专题3.2 平面直角坐标系（知识梳理+15个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题3.2 平面直角坐标系 （知识梳理+15个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：平面直角坐标系及相关概念 2 知识点梳理02：点的坐标表示 2 知识点梳理03：点的坐标特征 3 知识点梳理04：建立平面直角坐标系 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：写出直角坐标系中点的坐标 4 考点2：求点到坐标轴的距离 5 考点3：判断点所在的象限 6 考点4：已知点所在的象限求参数 7 考点5：坐标系中描点 7 考点6：已知两点坐标求两点距离 8 考点7：实际问题中用坐标表示位置 9 考点8：坐标系中的平移 10 考点9：点坐标规律探索 11 考点10：中点坐标 12 考点11：求点沿x轴、y轴平移后的坐标 12 考点12：由平移方式确定点的坐标 13 考点13：已知点平移前后的坐标，判断平移方式 14 考点14：已知图形的平移，求点的坐标 15 考点15：已知平移后的坐标求原坐标 16 中考真题 实战演练 16 难度分层 拔尖冲刺 18 基础夯实 18 培优拔高 20 知识点梳理01：平面直角坐标系及相关概念 1.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系(简称直角坐标系)。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。 2. 相关概念 (1) 坐标轴：水平的数轴称为x 轴或横轴，铅直的数轴称为y 轴或纵轴，x 轴和y 轴统称坐标轴； (2) 原点：两坐标轴的公共原点O称为平面直角坐标系的原点。 3. 象限：如图3-2-1，在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分，右上方的部分称为第一象限，其他三部分按逆时针方向依次称为第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内 知识点梳理02：点的坐标表示 内容 图示 点的坐标 对于平面内任意一点 ，过点 分别向 轴、 轴作垂线，垂足在 轴、 轴上对应的数 ， 分别叫做点 的横坐标、纵坐标，有序数对( ， )叫做点 的坐标 . 平面上的点与有序实数对的关系 在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。因此，平面上的点与有序实数对一一对应 知识点梳理03：点的坐标特征 平面直角坐标系中各区域的点的坐标的特征 点M(x，y)所处的位置 坐标特征 象限内的点 点M在第一象限 M(+，-)即x>0，y>0 点M在第二象限 M(-，+)即x<0，y>0 点M在第三象限 M(-，-) 即x<0，y<0 点M在第四象限 M(+，-)即x>0，y<0 坐标轴上的点 点M在x轴上 (原点除外) 在x轴正半轴上 M(+，0)即x>0，y=0 在x轴负半轴上 M(-，0)即x<0，y=0 点M在y轴上 (原点除外) 在y轴正半轴上 M(0，+) 即x=0，y>0 在y轴负半轴上 M(0，-)即x=0，y<0 点M 在原点处 M(0，0) 两点连线与坐标轴平行 MN//x 轴(MN ⊥ y 轴) M()，N( ) 两点纵坐标相等，即 MN//y 轴(MN ⊥ x 轴) M()，N( ) 两点横坐标相等，即 象限角平分线上的点 (拓展) 点M 在第一、三象限角平分线上 M(x，y)且x=y，即横坐标与纵坐标相等 点M 在第二、四象限角平分线上 M(x，y)且x= -y，即横坐标与纵坐标互为相反数 图示 知识点梳理04：建立平面直角坐标系 1. 建立平面直角坐标系的基本思路 2. 建立平面直角坐标系的基本方法： 内容 图示 (1) 使图形中尽量多的点在坐标轴上 (2) 以某些特殊线段所在的直线为 x 轴或 y 轴，如三角形的高、中线等 目的：使运算简单，所求的点的坐标易表示 (3) 以对称图形的对称轴为 x 轴或 y 轴 (4) 以某已知点为原点，使它的坐标为(0, 0) 考点1：写出直角坐标系中点的坐标 【典例精讲】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上时， ①求点的坐标； ②点到轴的距离为______； (3)已知点的横坐标比纵坐标大4，请通过计算判断点所在的象限． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·随堂练习）的边在正方形网格中的位置如图所示．已知每个小正方形的边长均为，顶点的坐标为． (1)请在网格图中建立平面直角坐标系； (2)直接写出点的坐标：______； (3)若点的坐标为，请在图中描出点，连接，并求出的面积； (4)已知点在轴上，当的面积为时，请求出点的坐标． 考点2：求点到坐标轴的距离 【典例精讲】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离较大值称为点P的“长距”；点Q到x轴，y轴距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点的“长距”为_______． (2)若点是“角平分线点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为；请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)判断的形状，并说明理由； (3)已知点P为x轴上一点，若时，求点P的坐标． 考点3：判断点所在的象限 【典例精讲】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式训练】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点的横坐标比纵坐标大2，则点在第几象限？ (3)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标． 考点4：已知点所在的象限求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在第四象限，则的取值范围是________； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求的值． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点，解答下列各题． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的立方根． 考点5：坐标系中描点 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场，图书馆的坐标分别为，，请在图中标出的位置． 【变式训练】（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点． (1)在平面直角坐标系中描出点； (2)填空：__________，__________； (3)判断的形状，并说明理由． 