专题3.4 位置与坐标（章节复习）知识梳理+21个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题-2025-2026学年北师大版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题3.4 位置与坐标（章节复习） （知识梳理+21个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：坐标确定位置 2 知识点梳理02：平面直角坐标 2 知识点梳理03：轴对称图形 3 知识点梳理04：轴对称性质 3 知识点梳理05：两点间公式 4 知识点梳理06：坐标与图形变化 4 知识点梳理07：轴对称-最小值问题 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：用有序数对表示位置 4 考点2：用有序数对表示路线 5 考点3：用方向角和距离确定物体的位置 6 考点4：根据方位描述确定物体的位置 7 考点5：写出直角坐标系中点的坐标 7 考点6：求点到坐标轴的距离 8 考点7：判断点所在的象限 9 考点8：已知点所在的象限求参数 9 考点9：坐标系中描点 9 考点10：已知两点坐标求两点距离 10 考点11：实际问题中用坐标表示位置 11 考点12：坐标系中的平移 12 考点13：点坐标规律探索 12 考点14：中点坐标 13 考点15：求点沿x轴、y轴平移后的坐标 14 考点16：由平移方式确定点的坐标 14 考点17：已知点平移前后的坐标，判断平移方式 15 考点18：已知图形的平移，求点的坐标 16 考点19：坐标系中的对称 17 考点20：坐标与图形变化—轴对称 17 考点21：坐标系中的动点问题（不含函数) 18 中考真题 实战演练 19 难度分层 拔尖冲刺 21 基础夯实 21 培优拔高 23 知识点梳理01：坐标确定位置 坐标：是以点O为原点，作为参考点，来定位平面内某一点的具体位置，表示方法为：A（X，Y)。 知识点梳理02：平面直角坐标 1.平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为x轴(x-axis)，取向右方向为正方向；纵轴为y轴（y-axis)，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。 2.x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 3.点坐标 （1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。 （2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。 （3）点到轴及原点的距离： 点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。 4.象限 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数 5.坐标与图形性质 （1） 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。 （2）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。 （3）一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。 （4）y轴上的点，横坐标都为0。 （5）x轴上的点，纵坐标都为0。 知识点梳理03：轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 知识点梳理04：轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3：关于x、y轴、原点对称的点坐标 （1）与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。 （2）与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。 （3）与原点做轴对称变换时，y与x都变为相反数。 知识点梳理05：两点间公式 设两个点A、B以及坐标分别，为则A和B两点之间的距离为： 知识点梳理06：坐标与图形变化 知识点梳理07：轴对称-最小值问题 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 考点1：用有序数对表示位置 【典例精讲】（24-25八年级上·河南郑州·期中）根据下列表述，能确定位置的是（   ） A．航海东路 B．大卫城负二层停车场 C．奥斯卡影城号厅排 D．东经，北纬 【变式训练】（2024·四川达州·二模）如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，其中A的位置可以表示成，则A与B的距离为 ． 考点2：用有序数对表示路线 【典例精讲】（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（________，________）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程； (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P，请在图中标出点P的位置． 【变式训练】（20-21七年级下·全国·课后作业）在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 考点3：用方向角和距离确定物体的位置 【典例精讲】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，B船在A船的北偏东方向上，且距A船70海里处．用方位角和距离描述A船相对于B船的位置，下列说法正确的是（   ） A．北偏东方向上，距离B船70海里处 B．北偏东方向上，距离B船70海里处 C．南偏西方向上，距离B船70海里处 D．南偏西方向上，距离B船70海里处 【变式训练】（24-25八年级下·河北保定·期末）佳琪参加市运会，小宇想去裕同体育中心观看佳琪比赛，如图是佳琪家、小宇家、裕同体育中心的大致位置，则下列说法正确的是（    ） A．佳琪家在裕同体育中心北偏西方向，距离300米处 B．裕同体育中心在小宇家北偏东方向，距离400米处 C．小宇家在裕同体育中心南偏西方向，距离400米处 D．裕同体育中心在佳琪家南偏东方向，距离400米处 考点4：根据方位描述确定物体的位置 【典例精讲】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距淇淇家1200米处 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 【变式训练】（24-25八年级上·山西晋中·期中）2024年4月30日17时46分，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十七号载人飞行任务取得圆满成功．下列描述能确定东风着陆场位置的是（    ） A．内蒙古中部 B．距离酒泉发射中心300千米 C．内蒙古自治区阿拉善盟 D．东经，北纬 考点5：写出直角坐标系中点的坐标 【典例精讲】（24-25八年级下·广西河池·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个网格的小正方形边长为1） (1)画出使和关于x轴对称； (2)写出三个顶点的坐标； (3)求出的长． 【变式训练】．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，用表示点A的位置． (1)和分别表示点______和点______； (2)图中D，E两点的位置分别表示成______和______； (3)若从点A运动到点B有这样一条路径：．请写出另一条由点A到点B的路径：→______→______→______→______→． 考点6：求点到坐标轴的距离 【典例精讲】（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知点，回答下列问题： (1)点P在y轴上，求出点P的坐标； (2)点P在第二象限，且它到x轴和y轴的距离相等，求的值． 【变式训练】．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n． (1)若，求的值； (2)若，求点A的坐标． 考点7：判断点所在的象限 【典例精讲】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，直线，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，的坐标分别为，，则点在第 象限内． 考点8：已知点所在的象限求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）在平面直角坐标系中，有，，三点，为直线上的一点．当点恰好落在轴上，且点与点的距离最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点在x轴上，点在y轴上，则点位于第 象限． 考点9：坐标系中描点 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在方格纸中建立平面直角坐标系． (1)写出图中点，，的坐标； (2)在图中描出下列各点：． 