1.2.2 直线的两点式方程(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

1.2.2　直线的两点式方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的两点式方程的形式特点及适用范围. 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围,会利用两点式方程和截距式方程解决简单问题. 1.直线的两点式方程 设P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线l上的任意两点. (1)两点满足的条件:x1≠x2且y1≠y2. (2)形式:=. |微|点|助|解| (1)当过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式方程表示. (2)在记忆和使用两点式直线方程时,必须注意坐标的对应关系,即x1,y1是同一个点的坐标,x2,y2是另一个点的坐标. (3)把直线的两点式方程化为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),则该方程表示过平面内任意不同两点(x1,y1),(x2,y2)的直线. 2.直线的截距式方程 若直线过点A(a,0),B(0,b)(a≠0,b≠0),其中a称为直线在x轴上的截距,b称为直线在y轴上的截距,则直线方程+=1叫作直线的截距式方程,简称截距式. |微|点|助|解| (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距,可以直接代入截距式求直线的方程. (2)截距式方程应用的前提是截距存在且不为0,即与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示. (3)截距式中a≠0,b≠0,但截距可以为0,因此在解决截距相等的问题时,要注意截距为0的情况. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示. (　　) (2)任何直线都可以用+=1表示. (　　) (3)方程=和方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)适用的范围相同. (　　) (4)过点(1,3)和(1,5)的直线也可以用两点式方程来表示. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.经过点A(-3,2),B(4,4)的直线的两点式方程为 (　　) A.= B.= C.= D.= 解析:选A　因为直线经过点A(-3,2),B(4,4),所以由两点式方程可得直线方程为=,即=. 3.在x轴、y轴上的截距分别是-2,3的直线方程为 (　　) A.+=1 B.-=1 C.-=1 D.+=-1 解析:选C　因为直线在x轴、y轴上的截距分别是-2,3,所以直线方程是+=1,即-=1. 4.直线-=1在y轴上的截距为 (　　) A.-4 B.-2 C.2 D.4 答案:B 题型(一)　直线的两点式方程 [例1]　已知△ABC的三个顶点A(1,1),B(2,0),C(4,4). (1)求AB边所在直线的方程; (2)求BC边上中线所在直线的方程. 解:(1)因为A(1,1),B(2,0),由直线的两点式方程,可得AB边所在直线的方程为=,化简可得x+y-2=0. (2)由B(2,0),C(4,4),则BC的中点D, 即D(3,2),则BC边上中线AD所在直线的方程为=,化简可得x-2y+1=0. |思|维|建|模| 已知两点求直线方程的方法思路 　　已知直线上两点的坐标求直线方程时,若满足两点式方程的适用条件,可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程,化简即得.代入点的坐标时注意横、纵坐标的对应关系.若点的坐标中含有参数,需注意对参数的讨论.在斜率存在的情况下,也可以选用斜率公式求出斜率,再用点斜式求方程. 　　[针对训练] 1.[多选]已知直线l经过点(-3,-2),(1,2),则下列在直线l上的点是 (　　) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(2,1) 解析:选ABC　由直线的两点式方程,得直线l的方程为=,即x-y+1=0,将各个选项中的坐标代入直线l的方程,可知点(-2,-1),(-1,0),(0,1)都在直线l上,点(2,1)不在直线l上. 2.已知直线经过点A(1,0),B(m,1),求这条直线的方程. 解:由直线经过点A(1,0), B(m,1),因此该直线斜率不可能为零,但有可能不存在. ①当直线斜率不存在,即m=1时,直线方程为x=1; ②当直线斜率存在,即m≠1时,利用两点式,可得直线方程为=,即x-(m-1)y-1=0. 综上可得,当m=1时,直线方程为x=1; 当m≠1时,直线方程为x-(m-1)y-1=0. 题型(二)　直线的截距式方程 [例2]　求过点A(3,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 解:当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时,可设直线l的方程为+=1.又l过点A(3,4),所以+=1,解得a=-1.所以直线l的方程为+=1,即x-y+1=0. 当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0,即直线l过原点时,设直线l的方程为y=kx,因为l过点A(3,4),所以4=k·3,解得k=, 直线l的方程为y=x,即4x-3y=0. 综上,直线l的方程为x-y+1=0或4x-3y=0. 　　[变式拓展] 1.若本例中点A的坐标改为“A(-3,-4)”,其他条件不变,又如何求解? 