专题2.8 圆锥的侧面积（高效培优讲义）数学苏科版九年级上册

专题2.8 圆锥的侧面积 教学目标 1.能自主推导圆锥侧面积公式，明晰其与圆锥各元素（母线、底面半径等）及扇形面积公式的联系; 2.能运用圆锥的侧面积公式与全面积公式，完成各类圆锥侧面积; 3.学会将圆锥相关实际问题转化为数学模型，利用所学公式求解，提升知识应用能力 教学重难点 1.重点：圆锥侧面积公式的推导过程，熟练运用公式解决计算问题。 2.难点：把握圆锥侧面展开图与圆锥本身元素的对应关系，解决综合性较强的实际应用问题。 知识点01 圆锥的结构及表面积、体积公式 圆锥是由一个________和一个________围成的，它的底面是一个圆（面），侧面是一个曲面。 我们把连接圆锥的顶点和底面圆上一点的线段叫做圆锥的________,如图，线段是圆锥的母线。 我们把连接________与底面________的线段叫圆锥的高,如图，线段是圆锥的高。 圆锥的表面积公式及体积公式 圆锥的表面积公式：=________ 圆锥的体积公式：________ 【即学即练】 1．底面半径为的圆锥的侧面积是，则圆锥的母线长是 ． 2．已知圆锥底面圆半径是4，圆锥的母线长为6，则这个圆锥的侧面积是 ． 题型01 求圆锥侧面积 【例1】把一个圆心角为，半径为的扇形纸片，通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为的圆锥侧面，如图所示，则圆锥上粘贴部分（图中阴影部分）的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若每个小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知圆锥的底面半径为3，母线长为15，则该圆锥的侧面积为 ． 【变式1-3】如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长为，母线长．为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？ 【变式1-4】已知扇形的圆心角为，半径为，如果用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的全面积是多少？ 题型02 求圆锥底面半径 【例2】如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式2-1】如图，点C为扇形的半径上一点，将沿折叠，点O恰好落在上的点D处，且，若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为 ． 【变式2-3】若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是 ． 【变式2-4】如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ． 题型03 求圆锥的高 【例3】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知圆锥的底面圆半径为3，侧面展开图面积为，则该圆锥的高为 ． 【变式3-2】如图所示的扇形中，半径，圆心角，用这个扇形围成一个圆锥的侧面． （1）则这个圆锥的底面半径 ． （2）这个圆锥的高 ． 【变式3-3】如图，已知某个圆锥的主视图为等腰三角形，其中，，则这个圆锥的体积为 ． 【变式3-4】如图，正六边形的边长为3，B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ． 题型04 求圆锥侧面展开图的圆心角 【例4】一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是（） A． B． C． D． 【变式4-1】已知圆锥的底面圆的半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的大小= （度）． 【变式4-2】如图，圆锥的高为，母线的长为，则该圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角为 ． 【变式4-3】圆锥的母线长是底面半径的4倍，则此圆锥侧面展开图的圆心角度数为 ． 【变式4-4】如图，扇形是圆锥的侧面展开图，圆锥的母线，底面圆的半径． (1)当时，求的度数； (2)当时，分别求的度数；（直接写出结果） (3)当（n为大于1的整数）时，猜想的度数（直接写出结果）． 题型05 圆锥侧面上最短路径问题 【例5】已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 【变式5-2】如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 【变式5-3】如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，将圆锥沿母线剪开，其侧面展开图如图2所示，若，，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【变式5-4】如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ） A．3 B． C． D．4 将圆锥侧面沿母线剪开，展开为扇形，则圆锥侧面上两点的最短路径，转化为扇形平面内两点的线段长， 明确扇形半径、圆心角，在展开的扇形中，用勾股定理或余弦定理求两点线段长。 题型06 圆锥的实际问题 【例6】如图是一款近似圆锥形帐篷，其侧面展开后是一个半径为、圆心角为的扇形，制作这顶帐篷（侧面与底面）需要多少平方米的材料？（结果保留）    【变式6-1】我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为，相当于排开的水．若已知圆锥体体积可近似看成，那么当这些水恰好充满高为的圆锥时，该圆锥展开后的扇形弧长为 ．（取3） 【变式6-2】在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【变式6-3】图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 一、单选题 1．若圆锥的底面半径长为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 2．一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是多少平方米（接缝不计）（　　） A． B． C． D． 