专题2.7 弧长及扇形面积（高效培优讲义）数学苏科版九年级上册

专题2.7 弧长及扇形面积 教学目标 1.自主推导并牢记弧长公式与扇形面积公式； 2.能依据题目已知条件，精准选用公式，完成弧长、扇形面积的计算； 3.面对不规则图形，学会添辅助线，将其转化为规则图形（如三角形、扇形等），通过面积和差求解。 教学重难点 1.重点：掌握弧长与扇形面积公式的推导过程，熟练运用公式解决各类计算问题。 2.难点：灵活运用公式，将复杂图形转化为可计算的规则图形，解决实际应用及综合题型。 知识点01 扇形的弧长和面积计算 （1）扇形弧长公式：_________； （2）扇形面积公式：_________ 其中：圆心角，：扇形多对应的圆的半径， 注意： （1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的_________，即； （2）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的_________，知道其中的_________个量就可以求出第三个量. （3）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是_________的，即； （4）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、_________、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【即学即练】 1．一个扇形的圆心角为，半径为5，则这个扇形的面积为 ．结果保留 2．若长度为的圆弧所在圆的半径为3，则该圆弧所对的圆心角的度数为 ． 题型01 求弧长 【例1】如图，点A、、都在方格纸的格点上，绕点A顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，是圆的直径，是弦，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为 ． 【变式1-3】如图，是的两条弦，若的半径是6，，则的长是 ． 【变式1-4】如图是一段弯形管道，其中，，中心线的两条圆弧半径都为．求图中管道的展直长度（取）． 题型02 求扇形半径 【例2】若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式2-1】如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 【变式2-2】传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，该款裙子可以近似地看作扇环，如图2所示，其中，长度为米，长度为米，则裙长AB为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2-3】如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为 厘米． 【变式2-4】如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型03 求圆心角 【例3】物理课上，小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．如图，已知滑轮的半径，当重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点O按逆时针方向旋转的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 【变式3-4】运动场的每条跑道是由两条直道和两条弯道组成，其中每条弯道是半圆形，每条跑道宽米．400米标准运动场是指最内圈跑道的长度为400米．不同规格的运动场都会将运动场直道与弯道的交接处设为径赛终点线．如图所示，一个400米标准运动场，若跑道最内圈的弯道半径为米，那么在第三道的400米起跑线处点C与终点线处点D形成的弧所对的圆心角的度数是 ． 题型04 求某点的弧形运动路径长度 【例4】如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地面顺时针旋转，当旋转时，点在地面划出的痕迹长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，摆钟是一种技术与艺术相结合的机械时钟，图是其钟摆摆动示意图，，当钟摆从摆动到时，若摆动角度，则端点A移动的路径长为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则点运动的路径长为 ．      【变式4-3】如图，中，，为边上任意一点，将绕着点顺时针方向旋转，得到，设点运动路线的长度为，则的最小值为 ． 【变式4-4】如图，三角尺中，，，，将三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在和点A、B同一直线上的点处，同时点A落在点处． (1)_______°； (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少？ 解题步骤：①找到弧形路径所在圆的圆心，明确运动半径（点到圆心的距离）； ②确定点运动时转过的圆心角度数（注意方向，通常取小于360°的角）； ③用弧长公式计算路径长度；④若路径由多段弧组成，分别计算后求和。 题型05 求扇形面积 【例5】如图，点、、、都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，弧经过格点，则扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【变式5-2】中国历来有“制扇王国”之称，中国扇文化是民族文化的重要组成部分．如图，已知折扇的骨柄长为a，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为，将折扇抽象为扇形，则折扇的扇面面积用含a的代数式表示为 （结果保留）． 【变式5-3】如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径，连接，则扇形的面积为 ． 【变式5-4】如图，是的直径，四边形内接于，延长、交于点，且． (1)求证：； (2)连接、，若，，求扇形的面积． 题型06 求图形旋转后扫过的面积 【例6】如图，在平面直角坐标系中，为原点，的顶点、、．将绕点顺时针旋转得到（分别与对应）． (1)在图中画出旋转后的图形； (2)在旋转过程中，求所扫过的图形的面积．（结果保留） 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)请画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)将绕着原点顺时针旋转得到，请画出，并写出点的坐标；并求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 【变式6-2】正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题； (1)请画出与关于原点对称的； (2)请画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点的坐标_____； (3)求绕点A逆时针旋转后，扫过的图形面积． 