【变式训练】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出； (2)求四边形的面积（写出求解过程）； (3)设点P在y轴上，且与四边形面积相等，直接写出点P的坐标______． 考点10：已知两点坐标求两点距离 【典例精讲】（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）在平面直角坐标系中有、两点，则线段的长是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【变式训练】（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段，点，的对应点分别为，．如果将为看成由经过一次平移得到的，则平移距离为（   ） A． B． C．6 D．5 考点11：实际问题中用坐标表示位置 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）某湿地公园是一处集自然风光和休闲娱乐于一体的国家4A级旅游景区，右图是该湿地公园的部分简图，在图中建立平面直角坐标系，使曲桥的坐标为，南北主题广场的坐标为． (1)画出平面直角坐标系； (2)分别写出：人工湖、垂钓池、景观长廊、莲花池的坐标． 【变式训练】（24-25八年级下·河北沧州·期末）红军长征的胜利，使中国革命转危为安．如图是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的点的坐标为，表示湘江战役的点的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 考点12：坐标系中的平移 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知线段，轴，若点A的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）如图，以龙卷风中心为圆心，半径为1的圆圈范围内（图中虚线圈内）会受到龙卷风影响．若龙卷风中心沿直线匀速行进，则14时点P处的树木 受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”） 考点13：点坐标规律探索 【典例精讲】（24-25八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为顶点作正方形，正方形，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为 ． 【变式训练】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是 ． 考点14：中点坐标 【典例精讲】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，正方形的边长为，轴，． (1)写出，，三个顶点的坐标； (2)写出中点的坐标． 【变式训练】（24-25八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若存在点，使得且，这样得到的点称为点关于点的“相关点”． (1)如图1，已知点的坐标为， ①则点关于点的“相关点”坐标为_______； ②在这三个点中，点为点关于点_______的“相关点”． (2)如图2，若点坐标为，点坐标为， ①在下列三个点中：，能成为点关于点的“相关点”的是_______； ②直接写出点关于点的“相关点”的坐标_______（用表示）． 考点15：求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【典例精讲】（24-25八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24七年级下·四川德阳·期中）将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 考点16：由平移方式确定点的坐标 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知点 、点 ，将线段 平移得到线段 ． 若点 的对应点是 ，则点 的对应点 的坐标是 ． 【变式训练】（24-25八年级下·河北保定·期末）线段两端点的坐标分别为，，若将线段平移，使得点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，点D的坐标为，则点C的坐标为 ． 考点17：已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的平行四边形，点的坐标是现将这张胶片平移，使点落在点处，则此平移可以是（ ） A．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 B．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 D．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 【变式训练】（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、、，是三角形的边上的一点，把三角形经过平移后得三角形，A、B、C的对应点分别为点D、E、F，P的对应点为． (1)写出点D、E、F的坐标； (2)求出三角形的面积． 考点18：已知图形的平移，求点的坐标 【典例精讲】．（24-25八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段平移得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）与在平面直角坐标系中的位置如图所示，由平移得到的． (1)点的坐标为_____； (2)若点是内的一点，平移后内的对应点为，则点的坐标为_____； (3)求的面积． 考点19：坐标系中的对称 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁抚顺·开学考试）坐标系中，的顶点坐标是． (1)画出关于轴对称后的，并写出坐标． (2)x轴上有一动点P，点与点到P的距离之和的最小值为________； (3)求的面积． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为 ． 考点20：坐标与图形变化—轴对称 【典例精讲】（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）已知三角形三个顶点的坐标分别为． (1)在平面直角坐标系中画出这个三角形； (2)作出这个三角形关于轴的对称图形，并写出顶点坐标； (3)的面积是___________． 【变式训练】（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的，并写出点，，的坐标； (2)判断的形状，并说明理由． 考点21：坐标系中的动点问题（不含函数) 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，且a和b满足． (1)请直接写出B点坐标：B______； (2)请在x轴上找点C，使得，求出点C的坐标； (3)点，，连接，交于点M，在线段上存在点P，使，求出点P的坐标． 【变式训练】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内． (1) ________， ________，点B的坐标为________． (2)若点D、E分别为、的中点，连接、、，请求出三角形的面积： (3)点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动（即：沿着长方形移动一周）．在移动过程中，是否存在点P使，若存在，请直接写出符合条件点P的坐标，若不存在，请说明理由． 1．（2022·浙江衢州·中考真题）在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2023·江苏·中考真题）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是(    )    A． B． C． D． 4．（2023·广西防城港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是 （1）将向上平移4个单位长度得到，请画出； （2）请画出与关于轴对称的； （3）请写出的坐标． 5．（2024·安徽·中考真题）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方 向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示． (1)填写下列各点的坐标：A1( ， )、A3( ， )、A12( ， )； (2)写出点A4n的坐标(n是正整数)； (3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向． 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知点到两坐标轴的距离相等，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．