3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（   ） A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺 4．一张直角三角形纸片，两条直角边长分别为a和，将纸片先绕长为b的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体甲；再绕长为a的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体乙，关于这两个圆锥体，有下列两个结论： ①甲、乙的侧面积之比为；②甲、乙的体积之比为． 对于结论①和②，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①②都错误 5．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 二、填空题 7．若圆锥的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积是 ． 8．若圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为 ． 9．一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，这个圆锥的底面半径与母线长之比为 10．如图，圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的侧面积是 ． 11．如图，格点纸中每个小正方形的边长均为，以小正方形的顶点为圆心，为半径做了一个扇形，并用该扇形围成一个圆锥的侧面．针对此做法， （1） ； （2）该圆锥的侧面积为 ． 12．如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍． 13．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转至，若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则 （结果保留根号） 三、解答题 14．如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥侧面，求围成的圆锥的高．    15．已知圆锥的底面半径是，母线长为，C为母线的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 16．综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示． (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草㡌，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 17．如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 18．有一直径为的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心角是的扇形（如图）． (1)求被剪掉的阴影部分的面积； (2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ (3)求圆锥的全面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.8 圆锥的侧面积 教学目标 1.能自主推导圆锥侧面积公式，明晰其与圆锥各元素（母线、底面半径等）及扇形面积公式的联系; 2.能运用圆锥的侧面积公式与全面积公式，完成各类圆锥侧面积; 3.学会将圆锥相关实际问题转化为数学模型，利用所学公式求解，提升知识应用能力 教学重难点 1.重点：圆锥侧面积公式的推导过程，熟练运用公式解决计算问题。 2.难点：把握圆锥侧面展开图与圆锥本身元素的对应关系，解决综合性较强的实际应用问题。 知识点01 圆锥的结构及表面积、体积公式 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，它的底面是一个圆（面），侧面是一个曲面。 我们把连接圆锥的顶点和底面圆上一点的线段叫做圆锥的母线,如图，线段是圆锥的母线。 我们把连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高,如图，线段是圆锥的高。 圆锥的表面积公式及体积公式 圆锥的表面积公式：= 圆锥的体积公式： 【即学即练】 1．底面半径为的圆锥的侧面积是，则圆锥的母线长是 ． 【答案】7 【详解】解：设圆锥的母线长为，则， 解得， 故答案为：． 2．已知圆锥底面圆半径是4，圆锥的母线长为6，则这个圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【详解】解：由题意，圆锥的侧面积是； 故答案为：． 题型01 求圆锥侧面积 【例1】把一个圆心角为，半径为的扇形纸片，通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为的圆锥侧面，如图所示，则圆锥上粘贴部分（图中阴影部分）的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵圆锥的底面周长为， ∴围成圆锥的扇形弧长为， ∵已知扇形的弧长为， ∴粘贴部分的弧长为， ∴圆锥上粘贴部分的面积是． 故选：B． 【变式1-1】某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若每个小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由勾股定理得，， ∴，， ∴， ∴， ∴这个圆锥的侧面积是． 故选：D． 【变式1-2】已知圆锥的底面半径为3，母线长为15，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长为，母线长．为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？ 【答案】 【详解】解：∵圆锥的底面周长为，母线长为， ∴圆锥的侧面积为：． 答：所需油毡的面积至少是． 【变式1-4】已知扇形的圆心角为，半径为，如果用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的全面积是多少？ 