1.3 第1课时 两条直线平行(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

1.3　两条直线的平行与垂直 第1课时　两条直线平行 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解并掌握两条直线平行的条件.会运用直线方程的特征判定两条直线是否平行. 2.运用两直线平行时的斜率关系解决相应的问题. 1.斜率与两条直线平行的关系 (1)对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2(其中b1≠b2),l1∥l2⇔k1=k2(k1,k2均存在). (2)如果直线l1,l2的斜率都不存在,那么它们都与x轴垂直,所以l1∥l2. |微|点|助|解| (1)l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是: ①两条直线的斜率都存在; ②l1与l2不重合. (2)k1=k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在). (3)l1∥l2⇒k1=k2或两条直线的斜率都不存在. 2.两条直线平行时一般式中的系数关系 设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),则l1∥l2⇔或 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若两条直线的倾斜角相等,则这两条直线必定平行. (　　) (2)若两条直线平行,则这两条直线的倾斜角一定相等. (　　) (3)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合,则这两条直线平行. (　　) (4)若两直线斜率相等,则它们互相平行. (　　) (5)若两条直线一条直线斜率不存在,另一条斜率存在,则它们一定不平行. (　　) (6)若两条直线的斜率都不存在,则它们互相平行或重合. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ 2.过点(1,2)和点(-3,2)的直线与y=3的位置关系是 (　　) A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对 解析:选B　由题意得过点(1,2)和点(-3,2)的直线的斜率为k==0,又因为y=3的斜率为0,所以两直线平行, 故选B. 3.已知直线ax-(a+1)y-1=0与直线4x-6y+3=0平行,则实数a的值是　　　　.  解析:直线4x-6y+3=0的斜率为,在y轴上的截距为.由条件知直线ax-(a+1)y-1=0的斜率为,所以=,解得a=2,此时该直线在y轴上的截距为-≠,故实数a的值为2. 答案:2 题型(一)　判定两条直线平行 [例1]　判断下列各组直线是否平行,并说明理由. (1)l1:3x-2y-1=0,l2:6x-4y-1=0; (2)l1:2x-5y-7=0,l2:5x-2y-1=0; (3)l1经过P(3,3),Q(-5,3)两点,l2平行于x轴,但不经过P,Q两点; (4)l1经过M(-1,0),N(-5,-2)两点,l2经过R(-4,3),S(0,5)两点. 解:(1)直线l1变形可得y=x-,直线l2变形可得y=x-,所以两直线斜率==,所以两直线平行.又两直线在y轴上的截距分别为-和-,所以两直线不重合,所以直线l1,l2平行. (2)直线l1变形可得y=x-,直线l2变形可得y=x-,两直线斜率≠,所以两直线不平行. (3)l1经过P(3,3),Q(-5,3)两点,可得l1平行于x轴,l2平行于x轴,但不经过P,Q两点,所以l1∥l2. (4)l1经过M(-1,0),N(-5,-2)两点,==,l2经过R(-4,3),S(0,5)两点,则==,又因为两直线在y轴上的截距分别为和5,所以两直线不重合,所以l1∥l2. 　　|思|维|建|模| 判定两直线平行的常用方法 (1)用斜率判断两直线是否平行时,应先看两直线的斜率是否存在,若都不存在,则平行(不重合的情况下);若存在,再看是否相等,若相等,则平行(不重合的情况下). (2)用一般方程的系数 设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),则l1∥l2⇔或 　　[针对训练] 1.下列与直线4x-y-2=0平行的直线的方程是 (　　) A.4x-y-4=0 B.4x+y-2=0 C.x-4y-2=0 D.x+4y+2=0 解析:选A　直线4x-y-2=0斜率为4,纵截距为-2,直线斜率为4,纵截距为-4,A符合;直线斜率为-4,纵截距为2,B不符合;直线斜率为,纵截距为-,C不符合;直线斜率为-,纵截距为-,D不符合. 2.满足下列条件的直线l1与l2,其中l1∥l2的是 (　　) A.l1的斜率为2,l2过点A(1,2),B(4,8) B.l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7) C.l1的倾斜角为,l2经过点M(3,2),N(-2,-3) D.l1:x-y+1=0,l2的倾斜角为 解析:选B　由题意得kAB==2,所以l1与l2平行或重合,故A错误;由题意知==-,==-,kBC==-≠-,所以A,B,C,D四点不共线,l1∥l2,故B正确;由题意知,k1=tan=,k2==,因为k1=k2,所以l1∥l2或l1与l2重合,故C错误;直线l1的斜率为,直线l2的斜率为tan=,所以l1与l2平行或重合,故D错误. 题型(二)　根据两直线平行求参数 [例2]　(1)直线l1:ax+3y+2a=0与直线l2:2x+(a-1)y+(a+1)=0平行,则“l1∥l2”是“a=-2”的 (　　) A.