考点6：已知两点坐标求两点距离 【典例精讲】（24-25八年级下·江西宜春·期末）在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，为的中点，是轴正半轴上一个动点，若为等腰三角形，则点的坐标为 ． 【变式训练】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为______； (2)根据（1）中的条件填空： ①的半径为______；（结果保留根号） ②点在______；（填“上”、“内”或“外”） ③连接，则的度数为______. 考点7：实际问题中用坐标表示位置 【典例精讲】（24-25八年级下·河北承德·期末）法定节日的确定为大家带来了很多便利．我们用坐标来表示这些节日：元旦用表示（即1月1日），清明节用表示（即4月5日），端午节用表示（即5月5日）． (1)用坐标表示出：中秋节D（________），国庆节E（________）； (2)依次连接，在给出的坐标系中画出形成的图形（网格的单位为1）； (3)求所画图形的面积． 【变式训练】．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，已知在灯塔O的正西方向有一小岛A，正北方向有一海上景点B，已知两地相距两地相距4km，如图构建平面直角坐标系． (1)点A的坐标为____________，点B的坐标为____________； (2)现在恰好有一艘小船C位于航线OA上，且到两地的距离相等； ①求出小船C的坐标； ②此时小船C到航线AB的距离是多少？ 考点8：坐标系中的平移 【典例精讲】（（2025·江西萍乡·二模）七巧板是中国一种古老的传统智力游戏，它是由七块板组成的，以各种不同的拼凑法拼成人物、动物、建筑、字母等各式各样的图形．如图，将由七巧板拼成的“小船”放置在网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 【变式训练】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点A在y轴上，则点A的坐标为 ． (2)若点，且轴，则点A的坐标为 ． (3)若点A到x轴的距离为2，求a的值； 考点9：点坐标规律探索 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，速度为每秒1个单位长度，且点P只能向上或向右运动，请回答下列问题： (1)将表格填写完整： 点P出发时间 可得到整数点的坐标 可得到整数点的个数 1秒 ， 2 2秒 ，， 3 3秒 4 (2)当点P从点O出发11秒时，可得到的整数点的个数是 ． (3)当点P从点O出发 秒时，可得到整数点． 【变式训练】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为 ． 考点10：中点坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·江西抚州·期中）公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为 ． 【变式训练】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，正方形的边长为，轴，． (1)写出，，三个顶点的坐标； (2)写出中点的坐标． 考点11：求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【典例精讲】（24-25八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若直线平行于轴，求的值． (2)将点向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，当点正好在轴上时，求点的坐标． 【变式训练】24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是 ． 考点12：由平移方式确定点的坐标 【典例精讲】（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段点与点是对应点，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴上，连接、． (1)若、、；则点的坐标是_________； (2)已知、，点在轴的正半轴上，且，求点、的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点、，请你探索是否存在以两个动点、为端点的线段平行于线段．若存在，求以点、、、为顶点的四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（24-25七年级下·广东珠海·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，． (1)点的坐标为______； (2)画出三角形； 写出三角形的面积______． (3)若点在轴上且的面积为，则点的坐标为______． 考点13：已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，如图所示． (1)分别写出点，的坐标： ， ； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内部一点，经过平移后，点在三角形中的对应点的坐标为，求和的值． 【变式训练】（24-25七年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，线段的位置如图所示，其中点M的坐标为，点N的坐标为．将线段平移得到线段，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B． (1)点M平移到点A的过程可以是：先向右平移______个单位长度，再向上平移______个单位长度；点B的坐标为______； (2)若点C的坐标为，求三角形的面积； (3)已知点D在y轴上，若三角形的面积为18，求点D的坐标． 考点14：已知图形的平移，求点的坐标 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，三角形中，任意一点经平移后对应点，将作同样的平移得到．求的坐标． 【变式训练】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足． (1)______；A点的坐标是______； (2)写出点B、C的坐标：B______，C______；（用含m的式子表示） (3)若的面积是10，求m的值； (4)若交y轴于点N，的长度为1，请直接写出m的值． 考点15：已知平移后的坐标求原坐标 【典例精讲】（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】24-25七年级下·北京怀柔·期末）若点向下平移3个单位后位于坐标原点，则点坐标为 ． 1．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；…；按此做法进行下去，则点的坐标为 ． 4．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点在直线上，点的横坐标为1，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为 ． 