【变式6-3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标； (2)将绕点O顺时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． 题型07 求弓形面积 【例7】如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式7-3】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C三个点均在格点上，连接，并作，过点B．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 确定弓形所在圆的半径、所对圆心角，或弦长与弦心距，然后求对应扇形面积和三角形面积，最后计算弓形面积 题型08 求其他不规则图形的面积 【例8】如图，是的直径，点D、E是半圆的三等分点，的延长线交于点C．若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，正方形的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以C为圆心，为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【变式8-2】如图，将以为直径的半圆绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为点．若，则图中阴影部分图形的面积为 ．（结果保留） 【变式8-3】如图，在等腰三角形中，，，，点D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，若点C恰好在上，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式8-4】如图，正方形的对角线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）    一、单选题 1．已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 2．如图，正方形的边长为2，弧是以点B为圆心，长为半径的一段圆弧，则弧的长为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，点、、在上，，是的中点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图是以点O为圆心，分别以，的长为半径的扇面．若，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 6．如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 7．如图，是的直径，，C是上半圆弧的中点，D是下半圆上一个动点，过点A作的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．将圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），若这个圆锥的底面圆的半径为3，则扇形的半径为 ． 9．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的周长为 ．（结果保留） 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且点B，C在上．若，则的长为 ． 11．已知圆锥的底面半径为2，母线长为8，底面圆周上有一点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 12．如图是某校铅球场地的设计图，该场地由和扇形组成，，分别与交于点，．，，，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 13．“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 14．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点，，为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为 ． 三、解答题 15．如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 16．如图，六边形是的内接正六边形，连接，． (1)填空：的度数为_____． (2)若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长． 17．如图，在边长为1厘米的正方形中，分别以为圆心，1厘米长为半径画四分之一的圆弧，交点分别为．那么中间阴影部分的周长为多少厘米？ 18．如图，是的直径，弦，连接，，，且． (1)求的度数． (2)若，求图中阴影部分的面积． 19．如图，与相切于点A，交于点C，，的长为，求的长． 20．如图，为的直径，于点E，交于点D，于点F．当，时，求圆中阴影部分的面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 弧长及扇形面积 教学目标 1.自主推导并牢记弧长公式与扇形面积公式； 2.能依据题目已知条件，精准选用公式，完成弧长、扇形面积的计算； 3.面对不规则图形，学会添辅助线，将其转化为规则图形（如三角形、扇形等），通过面积和差求解。 教学重难点 1.重点：掌握弧长与扇形面积公式的推导过程，熟练运用公式解决各类计算问题。 2.难点：灵活运用公式，将复杂图形转化为可计算的规则图形，解决实际应用及综合题型。 知识点01 扇形的弧长和面积计算 （1）扇形弧长公式：； （2）扇形面积公式： 其中：圆心角，：扇形多对应的圆的半径， 注意： （1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； （2）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. （3）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即； （4）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【即学即练】 1．一个扇形的圆心角为，半径为5，则这个扇形的面积为 ．结果保留 【答案】 【详解】解：， 这个扇形的面积为 故答案为： 2．若长度为的圆弧所在圆的半径为3，则该圆弧所对的圆心角的度数为 ． 【答案】 【详解】解：设该圆弧所对的圆心角的度数为n， 由题意得：， 解得：， 故答案为： 题型01 求弧长 【例1】如图，点A、、都在方格纸的格点上，绕点A顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可得，， 由旋转可得， 的长为：， 故选：B． 【变式1-1】如图，是圆的直径，是弦，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵是圆的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为 故选：A． 