专题3.3 轴对称与坐标变化（知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题3.3 轴对称与坐标变化 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：平面直角坐标系中点和图形的平移 1 知识点梳理02：轴对称定理 2 知识点梳理03：平面直角坐标系中对称点坐标 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：坐标系中的对称 2 考点2：坐标与图形变化—轴对称 6 考点3：坐标系中的动点问题（不含函数） 10 中考真题 实战演练 14 难度分层 拔尖冲刺 16 基础夯实 16 培优拔高 23 知识点梳理01：平面直角坐标系中点和图形的平移 （1）点在平面直角坐标系中的平移 在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右或向左平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)或(x-a,y);将点(x,y)向上或向下平移b单位长度,可以得到对应点((x,y+b)或((x,y-b). 特别说明： (1)、在坐标系内,左右平移的点的坐标规律:右加左减； (2）、在坐标系内,上下平移的点的坐标规律:上加下减； (3)、在坐标系内,平移点的坐标规律:沿x轴方向平移纵坐标不变,沿y轴方向平移横坐标不变。 （2）图形在平面直角坐标系中的平移 在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a, 相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度:如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度。 特别说明： 平移是图形的整体位置的移动,图形上各点都发生相同性质的变化,因此图形的平 移问题可以转化为点的平移问题来解决； 平移只改变图形的位置,图形的大小和形状不发生变化。 知识点梳理02：轴对称定理 定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形。(全等形不一定关于某条直线对称) 定理2:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 定理3:两个图形关于某条直线对称,如果对称轴和某两条对称线段的延长线相交,那么交点在对称轴上。 定理3的逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。 知识点梳理03：平面直角坐标系中对称点坐标 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b); P(a，b)关于一三象限角平分线对称的点的坐标为 (b,a); P(a，b)关于一三象限角平分线对称的点的坐标为 (-b,-a)． 考点1：坐标系中的对称 【典例精讲】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了坐标系中对称的点的坐标变化规律，理解横纵坐标的变化规律是解题关键．根据关于y轴对称点的坐标特征：横坐标取相反数，纵坐标不变即可求解。 【规范解答】解：关于轴的对称点的坐标为：， 故选：B． 【变式训练1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的； (3)把先向右平移个单位，再向下平移个单位得到，写出点的坐标． 【答案】(1)图形见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查平面直角坐标系，图形平移的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系中图形平移的性质，进行解答，即可． （1）根据，的坐标，，确定平面直角坐标系的原点，即可． （2）由（1）平面直角坐标系可得点的坐标，根据点关于对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数，得到点，，的坐标，依次连接，即可； （3）根据平移的规律，左减右加，上加下减，即可． 【规范解答】（1）解：平面直角坐标系如图所示． （2）解：∵点，， ∴关于轴对称的的坐标，，，，依次连接， ∴即为所求． （3）解：∵，，， ∴先向右平移个单位，再向下平移个单位得到， ∴， ∴． 【变式训练2】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，坐标与图形，过作轴于，过作交于，交轴于，先由翻折得到是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可求出点C坐标． 【规范解答】解：如图，过作轴于，过作交于，交轴于， ∴， ∴，， ∵点A坐标为， ∴，， ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴点C坐标为， 故选：A． 【变式训练3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，关于轴对称的图形是．若内任意一点的坐标是，则点在中的对应点的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解题关键是掌握坐标与图形变化——轴对称． 根据关于轴对称的两点的坐标规律求解． 【规范解答】解：∵关于轴对称的图形是，内任意一点的坐标是， ∴点在中的对应点的坐标是， 故答案为：． 考点2：坐标与图形变化—轴对称 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 【思路引导】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，写出直角坐标系中点的坐标，作轴对称图形，解题关键是掌握正确画出图形． （1）作出，使和关于轴对称； （2）根据在坐标系中的位置，写出点的坐标． 【规范解答】（1）解：如图所示． （2）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 【变式训练1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为． (1)作出关于y轴对称的，并写出两点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析， (2) 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：． 【变式训练2】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)写出点，，的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)，， (3) 【思路引导】本题考查作图—轴对称变化，点的坐标，解题的关键是掌握对称的性质． （1）根据关于轴对称点的坐标标出对应点，再连接即可； （2）根据（1）写出各点的坐标即可； （3）利用割补法求面积即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：点，，的坐标分别为，，． （3）解：． 【变式训练3】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】以为边向左侧作等边三角形，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短可得当轴时，的值最小，即此时的值最小，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：如图，以为边向左侧作等边三角形，连接， ∴，． ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． ∴当轴时，最短，即此时最小． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即在运动过程中，的最小值为3． 故选B． 