5．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（    ） A．14 B．11 C．10 D．9 基础夯实 1．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点，轴，轴，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）在平面直角坐标系中，点向右移动3个单位长度，再向上移动2个单位长度后的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东韶关·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）点在第一、三象限的角平分线上，则的坐标为 ． 5．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色五子先成一条直线就算胜．如图是两人玩的一盘棋，若白①的位置是，黑②位置是，现在轮到黑棋走，你认为黑棋放在 位置就可获胜． 6．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是 ． 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，三个顶点的坐标分别为，则的面积为 ． 8．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）点A，B，C，D在平面直角坐标系的位置如图所示． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)在图中描出下列各点：，，． (3)依次连接、、得到一个封闭图形，判断此图形的形状为　　　．直接写出的长为　　　． 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出图中四边形各顶点的坐标，并回答下列问题： （1）图中四边形上，哪些点在坐标轴上？它们的坐标有什么特点？ （2）线段与x轴有什么位置关系？点D和点C的坐标有什么特点？线段上其他点的坐标呢？ 10．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称，两点为同距点．如下图中的，两点即为同距点．已知点的坐标为． (1)写出图中点，，三点的坐标，并判断它们是否是点的同距点； (2)若点是点的同距点，求的值； (3)已知点，． ①若点为点的同距点，且点在第二象限，直接写出此时，之间的关系式； ②若在线段上（不含端点）存在点的同距点，求出整数的值． 培优拔高 11．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，从处弹出一个光点，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边界时反弹，反弹时反射角等于入射角（遵循光的反射原理）．当光点第2025次碰到长方形的边界时，光点的坐标为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）共享单车提供了便捷、环保的出行方式，嘉嘉同学在学校附近打开某共享单车，如图“”是嘉嘉同学的位置，“★”是检索到的共享单车停放点，为了达到距离最近的共享单车停放点，下列四个区域中，嘉嘉同学应该前往的是（    ） 1 2 3 M ★ ★ N P ★ ★ ★ A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·江西赣州·期中）已知点，，点是线段EF的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以为对称点重复前面的操作，依次得到点，，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点，其中．点在第一象限，且．若m，n满足，则的面积为 ．（用含m的式子表示） 15．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的坐标是 ． 16．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图：，若将线段平移至，则的值为 ． 17．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”． (1)点的“短距”为 ； (2)点的“短距”为3，求m的值； (3)若，两点为“等距点”，求k的值． 18．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，有一个机器人在网格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从点处出发，规定：向上或向右走均为正，向下或向左走均为负．如：从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)根据图中位置，从到应记为：（______，______），从到应记为：（______，______）； (2)若机器人从处去处的行走路线依次为，，，． ①点的坐标为（______，______）； ②求机器人按上述路线从处去处行走的路程． (3)若图中另有两个点，，且，，则从到应记为：（______，______）． 19．（24-25八年级下·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在第四象限内画正方形，为轴上的一个动点，以为一直角边在第四象限内画等腰直角，其中． (1)点的坐标为____________ (2)试判断线段、的关系，并说明理由； (3)设的中点为，直线交轴于点．问：随着点的运动，点的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点的坐标；若发生变化，请说明理由． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 平面直角坐标系 （知识梳理+15个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：平面直角坐标系及相关概念 2 知识点梳理02：点的坐标表示 2 知识点梳理03：点的坐标特征 3 知识点梳理04：建立平面直角坐标系 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：写出直角坐标系中点的坐标 4 考点2：求点到坐标轴的距离 7 考点3：判断点所在的象限 9 考点4：已知点所在的象限求参数 10 考点5：坐标系中描点 12 考点6：已知两点坐标求两点距离 14 考点7：实际问题中用坐标表示位置 17 考点8：坐标系中的平移 20 考点9：点坐标规律探索 21 考点10：中点坐标 24 考点11：求点沿x轴、y轴平移后的坐标 25 考点12：由平移方式确定点的坐标 26 考点13：已知点平移前后的坐标，判断平移方式 29 考点14：已知图形的平移，求点的坐标 32 考点15：已知平移后的坐标求原坐标 35 中考真题 实战演练 36 难度分层 拔尖冲刺 39 基础夯实 39 培优拔高 47 知识点梳理01：平面直角坐标系及相关概念 1.