或3 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点，在轴上存在一点，使的面积为6，则点的坐标为 ． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，且满足关系式，． (1)______，______，______； (2)四边形的面积为______； (3)是否存在点，使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，已知的顶点都在图中方格的格点上． (1)画出关于轴对称的，并直接写出、、三点的坐标． (2)在轴上找一点使得最小，画出点所在的位置（保留作图痕迹，不写画法）． 培优拔高 6．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，将一个直角三角板按如图方式放在平面直角坐标系中，直角顶点落在处，顶点落在处．顶点落在第一象限，则顶点到轴的距离为(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 7．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，下列说法中正确的是（   ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于轴对称 D．点与点关于轴对称 8．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如果，，点在轴上且三角形的面积是，点坐标是 ；若点在轴上，且为直角三角形，点坐标是 9．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点、、的坐标，并总结关于轴对称的两个点的坐标之间有何关系； (3)点是轴上一个动点，请在图中画出点，使得最小． 10．（22-23八年级上·福建厦门·期末）平面直角坐标系中，点在y轴正半轴，点在x轴正半轴，以线段为边在第一象限内作等边，点C关于y轴的对称点为点D，连接,，且交y轴于点E． (1)补全图形，并填空； ①若点，则点D的坐标是______； ②若，则______． (2)若，求证：垂直平分； (3)若时，探究，，的数量关系，并证明． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 位置与坐标（章节复习） （知识梳理+21个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：坐标确定位置 2 知识点梳理02：平面直角坐标 2 知识点梳理03：轴对称图形 3 知识点梳理04：轴对称性质 3 知识点梳理05：两点间公式 4 知识点梳理06：坐标与图形变化 4 知识点梳理07：轴对称-最小值问题 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：用有序数对表示位置 4 考点2：用有序数对表示路线 5 考点3：用方向角和距离确定物体的位置 7 考点4：根据方位描述确定物体的位置 8 考点5：写出直角坐标系中点的坐标 9 考点6：求点到坐标轴的距离 11 考点7：判断点所在的象限 13 考点8：已知点所在的象限求参数 14 考点9：坐标系中描点 15 考点10：已知两点坐标求两点距离 18 考点11：实际问题中用坐标表示位置 19 考点12：坐标系中的平移 21 考点13：点坐标规律探索 22 考点14：中点坐标 23 考点15：求点沿x轴、y轴平移后的坐标 29 考点16：由平移方式确定点的坐标 29 考点17：已知点平移前后的坐标，判断平移方式 30 考点18：已知图形的平移，求点的坐标 32 考点19：坐标系中的对称 34 考点20：坐标与图形变化—轴对称 36 考点21：坐标系中的动点问题（不含函数) 39 中考真题 实战演练 44 难度分层 拔尖冲刺 48 基础夯实 48 培优拔高 52 知识点梳理01：坐标确定位置 坐标：是以点O为原点，作为参考点，来定位平面内某一点的具体位置，表示方法为：A（X，Y)。 知识点梳理02：平面直角坐标 1.平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为x轴(x-axis)，取向右方向为正方向；纵轴为y轴（y-axis)，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。 2.x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 3.点坐标 （1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。 （2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。 （3）点到轴及原点的距离： 点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。 4.象限 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数 5.坐标与图形性质 （1） 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。 （2）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。 （3）一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。 （4）y轴上的点，横坐标都为0。 （5）x轴上的点，纵坐标都为0。 知识点梳理03：轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 知识点梳理04：轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3：关于x、y轴、原点对称的点坐标 （1）与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。 （2）与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。 （3）与原点做轴对称变换时，y与x都变为相反数。 知识点梳理05：两点间公式 设两个点A、B以及坐标分别，为则A和B两点之间的距离为： 知识点梳理06：坐标与图形变化 知识点梳理07：轴对称-最小值问题 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 考点1：用有序数对表示位置 【典例精讲】（24-25八年级上·河南郑州·期中）根据下列表述，能确定位置的是（   ） A．航海东路 B．大卫城负二层停车场 C．奥斯卡影城号厅排 D．东经，北纬 【答案】D 【思路引导】本题考查了坐标，根据坐标的定义，确定位置需要两个数据，据此逐项分析即可求解，理解坐标的定义是解题的关键． 【规范解答】解：、航海东路，不能确定位置，该选项不合题意； 、大卫城负二层停车场，不能确定位置，该选项不合题意； 、奥斯卡影城号厅排，不能确定位置，该选项不合题意； 、东经，北纬，能确定位置，该选项符合题意； 故选：． 【变式训练】（2024·四川达州·二模）如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，其中A的位置可以表示成，则A与B的距离为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，用有序数对表示位置，先根据题意得到点B的位置可以表示成，进而得到和中心点的夹角为90度，再利用勾股定理求出即可． 【规范解答】解：由题意得，点B的位置可以表示成， ∴和中心点的夹角为90度， ∴， 故答案为：． 考点2：用有序数对表示路线 【典例精讲】（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（________，________）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程； (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P，请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)， (2)10 (3)见解析 【思路引导】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键. （1）B到D向右走3个格，向下走2个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据题意，画出路线图即可. 【规范解答】（1）解：根据题意，B到D的路线为， 故答案为：，， （2）解：，， 甲虫爬行的路程为； （3）解：点P如图所示． 【变式训练】（20-21七年级下·全国·课后作业）在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【思路引导】由用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3，可得平移的方向：后一个数为正数表示向左平移，为负数表示向右平移，而平移的距离是后一个数的绝对值，从而可得答案. 【规范解答】解： 用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3， 数轴上的数向左边平移个单位得到的数为 数轴上的数向右边平移个单位得到的数为 可表示数轴上的数向左边平移个单位得到的数是 故选： 【考点剖析】本题考查的是有序实数对表示平移，正确的理解平移的方向与平移的距离是解题的关键. 