【变式1-2】如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：的长为 ． 故答案为： ． 【变式1-3】如图，是的两条弦，若的半径是6，，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵ ∴ ∴的长是， 故答案为：． 【变式1-4】如图是一段弯形管道，其中，，中心线的两条圆弧半径都为．求图中管道的展直长度（取）． 【答案】 【详解】解：由图可知， ， 答：图中管道的展直长度为． 题型02 求扇形半径 【例2】若扇形的弧长为，，则扇形的半径为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【详解】解：依题意，设扇形的半径为， ∵扇形的弧长为，， 则 ∴ 解得， 故选：B 【变式2-1】如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设正六边形的边长为x， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， 正六边形的边长为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质和弧长公式，等腰三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用． 【变式2-2】传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，该款裙子可以近似地看作扇环，如图2所示，其中，长度为米，长度为米，则裙长AB为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】∵米，， ∴， ∴米， ∵米，， ∴， ∴米， ∴米． 故选：B． 【变式2-3】如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为 厘米． 【答案】 【详解】解：设圆弧所在圆的半径为，由弧长公式得： ， 解得：， 故答案为：． 【变式2-4】如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：如图，取圆心，连接 ， ， ， 设半径为米，则米， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得， 圆弧所在圆的半径米． 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键． 题型03 求圆心角 【例3】物理课上，小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．如图，已知滑轮的半径，当重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点O按逆时针方向旋转的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设旋转的角度是，滑轮的半径是， 由题意得：， 解得：， 绕点O按逆时针方向旋转的度数为， 故选：C． 【变式3-1】如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接、， ∵与正八边形相切于点， ，， ∵六边形的内角和为， ， ， ∴的度数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了弧的度数，切线的性质，正多边形的性质，多边形的内角和；掌握切线的性质，正多边形的性质，会求弧的度数是解题的关键． 【变式3-2】“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的周长为：， ∴顺时针转动周时，点移动的弧长为：， ∴， 解得：． 故选：A． 【变式3-3】如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 【答案】C 【详解】解：连接， 设的度数为， ∵， ∴半径， 则， ∴， ∴弦， 故选：C． 【变式3-4】运动场的每条跑道是由两条直道和两条弯道组成，其中每条弯道是半圆形，每条跑道宽米．400米标准运动场是指最内圈跑道的长度为400米．不同规格的运动场都会将运动场直道与弯道的交接处设为径赛终点线．如图所示，一个400米标准运动场，若跑道最内圈的弯道半径为米，那么在第三道的400米起跑线处点C与终点线处点D形成的弧所对的圆心角的度数是 ． 【答案】/18度 【详解】解：∵跑道最内圈的弯道半径为米，每条跑道宽米，每条弯道是半圆形， ∴的半径为：（米）； ∵最内圈跑道的长度为400米， ∴两条直道的总长度为， ∴第三道的总长度为：， ∴的长为：， ∴， ∴，即：所对的圆心角度数是； 故答案为：． 题型04 求某点的弧形运动路径长度 【例4】如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地面顺时针旋转，当旋转时，点在地面划出的痕迹长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵底面是边长为的正方形， ∴对角线的长度为． ∵，半径． ∴点在地面划出的痕迹长． 【变式4-1】如图，摆钟是一种技术与艺术相结合的机械时钟，图是其钟摆摆动示意图，，当钟摆从摆动到时，若摆动角度，则端点A移动的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：端点A移动的路径长， 故选：C． 【变式4-2】如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则点运动的路径长为 ．      【答案】 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，， ∴点C经过的路径长为：． 故答案为：． 【变式4-3】如图，中，，为边上任意一点，将绕着点顺时针方向旋转，得到，设点运动路线的长度为，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴， ∵绕着点顺时针方向旋转，得到， ∴点运动路线的长度为圆心为点C，圆心角为，半径为的弧长， ∴， ∴当最小时，弧长最小， 根据垂线段最短，当时，最小， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-4】如图，三角尺中，，，，将三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在和点A、B同一直线上的点处，同时点A落在点处． (1)_______°； (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少？ 【答案】(1)120 (2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为和 【详解】（1）解：由旋转的性质得， ∵点A、B、在同一直线上， ∴， 故答案为：120； （2）解：由（1）知旋转角为， ∴旋转过程中点A所经过的路程为， 旋转过程中点C所经过的路程为． 