1.1 直线的斜率与倾斜角(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

　直线与方程 1.1　直线的斜率与倾斜角 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.理解倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式.理解倾斜角与斜率的关系,会求倾斜角与斜率范围. 逐点清(一)　直线的斜率 [多维理解] 　　对于直线l上的任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2), (1)如果x1≠x2,那么由相似三角形的知识可知,是一个定值,我们将其称为直线l的斜率.即斜率k=(x1≠x2). (2)如果x1=x2,那么直线l的斜率不存在. |微|点|助|解| (1)直线与x轴垂直时,斜率不存在,不能用斜率公式. (2)直线与y轴垂直时,斜率公式依然成立,此时k=0. (3)直线AB的斜率与A,B两点的顺序无关. [微点练明] 1.直线x=2 025的斜率为 (　　) A.1 B.0 C.2 025 D.不存在 答案:D 2.已知两点A(-1,2),B(3,4),则直线AB的斜率为 (　　) A.2 B.- C. D.-2 答案:C 3.若A(1,2),B(3,m),C(7,m+2)三点共线,则实数m的值为 (　　) A.-2 B.2 C.-3 D.3 解析:选D　因为3≠1,所以直线AB斜率存在.又A,B,C三点共线,则kAB=kAC,即=,解得m=3. 逐点清(二)　直线的倾斜角 [多维理解] 定义 在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时,所转过的最小正角α称为这条直线的倾斜角 规定 与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.直线的倾斜角α的取值范围是{α|0≤α<π} |微|点|助|解| (1)在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角,而且方向相同的直线,其倾斜程度相同,倾斜角相等;方向不同的直线,其倾斜程度不同,倾斜角不相等. (2)直线的倾斜角是对直线方向的定量刻画,是对直线的倾斜程度的刻画,是相对于x轴正向位置的刻画,如图. 倾斜角 α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° 直线 平行(重合)于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 [微点练明] 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任意一条直线都有唯一的倾斜角. (　　) (2)一条直线的倾斜角可以为-30°. (　　) (3)倾斜角为0°的直线有无数条. (　　) (4)若直线的倾斜角为α,则sin α∈(0,1). (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°,得直线l1,则直线l1的倾斜角为 (　　) A.α+40°　　 B.α-140° C.140°-α D.α+40°或α-140° 解析:选D　根据题意,画出图象,如图所示. 因为0° ≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知,当0°≤α<140°时,l1的倾斜角为α+40°;当140°≤α<180°时,l1的倾斜角为40°+α-180°=α-140°.故选D. 3.已知直线l1的倾斜角α1=15°,直线l1与l2的交点为A,直线l1和l2向上的方向所成的角为120°,如图,则直线l2的倾斜角为　　　　.  解析:设直线l2的倾斜角为α2,l1和l2向上的方向所成的角为120°,所以∠BAC=120°,所以α2=120°+α1=135°. 答案:135° 4.已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°,求直线l的倾斜角. 解:有两种情况:①如图(1),直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°,即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2),直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°,即直线l的倾斜角为120°. 逐点清(三)　倾斜角和斜率的应用 1.设直线的倾斜角为α,斜率为k α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k=0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大 而增大 随α的增大 而增大 2.直线的斜率与倾斜角之间的关系 一般地,如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,直线l的倾斜角为α,则 (1)当y1=y2时(此时必有x1≠x2),α=0°. (2)当x1=x2时(此时必有y1≠y2),α=90°. (3)当x1≠x2且y1≠y2时,tan α=. [典例]　已知直线l过点P(2,2),且与以A(-1,-1)和B(3,2-)为端点的线段相交. (1)求直线l的斜率k的取值范围; (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 解:(1)在平面直角坐标系中画出图象如图所示, kPA==1,kPB==-,直线l过点P(2,2),且与以A(-1,-1)和B(3,2-)为端点的线段相交,所以直线l的斜率k的取值范围为(-∞,-]∪[1,+∞). (2)由(1)可知,k∈(-∞,-]∪[1,+∞),直线PA的倾斜角为,直线PB的倾斜角为,由此可得直线l的倾斜角α的取值范围为∪.由图可知,当直线斜率不存在时,符合题意,故此时直线l的倾斜角α=.综上,直线l的倾斜角α的取值范围为. |思|维|建|模| 数形结合法解决范围问题的策略 　　已知一条线段AB的端点及线段外一点P,求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率(倾斜角)的取值范围,如果直线PA,PB的斜率都存在,则步骤如下: (1)连接PA,PB; (2)由k=求出kPA,kPB; (3)结合图形可得直线l的斜率(倾斜角)的取值范围. 　　[针对训练] 1.已知正△ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点P(x,y)是△ABC内部及其边界上一点,则的最大值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　正△ABC的顶点A(1,1),B(1,3)且顶点C在第一象限,故顶点C的坐标为(1+,2),可看作△ABC内部及其边界上一点与点(-1,0)连线的斜率,当P运动到点B(1,3)时,直线的斜率最大,故的最大值为=. 