考点3：用方向角和距离确定物体的位置 【典例精讲】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，B船在A船的北偏东方向上，且距A船70海里处．用方位角和距离描述A船相对于B船的位置，下列说法正确的是（   ） A．北偏东方向上，距离B船70海里处 B．北偏东方向上，距离B船70海里处 C．南偏西方向上，距离B船70海里处 D．南偏西方向上，距离B船70海里处 【答案】D 【思路引导】本题考查了用方向角与距离确定物体的位置，正确理解方向角的定义是解题关键．直接根据题意得出的长以及度数，进而得出答案． 【规范解答】解：由题意可得：A船在B船的南偏西，海里， 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级下·河北保定·期末）佳琪参加市运会，小宇想去裕同体育中心观看佳琪比赛，如图是佳琪家、小宇家、裕同体育中心的大致位置，则下列说法正确的是（    ） A．佳琪家在裕同体育中心北偏西方向，距离300米处 B．裕同体育中心在小宇家北偏东方向，距离400米处 C．小宇家在裕同体育中心南偏西方向，距离400米处 D．裕同体育中心在佳琪家南偏东方向，距离400米处 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了用方向角和距离确定位置，根据所给的方向角和距离可得佳琪加与裕同体育中心相距300米，且佳琪家在裕同体育中心北偏西方向，小宇家与裕同体育中心相距400米，小宇家在裕同体育中心南偏西方向，据此逐一判断即可得到答案． 【规范解答】解：A、佳琪家在裕同体育中心北偏西方向，距离300米处，原说法正确，符合题意； B、裕同体育中心在小宇家北偏东方向，距离400米处，原说法错误，不符合题意； C、小宇家在裕同体育中心南偏西方向，距离400米处，原说法错误，不符合题意； D、裕同体育中心在佳琪家南偏东方向，距离300米处，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 考点4：根据方位描述确定物体的位置 【典例精讲】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距淇淇家1200米处 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 【答案】C 【思路引导】本题考查了根据方位描述确定物体的位置，熟练掌握坐标的应用是解题关键．先求出学校相对于淇淇家的所在位置的方向角，再根据图形确定距离，由此即可得． 【规范解答】解：由题意可知，， ∴， 则学校相对于淇淇家的位置：北偏东方向上的1200米处， 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级上·山西晋中·期中）2024年4月30日17时46分，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十七号载人飞行任务取得圆满成功．下列描述能确定东风着陆场位置的是（    ） A．内蒙古中部 B．距离酒泉发射中心300千米 C．内蒙古自治区阿拉善盟 D．东经，北纬 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了坐标确定位置，方位角确定位置等知识点，根据坐标确定位置需要两个数据，以及方位角确定位置需要方位角与距离即可解答，理解坐标确定位置需要两个数据是解题的关键． 【规范解答】内蒙古中部是大概位置，不能准确表示位置，故A不符合题意； 距离酒泉发射中心300千米是大概位置，不能准确表示位置，故B不符合题意； 内蒙古自治区阿拉善盟，不能准确表示位置，故C不符合题意； 东经，北纬，能准确确定位置，故D符合题意； 故选：D． 考点5：写出直角坐标系中点的坐标 【典例精讲】（24-25八年级下·广西河池·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个网格的小正方形边长为1） (1)画出使和关于x轴对称； (2)写出三个顶点的坐标； (3)求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【思路引导】（1）根据垂直等距的特点画图即可； （2）根据坐标系直接写出答案，解答即可； （3）利用两点间距离公式解答即可． 本题考查了轴对称作图，写坐标，两点间距离公式，熟练掌握公式和作图是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据垂直等距，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得，，． （3）解：根据题意，得． 【变式训练】．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，用表示点A的位置． (1)和分别表示点______和点______； (2)图中D，E两点的位置分别表示成______和______； (3)若从点A运动到点B有这样一条路径：．请写出另一条由点A到点B的路径：→______→______→______→______→． 【答案】(1)B，C (2)， (3)答案不唯一，如，，， 【思路引导】本题考查了坐标与图形性质，熟练掌握在平面直角坐标系中确定点的位置的方法是解题的关键． （1）根据和的位置求解即可； （2）根据D，E两点的位置求解即可； （3）根据坐标系中坐标的特点求解即可． 【规范解答】（1）和分别表示点B和点C； （2）图中D，E两点的位置分别表示成和； （3）由点A到点B的路径：． 考点6：求点到坐标轴的距离 【典例精讲】（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知点，回答下列问题： (1)点P在y轴上，求出点P的坐标； (2)点P在第二象限，且它到x轴和y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2)2024 【思路引导】本题主要考查了坐标系内点的特点，熟练掌握象限内点的特点和坐标轴上点的特点，是解题的关键． （1）根据y轴上点的特点进行解答即可； （2）根据第二象限内点的特点及到两坐标轴的距离相等，进行解答即可． 【规范解答】（1）解：，在y轴上， ，解得：， 点的坐标为，； （2）点P在第二象限， 且。 又点P到x轴和y轴的距离相等， ，可得，即， 解得：， 把代入得：， 答：的值为2024． 【变式训练】．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n． (1)若，求的值； (2)若，求点A的坐标． 【答案】(1)30 (2) 【思路引导】本题考查了点到坐标的距离，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）把代入式子中进行计算，然后根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，即可解答； （2）根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据绝对值的意义进行计算，即可解答． 【规范解答】（1）解：当时，，， 点的坐标为， ∵点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n， ，， ； （2）解：， ，， ， ， 解得：， ∴， 点的坐标为． 考点7：判断点所在的象限 【典例精讲】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．判断出点的横纵坐标的符号，即可判断点所在的象限． 【规范解答】解：∵， ∴点所在的象限是第一象限． 故选：A 【变式训练】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，直线，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，的坐标分别为，，则点在第 象限内． 【答案】一 【思路引导】本题考查坐标与图形，根据题意确定平面直角坐标系即可求解．掌握平面内点的坐标与点的位置关系，建立平面直角坐标系是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， 又∵直线，在平面直角坐标系中，轴，轴， 如图建立平面直角坐标系， ∴点在第一象限． 故答案为：一． 考点8：已知点所在的象限求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）在平面直角坐标系中，有，，三点，为直线上的一点．当点恰好落在轴上，且点与点的距离最小时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形，在y轴上的点的坐标特点，在y轴上的点的横坐标为0，据此求出m的值，进而求出A、B、C的坐标，则可推出轴，再由垂线段最短，可得当时，有最小值，则此时轴，据此可得答案． 【规范解答】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴轴， ∵垂线段最短， ∴当时，有最小值， ∴此时轴， ∴， 故选：B． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点在x轴上，点在y轴上，则点位于第 象限． 