充分且不必要条件 B.充要条件 C.必要且不充分条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选B　当l1∥l2时,有a(a-1)=6,故a=-2或a=3,当a=3时,l1的方程为x+y+2=0,l2的方程为x+y+2=0,此时两条直线重合,不符合题意;当a=-2时,l1的方程为2x-3y+4=0,l2的方程为2x-3y-1=0,符合题意.综上,“l1∥l2”是“a=-2”的充要条件. (2)已知直线l1:ax+y-1=0,l2:3x+ay+=0,若l1∥l2,则它们的倾斜角为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.60°或120° 解析:选C　因为l1∥l2,所以a2=3且a≠-,所以a=.两直线的斜率为-,所以倾斜角为120°. |思|维|建|模| 已知两直线平行求方程中的参数值的方法 (1)根据条件A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1或B1=B2=0且A1C2≠A2C1进行求解. (2)对两直线的斜率是否存在进行讨论,分斜率存在、斜率不存在两种情况求解.求出参数值后要将参数代入直线方程,检验两直线是否真正平行,排除两直线重合的情况. 　　[针对训练] 3.已知过点A(m,-1)和点B(2,m)的直线与直线x-y-1=0平行,则m的值为 (　　) A. B.- C.1 D.-1 解析:选A　因为直线x-y-1=0的斜率为1,所以kAB==1,解得m=.故选A. 4.已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若AB∥MN,则m的值为　　　　.  解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存在,MN与AB不平行,不符合题意;当m=-1时,直线MN的斜率不存在,而直线AB的斜率存在,MN与AB不平行,不符合题意;当m≠-2,且m≠-1时,kAB==,kMN==.因为AB∥MN,所以kAB=kMN,即=,解得m=0或m=1.当m=0或m=1时,经检验,两直线不重合. 综上,m的值为0或1. 答案:0或1 题型(三)　求与已知直线平行的直线方程 [例3]　已知直线l的方程为4x-3y-12=0,直线l'与l平行,求满足下列条件的直线l'的方程. (1)l'经过点(-1,3); (2)l'在两坐标轴上的截距之和为. 解:(1)法一　l的方程可化为y=x-4,∴l的斜率为,∵l'∥l,∴l'的斜率为.又l'过点(-1,3),∴由点斜式得直线l'的方程为y-3=(x+1),即4x-3y+13=0. 法二　∵l'∥l,可设l'的方程为4x-3y+m=0(m≠-12),将点(-1,3)代入得m=13,∴所求直线的方程为4x-3y+13=0. (2)法一　由题意,设所求直线的方程为4x-3y+n=0(n≠-12).令x=0,得y=;令y=0, 得x=-,∴-+=,解得n=28,∴所求直线的方程为4x-3y+28=0. 法二　由题意知,所求直线不过原点,即在两坐标轴上的截距都不为0. 故可设所求直线的方程为+=1(a≠0,b≠0), 则有解得故所求直线的方程为4x-3y+28=0. |思|维|建|模| 与已知直线平行的直线方程的求法 (1)由已知直线求出斜率,再利用平行直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,再由已知条件写出所求方程. (2)可利用待定系数法:与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C),再由直线所过的点确定C1. 　　[针对训练] 5.求与直线5x+6y+9=0平行,并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是15的直线方程. 解:∵直线5x+6y+9=0的斜率为-,∴设所求直线方程为y=-x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=.由题意知,b>0,>0,∴×b×=15,∴b=5,故所求直线方程为y=-x+5,即5x+6y-30=0. [课时检测] 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.过点A(2,5)和点B(-4,5)的直线与直线y=3的位置关系是 (　　) A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对 解析:选B　斜率都为0且不重合,所以平行. 2.过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为 (　　) A.2x+y-1=0 B.x-2y+7=0 C.x-2y-5=0 D.2x+y-5=0 解析:选B　设直线方程为x-2y+c=0(c≠3),因为直线过点(-1,3),所以-1-6+c=0,解得c=7.故所求直线方程为x-2y+7=0. 3.设a∈R,如果直线l1:y=-x+与直线l2:y=-x-平行,那么a的值为 (　　) A.-2或1 B.1 C.2 D.-1 解析:选A　由已知可得解得a=-2或a=1. 4.[多选]直线l1与l2为两条不重合的直线,则下列命题正确的是 (　　) A.若l1∥l2,则斜率k1=k2 B.若斜率k1=k2,则l1∥l2 C.若倾斜角α1=α2,则l1∥l2 D.若l1∥l2,则倾斜角α1=α2 解析:选BCD　直线l1与l2为两条不重合的直线,因为两条直线的倾斜角为90°时,没有斜率,所以A不正确;因为两直线的斜率相等,即斜率k1=k2,得到倾斜角的正切值相等,即tan α1=tan α2,即可得到α1=α2,所以l1∥l2,所以B正确;若倾斜角α1=α2,则l1∥l2,所以C正确;若l1∥l2,则倾斜角α1=α2,所以D正确. 