【考点剖析】本题考查等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 考点3：坐标系中的动点问题（不含函数） 【典例精讲】（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图， 在平面直角坐标系中， 点 点P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿路径循环运动，则第2025 秒时点 P的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形，数形结合是正确解答此题的关键．根据点的坐标得到，，则四边形的周长为，再求出点P运动2025秒所走的路程为4050个单位长度，,则点P相当于运动了253圈后又运动2个单位长度，据此可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴四边形的周长为， ∵点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环运动， ∴点P运动2025秒所走的路程为个单位长度，， ∴点P相当于运动253圈后又运动2个单位长度， 即第2025秒点所在的位置是， 故选：A． 【变式训练1】（23-24八年级上·西藏拉萨·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【思路引导】本题考查的知识点是关于轴对称的点的特征，解题关键是熟练掌握关于轴对称的点的特征． 由“关于轴对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标与该点纵坐标互为相反数”即可得解． 【规范解答】解：关于轴对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标与该点纵坐标互为相反数， 若点与点关于轴对称，则，． 故选：． 【变式训练2】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点，点是从点出发，沿以2个单位长度/秒的速度向终点运动的一个动点，运动时间为（秒）． (1)当点运动时，用含的式子表示线段的长，并写出的取值范围； (2)点，连接，在（1）条件下是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；为或时 【思路引导】本题考查了坐标与图形性质，数形结合，是解题的关键． （1）分当点在线段上时和当点在线段上时两种情况讨论，即可得到结论； （2）当点在线段上时，当点在线段上时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】（1）解：∵，轴，轴 ∴，， ∴，， 当点P在线段上时， ，， ； 当点在线段上时， 点走过的路程． （2）解：存在两个符合条件的t值， 当点在线段上时， ， ， 解得：； 当点在线段上时， ， ， 解得：， 综上所述：当为或时． 【变式训练3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即：沿着长方形移动一周）．    (1)写出点B的坐标（ ）． (2)当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标． (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】(1) (2)，图见解析 (3)7.5秒 【思路引导】本题考查平面直角坐标系中动点问题，解题的关键是熟练掌握点到坐标轴距离及分类讨论． （1）根据图形及坐标的定义直接求解即可得到答案； （2）根据时间得到路程即可得到点的坐标； （3）根据距离列式求解即可得到答案； 【规范解答】（1）解：∵四边形是长方形，A点的坐标为，C点的坐标为， ∴， ∴； （2）解：根据题意，P的运动速度为每秒2个单位长度， 当点P移动了4秒时，则其运动了8个长度单位，此时，点P位于上；    ∴， ∴点P的坐标是； （3）解：根据题意，点P到x轴距离为5个单位长度时，有两种情况： P在上时，P运动了个长度单位，此时P运动了秒； P在上时，P运动了个长度单位，此时P运动了秒． 1．（2022·辽宁沈阳·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据“关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可解答． 【规范解答】解：点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（-2，3）． 故选B． 【考点剖析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，对称点的坐标规律：①关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查关于y轴对称的点的坐标．掌握关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题关键．根据关于y轴对称的点的坐标特点即可得出答案． 【规范解答】解：∵图形的对称轴是轴， ∴在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为， 故选：C． 3．（2023·湖南湘西·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则 ． 【答案】1 【思路引导】根据题意可知点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可． 【规范解答】解：点与点关于轴对称， 点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ，， 解得， ， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查关于轴对称的两点，属于基础题，明白关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键． 4．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中A（﹣1，1）B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2021秒瓢虫在（    ）处． A．（3，1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（3，﹣2） 【答案】A 【思路引导】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出第2021秒是爬了第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案． 【规范解答】 A（﹣1，1）B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1） 四边形ABCD是矩形 瓢虫转一周，需要的时间是 秒 ， 按A→B→C→D→A顺序循环爬行，第2021秒相当于从A点出发爬了5秒，路程是：个单位，10=3+4+3，所以在D点 ． 故答案为：A 【考点剖析】本题考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2021秒瓢虫爬完了多少个整圈的矩形，不成一圈的路程在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键． 5．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）综合实践课上，小星将自己手工完成的部分地图，以贵阳市所在的点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若图中点的坐标为，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了点的坐标以及所在的象限，熟练掌握各象限内的点的坐标特点是解题关键．判断出点位于第二象限内，根据第二象限内的点的横坐标小于0、纵坐标大于0即可得． 【规范解答】解：∵以贵阳市所在的点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，图中点的坐标为， ∴由图可知，点位于第二象限内， ∴点的横坐标小于0、纵坐标大于0， 观察四个选项可知，只有是第二象限内的坐标， 故选：C． 