解题步骤：①找到弧形路径所在圆的圆心，明确运动半径（点到圆心的距离）； ②确定点运动时转过的圆心角度数（注意方向，通常取小于360°的角）； ③用弧长公式计算路径长度；④若路径由多段弧组成，分别计算后求和。 题型05 求扇形面积 【例5】如图，点、、、都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，弧经过格点，则扇形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依题意，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上， ,， 扇形的面积． 故选D． 【变式5-1】已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：设该扇形的半径为， ∵一个扇形的圆心角为，其弧长为， ∴， ∴， ∴该扇形的面积为. 故答案为：． 【变式5-2】中国历来有“制扇王国”之称，中国扇文化是民族文化的重要组成部分．如图，已知折扇的骨柄长为a，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为，将折扇抽象为扇形，则折扇的扇面面积用含a的代数式表示为 （结果保留）． 【答案】 【详解】解：由图可得，折扇的扇面面积为： ． 故答案为： 【变式5-3】如图，A，B，C，D是⊙O上的点，半径，连接，则扇形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-4】如图，是的直径，四边形内接于，延长、交于点，且． (1)求证：； (2)连接、，若，，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解： 四边形内接于， ∴， 又， ， ， ； （2）解：连接，， ， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ， 扇形的面积为 故答案为：． 题型06 求图形旋转后扫过的面积 【例6】如图，在平面直角坐标系中，为原点，的顶点、、．将绕点顺时针旋转得到（分别与对应）． (1)在图中画出旋转后的图形； (2)在旋转过程中，求所扫过的图形的面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）解：分别作出点、绕点顺时针旋转后的对应点、，连接、、，即为所求． 如图，即为所求； （2）解：∵，， ∴． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴所扫过的图形是扇形，圆心角为，半径为的长度． ∵扇形面积公式为（为圆心角度数，为半径）， ∴所扫过图形的面积为． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)请画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)将绕着原点顺时针旋转得到，请画出，并写出点的坐标；并求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析， (2)见解析，点的坐标为； 【详解】（1）解：如图，即为所作，点的坐标 （2）解：如图，即为所作， 点的坐标为； ∵ ∴线段在旋转过程中扫过的面积 【变式6-2】正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题； (1)请画出与关于原点对称的； (2)请画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点的坐标_____； (3)求绕点A逆时针旋转后，扫过的图形面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， (3) 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； 由图可知：； （3）由题意可知，扫过的面积为扇形的面积加上的面积， ， 由勾股定理，得：， ∴， ∴扫过的图形面积． 【变式6-3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到，画出，并写出点的坐标； (2)将绕点O顺时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：如图所示，即为所求，则； （3）解：如图所示，根据题意可得线段在旋转过程中扫过的面积即为扇形的面积减去扇形， ∵，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴线段在旋转过程中扫过的面积． 题型07 求弓形面积 【例7】如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：B． 【变式7-1】如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 【变式7-2】如图，在等腰中，，，以为直径的交于点D，连接、，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，为的直径． ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： 【变式7-3】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C三个点均在格点上，连接，并作，过点B．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解： 如图，连接， 由勾股定理可得：，， ∴， ∴， ∴为直径， ∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：． 确定弓形所在圆的半径、所对圆心角，或弦长与弦心距，然后求对应扇形面积和三角形面积，最后计算弓形面积 题型08 求其他不规则图形的面积 【例8】如图，是的直径，点D、E是半圆的三等分点，的延长线交于点C．若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， 点D、E是半圆的三等分点， ， ， 都是等边三角形， ， ，则， ，， 是等边三角形， ， 的高为， 图中阴影部分的面积 ， 故选：A． 【变式8-1】如图，正方形的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以C为圆心，为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接，三点共线    ∵四边形是正方形，点分别为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴弓形弓形， ∴阴影部分的面积， 故选：B． 【变式8-2】如图，将以为直径的半圆绕点按顺时针方向旋转，点的对应点为点．若，则图中阴影部分图形的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：根据题意 ， 故答案为：． 【变式8-3】如图，在等腰三角形中，，，，点D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，若点C恰好在上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接，设交于，交于． ，，， ，，， ， ， ， ， ∴ ． 