【答案】二 【思路引导】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知坐标轴上及象限内的点的坐标特征是解答的关键．根据坐标轴上点的坐标特征求得m、n值，再根据各个象限中点的坐标特征解答即可． 【规范解答】解： ∵点在x轴上，点在y轴上， ∴，， ∴，， ∴点位于第二象限， 故答案为：二． 考点9：坐标系中描点 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在方格纸中建立平面直角坐标系． (1)写出图中点，，的坐标； (2)在图中描出下列各点：． 【答案】(1)，， (2)见解析 【思路引导】本题主要考查直角坐标系中描点和写出直角坐标系中点的坐标，根据点的坐标的概念，在坐标系中描点，根据坐标系中的点的位置，直接写出坐标即可． （1）根据点的坐标的概念，即可解答． （2）通过点的横坐标在横轴上对应的点作轴的垂线，然后通过点的纵坐标，在纵轴上对应的点作轴的垂线，两个垂线的交点，就是这个坐标表示的这个点． 【规范解答】（1）解：由图可知，，，． （2）解：如图，点，即为所求． 【变式训练】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出； (2)求四边形的面积（写出求解过程）； (3)设点P在y轴上，且与四边形面积相等，直接写出点P的坐标______． 【答案】(1)见详解 (2) (3)， 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系中作图，割补法求不规则图形面积等； （1）根据坐标描出各点，连线，即可求解； （2）由即可求解； （3）由三角形面积得，可得，即可求解； 能熟练作图，并利用割补法求面积是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图， 为所求作； （2）解：如图， ， 故四边形的面积为； （3）解：由题意得 ， ， 解得：， ， ， 解得：或， 点P的坐标，； 故答案为：，． 考点10：已知两点坐标求两点距离 【典例精讲】（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）在平面直角坐标系中有、两点，则线段的长是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【思路引导】本题考查的是勾股定理的应用，根据平面直角坐标系中两点间距离的计算，应用勾股定理求解即可. 【规范解答】解：根据两点间距离公式，点与点的距离为：； 因此，线段的长度为5， 故选：C 【变式训练】（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段，点，的对应点分别为，．如果将为看成由经过一次平移得到的，则平移距离为（   ） A． B． C．6 D．5 【答案】B 【思路引导】本题考查了平移中点的变化规律（横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减），以及勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据平移方式得到的坐标，再利用勾股定理求出，即可解题． 【规范解答】解：点先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到， 如果将为看成由经过一次平移得到的， 则平移距离为； 故选：B． 考点11：实际问题中用坐标表示位置 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）某湿地公园是一处集自然风光和休闲娱乐于一体的国家4A级旅游景区，右图是该湿地公园的部分简图，在图中建立平面直角坐标系，使曲桥的坐标为，南北主题广场的坐标为． (1)画出平面直角坐标系； (2)分别写出：人工湖、垂钓池、景观长廊、莲花池的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)人工湖：，垂钓地：，景观长廊：，莲花池： 【思路引导】本题考查了建立平面直角坐标系，坐标，会根据已知坐标建立平面直角坐标系是解题的关键． （1）由曲桥的坐标为，南北主题广场的坐标为确定平面直角坐标系，即可求解； （2）根据人工湖、垂钓池、景观长廊、莲花池的位置写出坐标即可求解． 【规范解答】（1）解：如图， ； （2）解：由上图得： 人工湖：， 垂钓地：， 景观长廊：， 莲花池：． 【变式训练】（24-25八年级下·河北沧州·期末）红军长征的胜利，使中国革命转危为安．如图是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的点的坐标为，表示湘江战役的点的坐标为，则表示会宁会师的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．由已知点建立平面直角坐标系，得出原点位置，即可得出答案． 【规范解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 表示会宁会师的点的坐标为； 故选：B 考点12：坐标系中的平移 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知线段，轴，若点A的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，由于线段平行于y轴，点A和点B的横坐标相同，均为2，根据线段长度，可确定点B的纵坐标为，从而得到点B的坐标． 【规范解答】解：∵轴， ∴A、B两个点的横坐标相同，都是2， ∵，点A的坐标为， ∴点B的纵坐标为：， ∴点B的坐标为或． 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）如图，以龙卷风中心为圆心，半径为1的圆圈范围内（图中虚线圈内）会受到龙卷风影响．若龙卷风中心沿直线匀速行进，则14时点P处的树木 受到龙卷风的影响．（填“会”或“不会”） 【答案】会 【思路引导】本题考查了坐标与图形. 延长龙卷风行进路径，判断即可. 【规范解答】延长龙卷风行进路径，可知14时点P处的树木会受到龙卷风的影响， 故答案为：会 考点13：点坐标规律探索 【典例精讲】（24-25八年级下·山东临沂·阶段练习）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为顶点作正方形，正方形，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查点的变化规律，根据 坐标的变化情况，总结规律，根据规律解答，仔细观察图形、数形结合，总结出点的坐标的变化规律是解决问题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴顶点的坐标为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意可知，第次接着运动到的点坐标的横坐标为，每4次运动的点坐标的纵坐标以，，，循环，由，可得动点次后P的坐标． 【规范解答】解：由题意知，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， …… ∴第次接着运动到的点坐标的横坐标为，每4次运动的点坐标的纵坐标以，，，循环， ∵， ∴经过第2023次运动后，动点P的坐标是， 故答案为：． 考点14：中点坐标 【典例精讲】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，正方形的边长为，轴，． (1)写出，，三个顶点的坐标； (2)写出中点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)． 【思路引导】本题考查了坐标与图形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用正方形的性质即可求解； （）根据，则点纵坐标与纵坐标相同，点横坐标与横坐标之和的一半即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，轴，， ∴点，，； （2）解：∵，，， ∴点纵坐标与纵坐标相同为，点横坐标与横坐标之和的一半即， ∴中点的坐标为． 【变式训练】（24-25八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若存在点，使得且，这样得到的点称为点关于点的“相关点”． (1)如图1，已知点的坐标为， ①则点关于点的“相关点”坐标为_______； ②在这三个点中，点为点关于点_______的“相关点”． (2)如图2，若点坐标为，点坐标为， ①在下列三个点中：，能成为点关于点的“相关点”的是_______； ②直接写出点关于点的“相关点”的坐标_______（用表示）． 【答案】(1)①或；② (2)①；②或 【思路引导】本题考查了点坐标与图形、三角形全等的判定与性质等知识，正确理解“相关点”的定义是解题关键． （1）①根据“相关点”的定义画出图形（见解析），过点作轴于点，过点作轴于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，求出点的坐标，由此即可得； ②参考（1）的思路，过点作轴于点，过点作轴的垂线，交延长线于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，再求出的长，可得点的坐标，同理可得点的坐标，由此即可得； （2）①当时，如图（见解析），，且，则点即为所求，过点轴于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得点的坐标，利用中点公式可得点的坐标；当时，同样的方法可得点的坐标，然后可得点关于点的“相关点”的横、纵坐标满足关系，据此分析点即可得； ②由（2）①的方法即可得出答案． 