【答案】 【详解】解∶ 设底面圆半径为r， 则， 解得， ∴圆锥的侧面积为，底面积为， ∴圆锥的全面积为． 题型02 求圆锥底面半径 【例2】如图，在矩形中，，点在边上，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，将扇形剪下来做成圆锥，则该圆锥底面半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴的长度， 设围成圆锥后，底面圆的半径为， ∴， 解得，， ∴该圆锥底面半径为1， 故选：A ． 【变式2-1】如图，点C为扇形的半径上一点，将沿折叠，点O恰好落在上的点D处，且，若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接交于． 由折叠的知识可得：，， ， ， ， ∴ 设圆锥的底面半径为，母线长为， 根据题意得，， ． 故选：D． 【变式2-2】如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图， ， 为的直径，即， ， 设该圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 即该圆锥的底面圆的半径为． 故答案为：． 【变式2-3】若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是 ． 【答案】6 【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径是， 根据题意得， 解得， 即这个圆锥的底面圆半径是． 故答案为：6． 【变式2-4】如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】2 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 由圆的性质可知，， ∴， ∴， ∴扇形的弧长为， ∴圆锥的底面圆半径为， 故答案为： 2． 题型03 求圆锥的高 【例3】如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ， ， 圆锥的高为， 故选：D． 【变式3-1】已知圆锥的底面圆半径为3，侧面展开图面积为，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【详解】解：设圆锥母线长为， ∵ 圆锥底面圆半径， ∴ 底面圆周长， 又∵ 圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆周长，侧面展开图面积（为弧长，为母线长），且侧面展开图面积为， ∴ ， 解得， ∴ 圆锥的高． 故答案为： ． 【变式3-2】如图所示的扇形中，半径，圆心角，用这个扇形围成一个圆锥的侧面． （1）则这个圆锥的底面半径 ． （2）这个圆锥的高 ． 【答案】 4 【详解】解：（1）设这个圆锥的底面圆半径为r， 由题意得，， 解得， ∴这个圆锥的底面圆半径为4， 故答案为：4； （2）由题意得，， 故答案为：． 【变式3-3】如图，已知某个圆锥的主视图为等腰三角形，其中，，则这个圆锥的体积为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，圆锥底面圆的直径为，母线长为， ∴圆锥底面圆的半径为， ∴圆锥的高为， ∴圆锥的体积为， 故答案为：． 【变式3-4】如图，正六边形的边长为3，B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ． 【答案】 【详解】解：∵正六边形的边长为3， ∴，， ∴弧的长为：， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图， ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的内角，圆锥的侧面展开图的弧长与底面圆的关系，母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形的关系，勾股定理，弄清弧长与圆锥的底面圆的周长的关系及母线、底面圆的半径和高的关系是解题的关键． 题型04 求圆锥侧面展开图的圆心角 【例4】一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，圆锥母线长为，弧长为，扇形面积为，底面积为，圆心角度数为， ， ， ， ，即， 又， ， 故选：B． 【变式4-1】已知圆锥的底面圆的半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的大小= （度）． 【答案】 【详解】解：圆锥的底面圆的周长， 圆锥的侧面扇形的弧长为， ， 解得：， 即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为． 故答案为：． 【变式4-2】如图，圆锥的高为，母线的长为，则该圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角为 ． 【答案】/120度 【详解】解：圆锥的高为，母线长为， 圆锥的底面圆的半径， 由（r为圆锥底面半径，R为圆锥的母线长，n为圆锥侧面展开图对应的扇形的圆心角） 得， ， 故答案为：． 【变式4-3】圆锥的母线长是底面半径的4倍，则此圆锥侧面展开图的圆心角度数为 ． 【答案】/90度 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，圆锥侧面展开图的圆心角度数为，则母线长为， 由题意得，， ∴， ∴此圆锥侧面展开图的圆心角度数为， 故答案为：． 【变式4-4】如图，扇形是圆锥的侧面展开图，圆锥的母线，底面圆的半径． (1)当时，求的度数； (2)当时，分别求的度数；（直接写出结果） (3)当（n为大于1的整数）时，猜想的度数（直接写出结果）． 【答案】(1)180度 (2)120度；90度 (3) 【详解】（1）解：设的度数为，则， ∵， ∴，即． （2）解：设的度数为，则， ∵， ∴， ∴， 即， 同理：当时，， ∴， ∴； （3）解：由（2）可得：， ∴， ∴． 题型05 圆锥侧面上最短路径问题 【例5】已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，扇形为圆锥的侧面展开图，连接． 圆锥形底面周长为，母线的长为， ．解得，即， ， ∴， 过点作于点， ． ． ∴，， ，垂直， ， ． 故这条灯带的最短长度为， 故选D． 