故答案为：． 【变式8-4】如图，正方形的对角线，交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧交于点，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）    【答案】/ 【详解】解：四边形是正方形， ， 图中阴影部分的面积为 故答案为：． 一、单选题 1．已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【答案】B 【详解】设扇形的半径为， 根据扇形的面积公式， 解得． 故选：． 2．如图，正方形的边长为2，弧是以点B为圆心，长为半径的一段圆弧，则弧的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得：所在圆的半径为，圆心角为， 的长为， 故选：A． 3．如图，点、、在上，，是的中点，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图： ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， 故的长是． 故选：B． 4．如图，已知的半径为，点和点在上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ， 故选：． 5．如图是以点O为圆心，分别以，的长为半径的扇面．若，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由 ， 故选：． 6．如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：如图， 空白①的面积为， 空白部分②的面积， 所以阴影部分的面积 ， 故选：A． 7．如图，是的直径，，C是上半圆弧的中点，D是下半圆上一个动点，过点A作的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，， 点是上半圆的中点， ， ， ， ， 在中， ， ， 点在以为直径的半圆上运动， ． 故选B． 二、填空题 8．将圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），若这个圆锥的底面圆的半径为3，则扇形的半径为 ． 【答案】9 【详解】解：圆锥的底面圆的半径为3， 圆锥的底面圆的周长为， 则扇形的弧长为． 令扇形的半径为r， 则， 解得， 则扇形的半径为9． 故答案为：9． 9．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的周长为 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：如图，设两圆周相交于点，连接、， ， 是等边三角形， ， ， 同理可得，， 阴影部分的周长为． 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且点B，C在上．若，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵，， ∴， ∵轴， ∴圆心在y轴上， 设圆心为点E，连接、、， ， ∵在坐标系中：，，， ∴可知：，， 此时由于半径相等：， ∴设，则， ∵由题可知：， ∴在中有勾股定理：， ∴，解得：， ∴半径为：5， ∵同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍，， ∴， ∴的长为：． 故答案为：． 11．已知圆锥的底面半径为2，母线长为8，底面圆周上有一点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，将圆锥展开如下图所示的扇形，连接，则线段就是蚂蚁爬行的蛭短距离， ∵点是母线的中点，， ∴， 扇形的弧长， 设扇形的圆心角为，则有： ， 解得：， ∴扇形的圆心角为， ∴蚂蚁爬行的最短距离为：， 故答案为：． 12．如图是某校铅球场地的设计图，该场地由和扇形组成，，分别与交于点，．，，，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 13．“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：． 14．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点，，为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：， ∵曲边三角形的周长为， ∴， 解得：， 即， 如下图所示，过点作于点D， 则有， ， ， ， ∴曲边三角形的面积为． 故答案为： 三、解答题 15．如图，已知四边形内接于，．连接，若且的半径为6，求的长． 【答案】 【详解】解：四边形内接于，， 是直径， 且的半径为6， ∴， ∴的长是：， 即的长． 16．如图，六边形是的内接正六边形，连接，． (1)填空：的度数为_____． (2)若正六边形的边心距为，求图中阴影部分的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：如图，过点O作于点P， ， 是等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得：， 即， 解得（舍去负值）， ， ， 的长为， 阴影部分的周长为． 17．如图，在边长为1厘米的正方形中，分别以为圆心，1厘米长为半径画四分之一的圆弧，交点分别为．那么中间阴影部分的周长为多少厘米？ 【答案】 【详解】解：如图，连接和，和，则和为等边三角形． ， 因此的长为：， 阴影部分的周长为：（厘米）． 答：中间阴影部分的周长为． 18．如图，是的直径，弦，连接，，，且． (1)求的度数． (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【详解】（1）解：所对的圆心角为，所对的圆周角为， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是的直径，弦，设垂足为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】 19．如图，与相切于点A，交于点C，，的长为，求的长． 【答案】 【详解】解：连接， 与相切于点A， ，即． 设， ，的长为， ． 解得，即． ． ．   ．   在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的性质、弧长公式、三角形内角和定理、等腰三角形性质、勾股定理，熟练掌握相关性质即可解题． 20．如图，为的直径，于点E，交于点D，于点F．当，时，求圆中阴影部分的面积． 【答案】 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴，即点F为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 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