【规范解答】（1）解：①如图，，且，则点即为所求． 过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 同理可得：； ∴点关于点的“相关点”坐标为或， 故答案为：或． ②当所求的点位于的上方时， 如图，，且，则点即为所求． 过点作轴于点，过点作轴的垂线，交延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 联立，解得， ∴， ∴； 当所求的点位于的下方时， 同理可得：； 故答案为：． （2）解：①当时， 如图，，且，则点即为所求． 过点轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∴，解得， ∴； 当时， 如图，，且，则点即为所求． 同理可得：，； 综上，点关于点的“相关点”的坐标为或． ∴点关于点的“相关点”的横、纵坐标满足或， 点的横、纵坐标满足，能成为点关于点的“相关点”， 点的横、纵坐标满足，能成为点关于点的“相关点”， 点的横、纵坐标满足，，不能成为点关于点的“相关点”， 故答案为：． ②由（2）①可知，点关于点的“相关点”的坐标为或， 故答案为：或． 考点15：求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【典例精讲】（24-25八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了点在坐标系下的平移，掌握好点平移的计算方式是关键．根据坐标平移的规律，横坐标左减右加，纵坐标上加下减，将点A先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，依次计算即可． 【规范解答】向左平移2个单位：横坐标减少2， 原横坐标为3，平移后横坐标为：； 向上平移4个单位：纵坐标增加4， 原纵坐标为，平移后纵坐标为：； 则平移后点B的坐标为， 故选：A． 【变式训练】（23-24七年级下·四川德阳·期中）将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了点的平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移中点的变化规律即可解答． 【规范解答】解：将点沿轴先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点， 点的坐标为，即， 故选：B． 考点16：由平移方式确定点的坐标 【典例精讲】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知点 、点 ，将线段 平移得到线段 ． 若点 的对应点是 ，则点 的对应点 的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了坐标与图形的变化-平移，平移中点的坐标变化规律是横坐标右加左减，纵坐标上加下减．根据点到点的坐标变化得到平移规律，根据此平移规律即可得到答案． 【规范解答】解：点平移后对应点， 点的平移规律是先向右平移个单位，再向上平移个单位， 点的对应点的坐标为， 即， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·河北保定·期末）线段两端点的坐标分别为，，若将线段平移，使得点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，点D的坐标为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系中图形平移的性质，解题的关键是通过已知对应点（B与D）确定平移向量，再利用平移向量计算未知对应点（C）的坐标． 计算B到D的横、纵坐标变化量（平移向量）；用相同的变化量计算A平移后对应点C的坐标． 【规范解答】解：，点B的对应点为点， 变化规律是横坐标减2，纵坐标减1， ， 平移后点A的对应点C的坐标为 故答案为： 考点17：已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽安庆·期末）在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的平行四边形，点的坐标是现将这张胶片平移，使点落在点处，则此平移可以是（ ） A．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 B．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 D．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了平面坐标系中点的平移，熟记左右移动横坐标，左减右加，上下移动纵坐标，上加下减是解题的关键．利用平面坐标系中点的坐标平移方法，利用点的坐标是，点得出横纵坐标的变化规律，即可得出平移特点． 【规范解答】解：根据的坐标是，点， 横坐标加，纵坐标减得出，故先向右平移个单位，再向下平移个单位， 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知、、，是三角形的边上的一点，把三角形经过平移后得三角形，A、B、C的对应点分别为点D、E、F，P的对应点为． (1)写出点D、E、F的坐标； (2)求出三角形的面积． 【答案】(1) (2)7 【思路引导】本题考查了坐标与图形变化—平移、三角形的面积，正确作图是解题的关键． （1）根据题意得到三角形的平移方式，画出点A、B、C的对应点分别为点D、E、F，再顺次连接得到三角形，结合坐标系即可写出点D、E、F的坐标； （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【规范解答】（1）解：∵点平移后的对应点为， ∴三角形的平移方式为向左2个单位长度，再向下4个单位长度， 如图所示，三角形即为所求： 由图可得． （2）三角形的面积为． 故答案为：7． 考点18：已知图形的平移，求点的坐标 【典例精讲】．（24-25八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段平移得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查坐标与图形变化—平移，掌握点的坐标的平移规律“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”是解题的关键． 由点平移后对应点知，线段向右平移2个单位，向下平移2个单位得到线段，据此即可解答． 【规范解答】解：∵点平移后对应点， ∴线段向右平移2个单位，向下平移2个单位得到线段， ∵， ∴，即． 故选:A． 【变式训练】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）与在平面直角坐标系中的位置如图所示，由平移得到的． (1)点的坐标为_____； (2)若点是内的一点，平移后内的对应点为，则点的坐标为_____； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)2． 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系中图形的平移，网格中求图形的面积等知识；根据两个三角形的位置确定出平移是解题的关键． （1）根据与在平面直角坐标系中的位置可确定平移，进而确定点的坐标； （2）根据确定的平移即可确定点的坐标； （3）用长为3宽为2的长方形面积减去三个直角三角形的面积，即可求得的面积． 【规范解答】（1）解：根据与在平面直角坐标系中的位置，平移为向左平移4个单位长度，向下平移2个单位长度， ∴按此平移，点平移后的坐标为； 故答案为：； （2）解：按（1）中的平移，点平移后的坐标为； 故答案为：； （3）解：． 考点19：坐标系中的对称 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁抚顺·开学考试）坐标系中，的顶点坐标是． (1)画出关于轴对称后的，并写出坐标． (2)x轴上有一动点P，点与点到P的距离之和的最小值为________； (3)求的面积． 【答案】(1)画图见解析， (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了图形的轴对称变换、利用轴对称求最短路径以及图形面积的计算，通过对称点的性质找到对应点坐标，利用两点间距离公式和割补法求解相应问题是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数的性质来确定各顶点坐标并画图； （2）利用轴对称的性质，找到点A关于x轴的对称点，则的最小值为的长度，通过两点间距离公式计算； （3）使用割补法求的面积． 【规范解答】（1）解： 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数， ， , 在坐标系中描点，然后顺次连接这三个点，得到， 点的坐标为； （2） 作点关于轴的对称点，则的坐标为，连接，当动点P为与轴的交点时， 的值最小，， 故答案为：； （3）以，构造矩形（长为5，宽为4），然后减去三个直角三角形的面积。 