2.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2). (1)求直线AB和AC的斜率; (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时,求直线AD的斜率的取值范围. 解:(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB==,直线AC的斜率kAC==.故直线AB的斜率为,直线AC的斜率为. (2)如图所示,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,所以由(1)知直线AD的斜率的取值范围是. [课时检测] 1.下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是 (　　) A.(4,2)与(-4,1) B.(0,3)与(3,0) C.(3,-1)与(2,-1) D.(-2,2)与(-2,5) 解析:选D　对于D,因为x1=x2=-2,所以直线垂直于x轴,倾斜角为90°,斜率不存在. 2.如图,直线l的倾斜角为 (　　) A.60° B.120° C.30° D.150° 解析:选D　由题图易知l的倾斜角为45°+105°=150°. 3.已知倾斜角为的直线过A(1,0),B(0,m),则m= (　　) A. B.- C.- D. 解析:选C　由题意得=tan,解得m=-,故选C. 4.[多选]下列四个命题中,正确的是 (　　) A.若直线的倾斜角为θ,则sin θ≥0 B.直线的倾斜角θ的取值范围为[0,π) C.若一条直线的倾斜角为θ,则此直线的斜率为tan θ D.若一条直线的斜率为tan θ,则此直线的倾斜角为θ 解析:选AB　因为直线的倾斜角的取值范围是[0,π),即θ∈[0,π),所以sin θ≥0,当θ≠时直线的斜率k=tan θ,所以C错误,A、B正确;若直线的斜率k=tan=,此时直线的倾斜角为,所以D错误. 5.若三点A(2,-3),B(4,3),C(5,b)在同一直线上,则实数b等于 (　　) A.-12 B.-6 C.6 D.12 解析:选C　因为kAB=kAC,又kAB==3,kAC==,所以3=,即b=6. 6.若某直线的斜率k∈(-∞,],则该直线的倾斜角α的取值范围是 (　　) A. B. C.∪ D. 解析:选C　∵直线的斜率k∈(-∞,],∴tan α≤,∴该直线的倾斜角α的取值范围是∪. 7.在平面直角坐标系内,正△ABC的边BC所在直线的斜率是0,则边AC,AB所在直线的斜率之和为 (　　) A.-2 B.0 C. D.2 解析:选B　由题意知,△ABC的边AC,AB所在直线的倾斜角分别为60°,120°,所以边AC,AB所在直线的斜率之和为tan 60°+tan 120°=+(-)=0. 8.已知直线l过点A(1,2),且不过第四象限,则直线l的斜率的取值范围是 (　　) A.[0,2] B.[0,1] C. D. 解析:选A　如图所示,当直线l在l1的位置时,k=tan 0°=0;当直线l在l2的位置时,k==2,故直线l的斜率的取值范围是[0,2]. 9.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B(2,0),过点A的直线交x轴于点C(a,0),若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍,则a= (　　) A. B. C.1 D. 解析:选B　设直线AB的倾斜角为α,则直线AC的倾斜角为2α,且tan 2α=,由题可知tan 2α=kAC=,tan α=kAB=,所以=,解得a=.故选B. 10.直线l过点M(-1,2),且与以P(-4,-1),Q(3,0)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围是 (　　) A. 　　　　B.(-∞,-2]∪[1,+∞) C.[-2,1] 　　　　D.∪[1,+∞) 解析:选D　∵直线l过点M(-1,2),且与以P(-4,-1),Q(3,0)为端点的线段相交,如图所示,∴所求直线l的斜率k满足kPM≤k或k≤kMQ.又kPM==1,kMQ==-,则k≥1或k≤-,∴k∈∪[1,+∞). 11.(5分)若斜率为2的直线经过点A(-2,3),B(2m+1,1),则实数m=　　　　.  解析:kAB===2,解得m=-2. 答案:-2 12.(5分)若经过点P(1-a,1)和Q(2a,3)的直线的倾斜角是钝角,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:因为直线的倾斜角是钝角,所以斜率<0,解得a<.所以实数a的取值范围是. 答案: 13.(5分)直线l1,l2,l3如图所示,则l1,l2,l3的斜率k1,k2,k3的大小关系为　　　　,倾斜角α1,α2,α3的大小关系为　　　　.  解析:当0°<α<90°时,斜率为正值,倾斜角越大,斜率越大;反之,斜率越大,倾斜角也越大;当90°<α<180°时,斜率为负值,上述结论仍成立. 答案:k1>k2>k3　α3>α1>α2 14.(10分)已知直线l经过两点A(-1,m),B(m,1),问:当m取何值时: (1)直线l与x轴平行?(2分) (2)直线l与y轴平行?(2分) (3)直线的倾斜角为45°?(3分) (4)直线的倾斜角为锐角?(3分) 解:(1)若直线l与x轴平行,则直线l的斜率k==0,∴m=1. (2)若直线l与y轴平行,则直线l的斜率不存在,∴m=-1. (3)由题意可知,直线l的斜率k=1,即=1,解得m=0. (4)由题意可知,直线l的斜率k>0,即>0,解得-1<m<1,故m的取值范围为(-1,1). 15.(10分)已知正△ABC的三个顶点均在抛物线y=x2上,其中一条边所在直线的斜率为,求△ABC的三个顶点的横坐标之和. 解:设点A(a,a2),B(b,b2),C(c,c2),a,b,c互不相等,kAB==a+b,kBC==b+c,kAC==a+c,不妨设kAB=,且直线AB的倾斜角为α,因为△ABC是等边三角形,所以kBC=tan,kAC=tan,所以a+b+c=(kAB+kBC+kAC)= =+·+·=+×+×=-. 16.(10分)已知平面直角坐标系内三点A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1). (1)求直线AB的斜率和倾斜角;(4分) (2)若E(m,n)是线段AC上一动点,求的取值范围.(6分) 解:(1)由斜率公式得直线AB的斜率为=1,记倾斜角为α,则tan α=1. 因为α∈[0,π),所以直线AB的倾斜角为. (2)由题知为直线BE的斜率. 记直线BA和BC的倾斜角分别为α,β,直线BE的倾斜角为γ, 由图可知,γ∈[0,α]∪[β,π), 又kBC=tan β==-,kAB=tan α=1, 所以由正切函数性质可得,直线BE的斜率的取值范围为, 即的取值范围为. 　　　　　　 1 / 94 学科网（北京）股份有限公司 $$