【变式5-1】已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 【答案】 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 【变式5-2】如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 【答案】 【详解】为正三角形， ， ， ∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得： ， ，则， （m）， 故答案为：． 【变式5-3】如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点，将圆锥沿母线剪开，其侧面展开图如图2所示，若，，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【答案】6 【详解】解：如图，连接，作于点， ∴即为蚂蚁爬行的最短距离， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 故答案为： 【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三线合一的性质，解本题的关键在正确作出辅助线和熟练掌握相关的性质、定理． 【变式5-4】如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【详解】 解：圆锥的底面周长是，则， ，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度． 则在圆锥侧面展开图中，，度． 在圆锥侧面展开图中． 故小猫经过的最短距离是．故选：． 【点睛】 本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 将圆锥侧面沿母线剪开，展开为扇形，则圆锥侧面上两点的最短路径，转化为扇形平面内两点的线段长， 明确扇形半径、圆心角，在展开的扇形中，用勾股定理或余弦定理求两点线段长。 题型06 圆锥的实际问题 【例6】如图是一款近似圆锥形帐篷，其侧面展开后是一个半径为、圆心角为的扇形，制作这顶帐篷（侧面与底面）需要多少平方米的材料？（结果保留）    【答案】 【详解】解：由题意得：帐篷的侧面需要的材料为：， 设帐篷的底面半径为，则， 解得：， 帐篷的底面需要的材料为， 制作这顶帐篷（侧面与底面）需要的材料为：． 【变式6-1】我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为，相当于排开的水．若已知圆锥体体积可近似看成，那么当这些水恰好充满高为的圆锥时，该圆锥展开后的扇形弧长为 ．（取3） 【答案】 【详解】解：，，， ∴， 圆锥展开后的扇形弧长． 故答案为：300． 【变式6-2】在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【答案】(1)能，见解析 (2) 【详解】（1）解：如图所示： ∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形， ∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等． 由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系． 将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆， 则围成的圆锥形的侧面积． ∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度， 如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：， 该侧面展开图的圆心角为． 由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等． ∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁． （2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为， 圆心角为， 滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为， 又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半， ∴滤纸重叠部分每层面积． 【变式6-3】图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意得， ， ∴； （2）解：，，， 而， ， ． 一、单选题 1．若圆锥的底面半径长为，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵圆锥的底面半径长为，母线长为， ∴圆锥的侧面积是， 故选：B． 2．一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是多少平方米（接缝不计）（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵圆锥的侧面积公式为（其中是底面半径，是母线长），底面半径米，母线长米 ∴圆锥侧面积（平方米） 故选：D． 3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为（   ） A．平方尺 B．平方尺 C．平方尺 D．平方尺 【答案】A 【详解】解：设圆锥的底面半径为尺， 由米堆底部的弧长为8尺，可得， 解得：， （平方尺）， 这个米堆遮挡的墙面面积为平方尺， 故选：A． 4．一张直角三角形纸片，两条直角边长分别为a和，将纸片先绕长为b的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体甲；再绕长为a的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体乙，关于这两个圆锥体，有下列两个结论： ①甲、乙的侧面积之比为；②甲、乙的体积之比为． 对于结论①和②，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】B 【详解】解：绕长为的直角边旋转，底面半径，高，母线， 所以甲的侧面积，甲的体积； 绕长为的直角边旋转，底面半径，高，母线， 所以乙的侧面积，乙的体积． 则侧面积之比：，故结论①正确； 体积之比：，故结论②正确． 综上，①②均正确． 故选：B． 5．