矩形面积，三个直角三角形面积分别为：，，， 则． 【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查了点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．根据点坐标与轴对称变换规律可得，，则可得的值，代入计算即可得． 【规范解答】解：∵平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 考点20：坐标与图形变化—轴对称 【典例精讲】（24-25八年级下·河北石家庄·阶段练习）已知三角形三个顶点的坐标分别为． (1)在平面直角坐标系中画出这个三角形； (2)作出这个三角形关于轴的对称图形，并写出顶点坐标； (3)的面积是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查的是网格作图——轴对称变换及三角形的面积．熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）在坐标系中找出，再顺次连接即可； （2）作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可； （3）利用长方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． 【规范解答】（1）解：首尾顺次连接O、A、B； （2）解：作出点A、B关于x轴的对称点，首尾顺次连接O、； （3）解：． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的，并写出点，，的坐标； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析，，， (2)为等腰直角三角形，理由见解析． 【思路引导】本题考查作图轴对称变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握轴对称的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）结合勾股定理和勾股定理的逆定理可得结论． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，，，； （2）解：为等腰直角三角形， 理由：由勾股定理得，，，， ，， ， 为等腰直角三角形． 考点21：坐标系中的动点问题（不含函数) 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，且a和b满足． (1)请直接写出B点坐标：B______； (2)请在x轴上找点C，使得，求出点C的坐标； (3)点，，连接，交于点M，在线段上存在点P，使，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系与几何综合；能熟练利用割补法求三角形的面积，同时能根据点的位置不同进行分类讨论是解题的关键． （1）由非负数的和为零得，，即可求解； （2）过作轴交于，过作轴交于，由割补法得 ；设，①当时，过作轴，过作轴交于，交的延长线于，由割补法得，即可求解；②当时，由割补法得，即可求解；③当时，由割补法得，即可求解； （3）过作轴，过作轴交于，过作轴交于，由割补法得，求出，即可求解． 【规范解答】（1）解： ， ，， 解得：，， ； 故答案为：； （2）解：过作轴交于，过作轴交于， ； 设， ①当时， 如图，过作轴，过作轴交于，交的延长线于， ， ， ， ， 解得：， ； ②当时， 如图，过作轴，过作轴交于，交的延长线于， ， ， ， ， 解得：（不符合题意）， 故此种情况不存在； ③当时，过作轴，过作轴交于，交的延长线于， ， ， ， ， 解得：； ； 综上所述：的坐标为或； （3）解：过作轴，过作轴交于，过作轴交于， ， ， 解得：， ， ， ， ， 解得：， ． 【变式训练】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内． (1) ________， ________，点B的坐标为________． (2)若点D、E分别为、的中点，连接、、，请求出三角形的面积： (3)点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动（即：沿着长方形移动一周）．在移动过程中，是否存在点P使，若存在，请直接写出符合条件点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4；6； (2)9 (3)点P的坐标为或或或 【思路引导】本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离，非负性的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）根据非负数的性质可以求得、的值，根据长方形的性质，可以求得点的坐标； （2）利用割补法求出三角形面积即可； （3）分四种情况讨论：当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，当点P在上时，分别求出结果即可． 【规范解答】（1）解：∵a、b满足，， ∴ ∴，， 解得：，， ∴， ∴，， 由长方形的性质可得， ∴点B的坐标是． （2）解：由（1）可知，，， ∴，， ∵点D、E分别为、的中点， ∴，， ； （3）解：当点P在上时，根据题意可知：， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当点P在上时，根据题意可知：， 解得：， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当点P在上时，根据题意得：， 解得：， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当点P在上时，根据题意得：， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为或或或． 1．（2022·浙江衢州·中考真题）在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，判断已知点的横坐标和纵坐标的坐标符号情况即可． 【规范解答】的横坐标，纵坐标 可知在第三象限 故选：C． 2．（2023·江苏·中考真题）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点关于y轴的对称点的坐标是，即点P的坐标为关于y轴对称的点的坐标． 【规范解答】点 关于y轴的对称点的坐标是， 故选C． 【考点剖析】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 3．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出在第三象限，与，，，…符合同一规律，探究出，，，...的规律即可． 【规范解答】解：由图得，，… 点C的位置每4个一循环， ， ∴在第三象限，与，，，… 符合规律， ∴坐标为． 故选：A． 【考点剖析】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键． 4．（2023·广西防城港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是 （1）将向上平移4个单位长度得到，请画出； （2）请画出与关于轴对称的； （3）请写出的坐标． 【答案】（1）如图所示：，即为所求；见解析；（2）如图所示：，即为所求；见解析；（3）． 【思路引导】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用所画图象得出对应点坐标. 【规范解答】（1）如图所示：，即为所求； （2）如图所示：，即为所求； （3）． 【考点剖析】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键. 5．（2024·安徽·中考真题）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方 向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示． (1)填写下列各点的坐标：A1( ， )、A3( ， )、A12( ， )； (2)写出点A4n的坐标(n是正整数)； (3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向． 【答案】⑴A1(0,1) A3(1,0) A12(6,0) ⑵An(2n,0) ⑶从下向上 【思路引导】（1）在平面直角坐标系中可以直接找出答案； （2）根据求出的各点坐标，得出规律； （3）点A100中的n正好是4的倍数，根据第二问的答案可以分别得出点A100和A101的坐标，所以可以得到蚂蚁从点A100到A101的移动方向． 【规范解答】解：（1）A1（0，1），A3（1，0），A12（6，0）； （2）当n=1时，A4（2，0）， 当n=2时，A8（4，0）， 当n=3时，A12（6，0）， 所以A4n（2n，0）； （3）点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100（50，0），A101的（50，1），所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上． 