解:当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时,设直线l的方程为+=1,又l过点A(-3,-4),所以+=1,解得a=1.所以直线l的方程为+=1,即x-y-1=0. 当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0,即直线l过原点时,设直线l的方程为y=kx,由于l过(-3,-4), 所以-4=k·(-3),解得k=. 所以直线l的方程为4x-3y=0. 综上,直线l的方程为x-y-1=0或4x-3y=0. 2.若本例中“截距互为相反数”变为“截距相等”呢? 解:当截距不为0时, 设直线l的方程为+=1, 又l过(3,4),∴+=1,解得a=7, ∴直线l的方程为x+y-7=0. 当截距为0时,设直线l的方程为y=kx, 又l过(3,4),∴4=k·3,解得k=, ∴直线l的方程为y=x,即4x-3y=0. 综上,直线l的方程为x+y-7=0或4x-3y=0. |思|维|建|模| 求直线的截距式方程的方法思路 (1)由已知条件确定横、纵截距. (2)若两截距为零,则直线过原点,直接写出方程即可;若两截距不为零,则代入公式+=1,可得所求的直线方程. [提醒]　如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件,采用截距式求直线方程时一定要考虑“零截距”的情况. 　　[针对训练] 3.直线l过点B(4,-3),且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍,则该直线的斜率是 (　　) A.- B.- C.或- D.-或- 解析:选D　若直线l过坐标原点,则kl=-,此时横、纵截距都等于0,满足题意;若直线l不过坐标原点,设直线l的方程为+=1,因为直线过点B(4,-3),所以+=1,解得b=-1,所以直线方程为x+2y+2=0,此时kl=-,故选D. 4.[多选]过点P(2,1)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为 (　　) A.x+y-3=0 B.x+y+3=0 C.x-y-1=0 D.x-2y=0 解析:选ACD　当直线的截距不为0时,设直线的截距式方程为+=1,由题可得所以或解得或所以直线方程为x+y-3=0或x-y-1=0,故A、C正确;当直线的截距为0时,设直线方程为y=kx,由题可知k=,故直线方程为x-2y=0,D正确. 题型(三)　直线方程的综合应用 [例3]　过点P(1,1)作直线l,与两坐标轴相交所得三角形面积为4,则直线l有 (　　) A.1条　　　　　　　 B.2条 C.3条 D.4条 解析:选D　由题意设直线l的方程为+=1,直线过P(1,1),则+=1,直线与坐标轴的交点为(a,0),(0,b),又S=|ab|=4,ab=±8,+==1,a+b=ab,当ab=8时,a+b=8,由 得或当ab=-8时,a+b=-8,由 得或所以直线l共有4条. |思|维|建|模| 　　直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点,记为(a,0),(0,b)),用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便,直线与坐标轴围成的三角形的面积S=|a||b|. 　　[针对训练] 5.已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点,求△AOB面积的最小值. 解:依题意,设直线l在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b(a>0,b>0), 则直线l的方程为+=1, ∵直线l过点M(2,1),∴+=1, ∴S△AOB=ab=ab=(2b+a) =(2b+a)=2++. ∵a>0,b>0,∴>0,>0, ∴2++≥2+2=4,即S△AOB≥4, 当且仅当即时取等号, ∴△AOB面积的最小值为4. [课时检测] 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.过点(1,2),(5,3)的直线方程是 (　　) A.= B.= C.= D.= 答案:B 2.[多选]下列命题不正确的是 (　　) A.经过点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示 B.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示 C.经过任意两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可用方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)·(x-x1)表示 D.不经过原点的直线都可以用方程+=1表示 解析:选ABD　A中当直线的斜率不存在时,其方程只能表示为x=x0;B中经过定点A(0,b)的直线x=0无法用y=kx+b表示;D中不经过原点但斜率不存在或斜率为零的直线不能用方程+=1表示.只有C正确.故选ABD. 3.已知直线l:ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是 (　　) A.1 B.-1 C.-2或-1 D.-2或1 解析:选A　显然a≠0.把直线l:ax+y-2=0化为+=1.∵直线l:ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等,∴=2,解得a=1,故选A. 4.若直线+=1过第一、二、三象限,则 (　　) A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 解析:选C　因为直线l在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,且经过第一、二、三象限,故a<0,b>0. 