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的扇形圆心角为， 由题意，得： ∴． 又∵，将代入得： ∴； 故选D． 6．如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为， 由题意得，， ∴， 如图所示，在扇形中，， 过点M作于D， ∴， ∴， ∴， ∴在展开图中，之间的距离为， 故选：D． 二、填空题 7．若圆锥的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【详解】解：圆锥侧面积为：， 故答案为：． 8．若圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为 ． 【答案】48 【详解】解：设该圆锥的母线长为， ∵圆锥的侧面展开图为一扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面的周长， ∴，解得， 即该圆锥的母线长为48． 故答案为：48． 9．一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，这个圆锥的底面半径与母线长之比为 【答案】 【详解】解：设圆锥的底面半径为r，母线长l， 则， 则， 故答案为：． 10．如图，圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的侧面积是 ． 【答案】 【详解】解：设圆锥的母线长为， 根据题意得，解得 所以该圆锥体的侧面积． 故答案为：． 11．如图，格点纸中每个小正方形的边长均为，以小正方形的顶点为圆心，为半径做了一个扇形，并用该扇形围成一个圆锥的侧面．针对此做法， （1） ； （2）该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【详解】解：（1）连接 ， ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 故答案为：． （2）∵半径，圆心角， ∴根据扇形面积公式可得： 故答案为： ． 12．如图，一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，其圆心角是，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍． 【答案】3 【详解】解：设母线长为l，底面圆半径为r， 由题意得，该圆锥的侧面积为，， ∴， ∴底面积为， ∴该圆锥的侧面积是底面积的3倍， 故答案为：3． 13．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转至，若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则 （结果保留根号） 【答案】 【详解】解：过B点作于H点，如图， 在中，设， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵绕点A逆旋转一定的角度至， ∴， 设， ∵，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 14．如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥侧面，求围成的圆锥的高．    【答案】圆锥的高为． 【详解】解：扇形的弧长， 圆锥的底面半径为， 故圆锥的高为：． 15．已知圆锥的底面半径是，母线长为，C为母线的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 【答案】 【详解】本题考查了圆锥的计算，需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个直角三角形，然后根据勾股定理进行计算． 【解答】解：圆锥的底面周长是，则， ∴， 即圆锥侧面展开图的圆心角是120度． ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵C是中点， ∴， ∴度． ∵在圆锥侧面展开图中， ∴在圆锥侧面展开图中． 最短距离是． 16．综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示． (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草㡌，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 【答案】(1)相等，6 (2) (3)不够长；理由见解析 【详解】（1）解：根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则， 解得， 故答案为：相等，6． （2）解：根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得， 解得． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴够长． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开，弧长公式，扇形与底面圆的关系，勾股定理，熟练掌握展开图的意义是解题的关键． 17．如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． 根据题意，得， 解得． 答：该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． （2）解：． 答：此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积为． 18．有一直径为的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心角是的扇形（如图）． (1)求被剪掉的阴影部分的面积； (2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ (3)求圆锥的全面积． 【答案】(1)被剪掉的阴影部分的面积 (2)圆锥的底面圆的半径是 (3)圆锥的全面积是 【详解】（1）解：连接， ， 为的直径． 在中，，且， ， ， ； 答：被剪掉的阴影部分的面积； （2）解：设圆锥底面半径为，则长为， ， ； 答：圆锥的底面圆的半径是； （3）解：． 答：圆锥的全面积是． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$