【考点剖析】本题主要考查的是在平面直角坐标系中确定点的坐标和点的坐标的规律性．运用由特殊到一般的数学思想方法得到一般规律是解决问题的关键． 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限的点的坐标的符号特点，根据第四象限的点的横坐标大于0，纵坐标小于0，即可得出正确选项． 【规范解答】解：点位于第四象限， 故选：D． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知点到两坐标轴的距离相等，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．或3 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握点到轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到轴的距离是它的横坐标的绝对值．根据点到两坐标轴的距离相等列出关于的方程，解方程求出即可． 【规范解答】解：点到两坐标轴的距离相等， ， 或， 解得：或3， 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点，在轴上存在一点，使的面积为6，则点的坐标为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，熟练掌握坐标与图形性质是解题的关键． 设点，根据题意可得，再由的面积为6，可得，即可求解． 【规范解答】解：设点， ∵， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得：或4， ∴点C的坐标为或 故答案为：或 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，且满足关系式，． (1)______，______，______； (2)四边形的面积为______； (3)是否存在点，使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2，3，4 (2)9 (3)存在．点的坐标为或． 【思路引导】本题考查了非负数的性质，平面直角坐标系中两点间的距离公式，图形面积的计算，本题的关键是求出点的坐标以及根据点的坐标求解直角坐标系中的图形面积． （1）根据非负数的性质，可求解a与b的值，再由这一条件可求解c的值； （2）根据直角梯形的面积公式代入边长求解即可； （3）先表示出的面积，再由面积关系列式可求解m的值，即可得点的坐标． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2，3，4； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， 故答案为：9； （3）解：存在， ∵，， ∴以为底，点P的横坐标的绝对值为， ∴， ∵的面积为四边形面积的2倍， ∴， 即，解得， 当时，， 当时，， 综上，点的坐标为或． 5．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，已知的顶点都在图中方格的格点上． (1)画出关于轴对称的，并直接写出、、三点的坐标． (2)在轴上找一点使得最小，画出点所在的位置（保留作图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析 【思路引导】本题考查了画轴对称图形、两点之间线段最短、轴对称的性质，熟练掌握轴对称图形的画法和轴对称的性质是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点、、，再顺次连接即可得，然后据此写出、、三点的坐标即可得； （2）先作点关于轴的对称点，再连接，交轴于点，由此即可得． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． 则． （2）解：如图，点即为所求． ． 培优拔高 6．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，将一个直角三角板按如图方式放在平面直角坐标系中，直角顶点落在处，顶点落在处．顶点落在第一象限，则顶点到轴的距离为(   ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，过点作轴于，由“”可证，可得，，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点作轴于， 点 ，点 ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，即顶点到轴的距离为． 故选：B． 7．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，下列说法中正确的是（   ） A．点与点关于轴对称 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于轴对称 D．点与点关于轴对称 【答案】C 【思路引导】本题考查了确定点的坐标及两点关于坐标轴对称，掌握两点关于坐标轴对称是关键． 根据各个点的坐标及两点关于坐标轴对称的点的特征即可完成． 【规范解答】解：A，点与点关于轴对称，故说法错误； B，点与点不关于轴对称，故说法错误； C，点与点关于轴对称，故说法正确； D，点与点不关于轴对称，故说法错误； 故选：C． 8．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如果，，点在轴上且三角形的面积是，点坐标是 ；若点在轴上，且为直角三角形，点坐标是 【答案】 或 或 【思路引导】对于求点坐标，根据三角形面积公式，以为底，到轴距离为高计算；求点坐标，分和两种直角情况，利用直角三角形性质或勾股定理求解．本题主要考查了坐标与图形性质以及直角三角形的性质，熟练掌握三角形面积公式和直角三角形的判定方法是解题的关键． 【规范解答】解： 设， ， ， 点到轴距离为， ， ， ， 或， 或， 或； 设， 情况一：， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ， 或（舍去）， ； 情况二：， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ； 情况三：， 根据勾股定理，，即， 解得， 此时点与点重合，无法构成三角形，故舍去， 故答案为：或；或． 9．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点、、的坐标，并总结关于轴对称的两个点的坐标之间有何关系； (3)点是轴上一个动点，请在图中画出点，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)，，；关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数 (3)见解析 【思路引导】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质画图即可． （2）由图可得点、、的坐标，进而总结出对应的关系即可． （3）连接交轴于点，则点即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由图可得，，，． 关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数． （3）解：如图，点P即为所求． ∵点C与点关于x轴对称， ∴ ∴ 根据两点之间，线段最短，所以此时最小． 10．（22-23八年级上·福建厦门·期末）平面直角坐标系中，点在y轴正半轴，点在x轴正半轴，以线段为边在第一象限内作等边，点C关于y轴的对称点为点D，连接,，且交y轴于点E． (1)补全图形，并填空； ①若点，则点D的坐标是______； ②若，则______． (2)若，求证：垂直平分； (3)若时，探究，，的数量关系，并证明． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)，见解析 【思路引导】本题是几何变换的综合题，考查等边三角形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，截长补短法的应用是． （1）①由关于y轴对称的点的特点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求解； ②求出，再由轴，求出，即可求； （2）延长交于点G，由题意求出，再求出，，则有，由是等边三角形，可得G是的中点，则可证明垂直平分； （3）先证，可得，然后作，证可得，最后证即可解答． 【规范解答】（1）①如图1： ∵点关于y轴的对称点为点D， ∴， 故答案为：； ②由对称性可知，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 故答案为： （2）如图2，延长交于点G， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴G是的中点， ∴垂直平分； （3），证明如下： 如图：作，连接， ∵C、D两点关于y轴的对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵, ∴, ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$