5.[多选]已知△ABC的三个顶点A(3,2),B(-2,3),C(4,5),则下列说法正确的是 (　　) A.直线AC的斜率为 B.直线AB的倾斜角为锐角 C.BC边的中点坐标为(1,4) D.BC边上的中线所在的直线方程为x+y-5=0 解析:选CD　直线AC的斜率为=3,故A错误;直线AB的斜率为=-<0,所以直线AB的倾斜角为钝角,故B错误;设BC边的中点为D(x0,y0),则x0==1,y0==4,即点D(1,4),故C正确;BC边上的中线AD所在的直线方程为=,整理得x+y-5=0,故D正确. 6.已知直线l过原点,且平分平行四边形ABCD的面积,若平行四边形的两个顶点分别为B(1,4),D(5,0),则直线l的方程为 (　　) A.y=x B.y=2x+3 C.y=-x+5 D.y=x 解析:选D　由于直线l平分平行四边形ABCD的面积,因此其必过平行四边形对角线的交点.而B(1,4),D(5,0),所以对角线的交点为(3,2).又直线l过原点,所以其方程为y=x. 7.[多选]直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围可以是 (　　) A. B.(-∞,-1) C. D. 解析:选BD　设直线的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B(3,0)时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A的直线经过点C(-3,0)时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=.综上,满足条件的直线l的斜率的取值范围是(-∞,-1)∪. 8.(5分)经过两点M(4,3),N(1,5)的直线交x轴于点P,则P点的坐标为　　　　.  解析:由两点式得MN的方程为=,即2x+3y-17=0,令y=0,得x=,故P. 答案: 9.(5分)过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为　　　　　　　.  解析:当直线过原点,即在坐标轴上的截距均为零时,得直线方程为2x-y=0;当在坐标轴上的截距不为零时,可设直线方程为-=1,将x=1,y=2代入方程可得a=-1,得直线方程为x-y+1=0.∴直线方程为2x-y=0或x-y+1=0. 答案:2x-y=0或x-y+1=0 10.(5分)已知A(2,-1),B(6,1),则在y轴上的截距是-3,且经过线段AB中点的直线方程为　　　　　　　.  解析:因为A(2,-1),B(6,1),则线段AB的中点为E(4,0),又因为所求直线在y轴上的截距为-3,故所求直线方程为-=1,即3x-4y-12=0. 答案:3x-4y-12=0 11.(5分)已知A(3,0),B(0,4),直线AB上有一动点P(x,y),则xy的最大值为　　　　.  解析:由直线的截距式方程知,直线AB的方程为+=1,设P(x,y),则x=3-y,∴xy=3y-y2=(-y2+4y)=[-(y-2)2+4]≤3. 当且仅当y=2时等号成立,即当点P坐标为时,xy取得最大值3. 答案:3 12.(10分)已知直线l经过点(1,6)和点(8,-8). (1)求直线l的两点式方程,并化为截距式;(3分) (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积.(7分) 解:(1)直线l的两点式方程为=, 即2x+y=8,化为截距式为+=1. (2)如图,直线l与两坐标轴围成的图形是Rt△AOB,且OA⊥OB,OA=4,OB=8,故S△AOB=OA·OB=×4×8=16. 故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16. 13.(10分)已知直线l:+=1. (1)若直线l的斜率是2,求m的值;(4分) (2)当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时,求此直线的方程.(6分) 解:(1)直线l过点(m,0),(0,4-m), 则=2,解得m=-4. (2)由m>0,4-m>0,得0<m<4. 则S==.当m=2时,S有最大值,故直线l的方程为x+y-2=0. 14.(15分)已知△ABC的顶点A(-3,5),B(5,7),C(5,1). (1)求AB边上的中线所在直线的方程;(6分) (2)求经过点A,且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程.(9分) 解:(1)设线段AB的中点为D,则D(1,6), 中线CD所在直线的方程为=,即5x+4y-29=0. (2)设两坐标轴上的截距为a,b,若a=b=0,则直线经过原点,斜率k==-,直线方程为y=-x,即5x+3y=0;若a=b≠0,则直线方程为+=1,即x+y-a=0, 把点A(-3,5)代入得-3+5-a=0,即a=2,直线方程为x+y-2=0. 综上,所求直线方程为5x+3y=0或x+y-2=0. 15.(15分)在平面直角坐标系中,过点P(3,1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A,B. (1)若=,求直线l的截距式方程;(5分) (2)求当·取得最小值时直线l的方程.(10分) 解:设A(a,0),B(0,b),其中a>0,b>0. (1)∵=,∴(3-a,1)=(-3,b-1), 即解得 ∴直线l的截距式方程为+=1. (2)∵A,P,B三点共线,∴=,整理得+=1, ∴·=(3-a,1)·(-3,b-1)=3a+b-10=(3a+b)-10=+≥2=6,当且仅当=,即a=b=4时,等号成立. ∴当·取得最小值时,直线l的方程为+=1,即x+y-4=0. 1 / 94 学科网（北京）股份有限公司 $$