5.[多选]三条直线2x+y=0,2x-y=0,2x+ay=1构成三角形,则a的取值可以是 (　　) A.-1 B.1 C.2 D.3 解析:选CD　由题知直线2x+y=0与2x-y=0都经过原点,而无论a为何值,直线2x+ay=1都不经过原点,因此,要满足三条直线构成三角形,只需直线2x+ay=1与另两条直线不平行,所以a≠±1. 6.张老师不仅喜欢打羽毛球,还喜欢玩折纸游戏,他将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次,使点(2,0)与点(-2,4)重合,点(2 024,2 025)与点(a,b)重合,则a+b= (　　) A.4 046 B.4 047 C.4 048 D.4 049 解析:选D　设A(2,0),B(-2,4),则点A,B所在直线的斜率为kAB==-1,由题意知,过点(2 024,2 025),(a,b)的直线与直线AB平行,所以=-1,整理得a+b=2 024+2 025=4 049. 7.“直线xsin θ+y-1=0与x+ycos θ+1=0平行”是“θ=”的 (　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选B　若直线xsin θ+y-1=0与x+ycos θ+1=0平行,易得sin θ≠0,cos θ≠0,故=≠,则sin θcos θ=,即sin 2θ=,sin 2θ=1,所以2θ=+2kπ(k∈Z),θ=+kπ(k∈Z),得不到θ=,故不是充分条件;反之,当θ=时,=≠成立,故直线xsin θ+y-1=0与x+ycos θ+1=0平行,是必要条件.故“直线xsin θ+y-1=0与x+ycos θ+1=0平行”是“θ=”的必要且不充分条件. 8.(5分)若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线平行,则m的值是　　　　.  解析:由题意知,PQ的斜率存在,由kPQ=kMN,得=,解得m=-.经检验知,m=-符合题意. 答案:- 9.(5分)若直线l过点(3,4),且平行于过点M(1,2)和N(-1,-5)的直线,则直线l的方程为　　　　　　　　.  解析:法一　由于直线l∥MN,则直线l的斜率等于直线MN的斜率=.又直线l过点(3,4),所以直线l的方程为y-4=(x-3),即7x-2y-13=0. 法二　直线MN的方程为=,即7x-2y-3=0,设与直线MN平行的直线l的方程为7x-2y+m=0(m≠-3),因为直线l过点(3,4),代入,解得m=-13,所以直线l的方程为7x-2y-13=0. 答案:7x-2y-13=0 10.(5分)已知直线l1经过点A(0,-1)和点B,直线l2经过点M(1,1)和点N(0,-2).若l1与l2没有公共点,则实数a的值为　　　　.  解析:∵直线l2经过点M(1,1)和点N(0,-2),∴==3,∵直线l1经过点A(0,-1)和点B,∴==-.∵l1与l2没有公共点,则l1∥l2,∴-=3,解得a=-6. 答案:-6 11.(5分)已知直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,且直线ax+by+1=0在y轴上的截距为,则a+b的值为　　　　.  解析:因为直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行,所以4b=3a.又直线ax+by+1=0在y轴上的截距为,所以b+1=0,解得b=-3,所以a=-4.经检验,a=-4,b=-3符合题意,所以a+b=-7. 答案:-7 12.(10分)已知直线l:2x-y+4=0在x轴上的截距为a,求过点(a,3a)且与直线l平行的直线方程. 解:因为2x-y+4=0,令y=0,得x=-2, 所以a=-2,所以点(a,3a)为(-2,-6). 设所求直线方程为2x-y+C=0(C≠4), 代入(-2,-6)得-4+6+C=0,则C=-2, 所以所求直线的方程为2x-y-2=0. 13.(10分)在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD 的边AB∥DC,AD∥BC.已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),求点D的坐标. 解:设点D(x,y),四边形ABCD的四条边AB,DC,AD,BC所在直线的斜率分别为kAB,kDC,kAD,kBC,则由AB∥DC,AD∥BC可得kAB=kDC,kAD=kBC, 即=,=,解得x=0,y=-2.故点D的坐标为(0,-2). 14.(10分)设直线l1的方程为(a+1)x+y+2-a=0,直线l2的方程为4x+(a-2)y-16=0,其中a∈R. (1)若直线l1经过第二、三、四象限,求a的取值范围;(4分) (2)若直线l1∥l2,求a的值.(6分) 解:(1)由题意可知直线l1斜率为负,且在纵轴上的截距为负,即 解得-1<a<2,所以a的取值范围为(-1,2). (2)因为l1∥l2,所以(a+1)(a-2)=4,解得a=3或a=-2.检验:当a=-2时,l1与l2重合,应舍去;当a=3时,l1∥l2.综上,a=3. 15.(10分)已知△ABC的三个顶点是A(-1,-1),B(3,1),C(1,6),直线l平行于AB,分别交AC,BC于点E,F,△CEF的面积是△CAB面积的.求直线l的方程. 解:由题意,边AB所在直线的斜率为kAB==,由题意知kl=kAB=,且E,F分别为边AC,BC的中点,故E点的坐标为, 所以直线l的方程为y=x+. 1 / 94 学科网（北京）股份有限公司 $$