基础夯实 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 由平面镜成像可知，与关于轴对称，根据关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案． 【规范解答】解：由平面镜成像可知，与关于轴对称，且S的坐标为， ， 故选D． 2．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，根据关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数可以直接得到答案． 【规范解答】解：点关于y轴的对称点的坐标是：， 故选：C． 3．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下面是一个轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为，其关于y轴对称的点B的坐标为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．1 【答案】D 【思路引导】本题考查坐标与图形变化-对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 利用轴对称的性质，求出m，n，可得结论． 【规范解答】解：∵点A的坐标为，其关于y轴对称的点B的坐标为， ∴， ∴． 故选：D 4．（24-25八年级上·广东东莞·期末）点关于y轴对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了坐标与图形的轴对称变换，根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数作答即可． 【规范解答】解：点关于y轴对称点的坐标是， 故选：A． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．根据点坐标与轴对称变换规律可得，，求出的值，代入计算即可得． 【规范解答】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）若点与点关于y轴对称，则的值是 ． 【答案】1 【思路引导】根据两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，列式计算即可． 本题考查了点的对称，有理数的加法，根据对称点的坐标特点，规范计算即可． 【规范解答】解：∵点与关于轴对称， ∴， 解得， 故， 故答案为：1． 7．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）若点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查关于轴、轴的对称点的坐标，熟练掌握该知识点是解题的关键． 关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．进而得出答案． 【规范解答】解：点与点关于轴对称， ，， ， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，请回答下列问题： (1)写出关于轴的对称三角形的顶点坐标（点的对应点分别为点）； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，求网格三角形的面积，解题关键是掌握坐标与图形变化——轴对称． （1）根据关于轴的对称的特点求解； （2）根据所在的矩形的面积减去周围的三个三角形的面积求解． 【规范解答】（1）解：∵的三个顶点坐标分别为，关于轴的对称三角形， ∴； （2）解：的面积为． 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知在中，，在如图的平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，与轴平行． (1)求点的坐标； (2)在如图的平面直角坐标系中作出关于轴对称的，并在图中标出，两点的坐标； (3)若与关于轴对称，求各顶点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，作轴对称图形，解题关键是正确作出图形． （1）先根据点的坐标及与轴平行，求出点的横坐标，再根据，，，求出点的纵坐标即可； （2）作出关于轴对称的，根据轴对称的性质求出，两点的坐标； （3）作出与关于轴对称，再求出各顶点的坐标． 【规范解答】（1）解：∵点的坐标为，与轴平行， ∴点的横坐标为， ∵，，， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为； （2）如图所示，即为所求． ∵点的坐标为，点的坐标为，关于轴对称的， ∴点的坐标，点的坐标； （3）如图，即为所求． ∵与轴平行，，点的坐标为， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为，与关于轴对称， ∴． 10．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点． (1)作出关于y轴对称的，其中点的坐标为 ； (2)在y轴上找一点P，使得的周长最小，则P点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析， (2)见解析； 【思路引导】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）连接交y轴于点P，连接，点P即为所求，求出直线的解析式可得点P的坐标． 【规范解答】（1）解：如图，，其中点的坐标． 故答案为：； （2）解：如图，点P即为所求． ∵，， 设直线的解析式为，则有 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 培优拔高 11．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，求出、的值，再代入计算的值． 【规范解答】解：∵点与点关于轴对称， ∴，． ∴． ∴． 故选：C． 12．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题重点考查翻折变换的性质、坐标与图形变化-对称、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作轴于点F，作交FA的延长线于点E，由，得，由翻折得，则可证明，得，则，求得，即可解答． 【规范解答】解：作轴于点F，作交FA的延长线于点E，如图 ， ∵， ∴． ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵点C的横坐标为7，纵坐标为， ∴． 故选C． 13．（2025·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了坐标的规律探索，关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据题意发现一般规律是解题关键． 结合关于坐标轴对称的点的坐标特征，得出一般规律：点A的坐标每四次循环一次，依次为、、、，据此即可得出答案． 【规范解答】解：由题意可知， 第一次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第二次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第三次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第四次轴对称变换后，点A的坐标是；， ……， 观察可知，点A的坐标每四次循环一次， 依次为、、、， ∵， ∴经过2025次变换后所得的点A的坐标是， 故选：A． 14．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，将放置在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系中等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造直角三角形，利用“一线三垂直”模型证明三角形全等，进而根据对应边相等求点的坐标． 