 D、若l1//l2，则a=1或a=-3 8、直线l的倾斜角为30度，点P（2，1）在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30度后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l。是线段AB的垂直平分线，其中A（1，m-1），B（m，2),则m=____________。 9、已知三角形的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），则BC边上的高所在直线的方程为____________。 10、与直线3x+4y+9=0平行，且和坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积是24的直线方程为____________。 答案： ××√× 重合或平行；平行；平行 A y=-2x-2 2x+y=0;x-2y+10=0 2或-3；1或-1 7x-2y-13=0 2x+y-2=0 1或6；3或-4 m=2,n=-1或m=,n=- B BC 2;- - 或1；或-3；或-1 D C AC 4+ 3x+2y-12=0 3x+4y-24=0 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$