过点分别作x轴的垂线，垂足为 构造和；利用推导出结合证明根据全等三角形对应边相等，得到结合点的坐标计算点B的坐标（分两种情况）． 【规范解答】解：过点A作轴于过点B作轴于E， 则 ∵， ∴． 又∵， ∴（同角的余角相等）． 在和中， ∴． ∴（全等三角形对应边相等） 已知点点 则． ∴． 分两种情况： ①当点E在点C右侧时， 点E的横坐标为，点B的纵坐标为，即 ②当点E在点C左侧时， 点E的横坐标为，点B的纵坐标为，即． 故答案为：或． 15．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，连接，则取最小值时点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】如图，过作轴于，证明，可得，在直线上运动，作关于直线的对称点，连接，可得当三点共线时，取最小值，如图，过作轴于，再进一步求解即可． 【规范解答】解：如图，过作轴于， ∵， ∴， ∵等腰直角， ∴，， ∴，， ∴，而， ∴， ∴， ∴在直线上运动， 作关于直线的对称点，连接， ∴，， ∴当三点共线时，取最小值， 如图，过作轴于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【考点剖析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，中点坐标公式，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 16．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标特点．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同即可求得，的值，代入式子即可解答． 【规范解答】解：∵点与点关于轴对称， ∴ ∴， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）已知，在如图所示的网格中建立平面直角坐标系后，三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于轴的对称图形；若点是线段上的一点，则点在线段上的对应点的坐标为______； (2)借助图中网格，请只用直尺（不含刻度）在轴上找一点，使得的周长最短． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析 【思路引导】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用轴对称求线段的最值，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）先根据轴对称的性质找到对应点位置，再顺次连接，根据关于轴对称的点的坐标特点可得其对称点的坐标； （2）根据轴对称找最短路径，在网格中找到A点关于y轴的对称点，再连接，与y轴交于P，此时最小，则最小，即的周长最小． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求作的三角形； ∵点是线段上的一点， ∴点在线段上的对应点的坐标为． （2）解：如图，点即为所求； 18．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在平面直角坐标系中，． (1)线段 ， ； (2)若点P从点B出发沿着y轴运动（点P不与点O、B点重合） 速度为每秒2个单位长度，连接，当运动的时间t为几秒时，? 并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)2，6 (2)t为1秒或3秒；点P的坐标为或 【思路引导】本题主要考查了平面直角坐标系，两点之间的距离，根据三角形的面积求点的坐标等知识点，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）利用数轴上两点之间的距离公式进行求解即可； （2）根据面积比确定底边的比，得出，分情况进行讨论即可求出答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴, 故答案为：2，6； （2）解：根据得，两个三角形同高，面积比等于底边的比， ∴, ∵， ∴当点位于轴正半轴时，或， 此时，或， ∴或； 当点位于轴负半轴时，不符合题意； ∴的值为1或3，点坐标为或． 19．（24-25八年级上·天津·期末）如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个． (1)画出关于y轴对称的； (2)直接写出顶点的坐标（直接写答案）； (3)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)、、． (3) 【思路引导】本题主要考查轴对称作图、坐标与图形、求三角形的面积等知识点，正确作出图形是解题的关键． （1）先根据轴对称的性质确定中三个顶点关于y轴的对称点，再依次连接即可完成作图； （2）根据（1）的作图中点在直角坐标系中的位置，直接写出点的坐标即可； （2）利用矩形的面积减去三个增添的三角形面积即可解答． 【规范解答】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：、、． （3）解：如图：的面积． 20．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的图形，点A，B，C的对应点分别是点，，； (2)点的坐标为_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图可得答案． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）由图可得，点的坐标为． 故答案为：． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 轴对称与坐标变化 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：平面直角坐标系中点和图形的平移 1 知识点梳理02：轴对称定理 2 知识点梳理03：平面直角坐标系中对称点坐标 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：坐标系中的对称 2 考点2：坐标与图形变化—轴对称 4 考点3：坐标系中的动点问题（不含函数） 6 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 12 知识点梳理01：平面直角坐标系中点和图形的平移 （1）点在平面直角坐标系中的平移 在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右或向左平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)或(x-a,y);将点(x,y)向上或向下平移b单位长度,可以得到对应点((x,y+b)或((x,y-b). 特别说明： (1)、在坐标系内,左右平移的点的坐标规律:右加左减； (2）、在坐标系内,上下平移的点的坐标规律:上加下减； (3)、在坐标系内,平移点的坐标规律:沿x轴方向平移纵坐标不变,沿y轴方向平移横坐标不变。 （2）图形在平面直角坐标系中的平移 在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a, 相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度:如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度。 特别说明： 平移是图形的整体位置的移动,图形上各点都发生相同性质的变化,因此图形的平 移问题可以转化为点的平移问题来解决； 平移只改变图形的位置,图形的大小和形状不发生变化。 知识点梳理02：轴对称定理 定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形。(全等形不一定关于某条直线对称) 定理2:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 定理3:两个图形关于某条直线对称,如果对称轴和某两条对称线段的延长线相交,那么交点在对称轴上。 定理3的逆定理:如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。 知识点梳理03：平面直角坐标系中对称点坐标 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b); P(a，b)关于一三象限角平分线对称的点的坐标为 (b,a); P(a，b)关于一三象限角平分线对称的点的坐标为 (-b,-a)． 考点1：坐标系中的对称 【典例精讲】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的； (3)把先向右平移个单位，再向下平移个单位得到，写出点的坐标． 【变式训练2】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，关于轴对称的图形是．若内任意一点的坐标是，则点在中的对应点的坐标是 ． 考点2：坐标与图形变化—轴对称 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点的坐标． 【变式训练1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为． (1)作出关于y轴对称的，并写出两点的坐标； (2)求的面积． 【变式训练2】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)写出点，，的坐标； (3)求的面积． 【变式训练3】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，点B是x轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点3：坐标系中的动点问题（不含函数） 【典例精讲】（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图， 在平面直角坐标系中， 点 点P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿路径循环运动，则第2025 秒时点 P的坐标是（       ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24八年级上·西藏拉萨·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点，点是从点出发，沿以2个单位长度/秒的速度向终点运动的一个动点，运动时间为（秒）． (1)当点运动时，用含的式子表示线段的长，并写出的取值范围； (2)点，连接，在（1）条件下是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 【变式训练3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即：沿着长方形移动一周）．    (1)写出点B的坐标（ ）． (2)当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标． (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 1．（2022·辽宁沈阳·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖南湘西·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则 ． 4．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中A（﹣1，1）B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2021秒瓢虫在（    ）处． A．（3，1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（3，﹣2） 5．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）综合实践课上，小星将自己手工完成的部分地图，以贵阳市所在的点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若图中点的坐标为，则点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下面是一个轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，如果图中点A的坐标为，其关于y轴对称的点B的坐标为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．1 4．（24-25八年级上·广东东莞·期末）点关于y轴对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知点与点关于轴对称，则 ． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）若点与点关于y轴对称，则的值是 ． 7．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）若点与点关于轴对称，则 ． 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，请回答下列问题： (1)写出关于轴的对称三角形的顶点坐标（点的对应点分别为点）； (2)求的面积． 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知在中，，在如图的平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，与轴平行． (1)求点的坐标； (2)在如图的平面直角坐标系中作出关于轴对称的，并在图中标出，两点的坐标； (3)若与关于轴对称，求各顶点的坐标． 10．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点． (1)作出关于y轴对称的，其中点的坐标为 ； (2)在y轴上找一点P，使得的周长最小，则P点的坐标为 ． 培优拔高 11．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2024 12．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（  ） A． B． C． D． 13．（2025·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，将放置在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 15．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，，以为直角边，为直角顶点作等腰直角，连接，则取最小值时点的坐标为 ． 16．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为 ． 17．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）已知，在如图所示的网格中建立平面直角坐标系后，三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于轴的对称图形；若点是线段上的一点，则点在线段上的对应点的坐标为______； (2)借助图中网格，请只用直尺（不含刻度）在轴上找一点，使得的周长最短． 18．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在平面直角坐标系中，． (1)线段 ， ； (2)若点P从点B出发沿着y轴运动（点P不与点O、B点重合） 速度为每秒2个单位长度，连接，当运动的时间t为几秒时，? 并求出此时点P的坐标． 19．（24-25八年级上·天津·期末）如图，在单位长度为1的方格纸中画有一个． (1)画出关于y轴对称的； (2)直接写出顶点的坐标（直接写答案）； (3)求出的面积． 20．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的图形，点A，B，C的对应点分别是点，，； (2)点的坐标为_________． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$