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系(简称直角坐标系)。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。 2. 相关概念 (1) 坐标轴：水平的数轴称为x 轴或横轴，铅直的数轴称为y 轴或纵轴，x 轴和y 轴统称坐标轴； (2) 原点：两坐标轴的公共原点O称为平面直角坐标系的原点。 3. 象限：如图3-2-1，在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分，右上方的部分称为第一象限，其他三部分按逆时针方向依次称为第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内 知识点梳理02：点的坐标表示 内容 图示 点的坐标 对于平面内任意一点 ，过点 分别向 轴、 轴作垂线，垂足在 轴、 轴上对应的数 ， 分别叫做点 的横坐标、纵坐标，有序数对( ， )叫做点 的坐标 . 平面上的点与有序实数对的关系 在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。因此，平面上的点与有序实数对一一对应 知识点梳理03：点的坐标特征 平面直角坐标系中各区域的点的坐标的特征 点M(x，y)所处的位置 坐标特征 象限内的点 点M在第一象限 M(+，-)即x>0，y>0 点M在第二象限 M(-，+)即x<0，y>0 点M在第三象限 M(-，-) 即x<0，y<0 点M在第四象限 M(+，-)即x>0，y<0 坐标轴上的点 点M在x轴上 (原点除外) 在x轴正半轴上 M(+，0)即x>0，y=0 在x轴负半轴上 M(-，0)即x<0，y=0 点M在y轴上 (原点除外) 在y轴正半轴上 M(0，+) 即x=0，y>0 在y轴负半轴上 M(0，-)即x=0，y<0 点M 在原点处 M(0，0) 两点连线与坐标轴平行 MN//x 轴(MN ⊥ y 轴) M()，N( ) 两点纵坐标相等，即 MN//y 轴(MN ⊥ x 轴) M()，N( ) 两点横坐标相等，即 象限角平分线上的点 (拓展) 点M 在第一、三象限角平分线上 M(x，y)且x=y，即横坐标与纵坐标相等 点M 在第二、四象限角平分线上 M(x，y)且x= -y，即横坐标与纵坐标互为相反数 图示 知识点梳理04：建立平面直角坐标系 1. 建立平面直角坐标系的基本思路 2. 建立平面直角坐标系的基本方法： 内容 图示 (1) 使图形中尽量多的点在坐标轴上 (2) 以某些特殊线段所在的直线为 x 轴或 y 轴，如三角形的高、中线等 目的：使运算简单，所求的点的坐标易表示 (3) 以对称图形的对称轴为 x 轴或 y 轴 (4) 以某已知点为原点，使它的坐标为(0, 0) 考点1：写出直角坐标系中点的坐标 【典例精讲】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上时， ①求点的坐标； ②点到轴的距离为______； (3)已知点的横坐标比纵坐标大4，请通过计算判断点所在的象限． 【答案】(1)点的坐标为 (2)①，② (3)点在第四象限 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握相关知识并熟练使用是解题的关键． （1）因为点在轴上，所以纵坐标为，解得值并代入横坐标的代数式中即可得到答案； （2）①因为点在过点且与轴平行的直线上，所以、两点的横坐标相同，令点横坐标为，解得的值并代入纵坐标的代数式中即可；②根据点到轴的距离为的纵坐标的绝对值可得答案； （3）根据题意列出方程，即可得到答案． 【规范解答】（1）解： 点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标为； （2）解：① 点在过点且与轴平行的直线上， 点的横坐标为， ， 解得， ， 点的坐标为； ②∵点的坐标为， ∴点到轴的距离为. （3）解：∵点的横坐标比纵坐标大4， ∴， 解得， ,， 点的坐标为， 点在第四象限． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·随堂练习）的边在正方形网格中的位置如图所示．已知每个小正方形的边长均为，顶点的坐标为． (1)请在网格图中建立平面直角坐标系； (2)直接写出点的坐标：______； (3)若点的坐标为，请在图中描出点，连接，并求出的面积； (4)已知点在轴上，当的面积为时，请求出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)作图见解析， (4)或 【思路引导】本题考查坐标与图形的性质，三角形的面积的计算， （1）根据点的坐标建立平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系得到的坐标； （3）根据题意作出图形即可；根据，，，即可得到结论； （4）设出点的坐标，根据的面积为，即可解答； 正确的作出图形是解题的关键． 【规范解答】（1）解：建立平面直角坐标系如下图所示； （2）如图，点的坐标为， 故答案为：； （3）如图所示，即为所作； ∵，，， ∴，点到的距离为， ∴， ∴的面积为； （4）设，则， ∵的面积为， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 考点2：求点到坐标轴的距离 【典例精讲】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离较大值称为点P的“长距”；点Q到x轴，y轴距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点的“长距”为_______． (2)若点是“角平分线点”，求a的值； (3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为；请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)或 (3)点是“角平分线点”． 【思路引导】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“角平分线点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出的值，然后根据“角平分线点”的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为6，到轴的距离为4， ∴点的“长距”为6． 故答案为：6； （2）解：∵点是“角平分线点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：∵点的长距为4，且点在第二象限内， ∴，解得（负值舍去）， ∴， ∴点的坐标为， ∴点到轴、轴的距离都是5， ∴点是“角平分线点”． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)判断的形状，并说明理由； (3)已知点P为x轴上一点，若时，求点P的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)直角三角形，理由见解析； (3)或． 【思路引导】本题考查了坐标与图形，勾股定理及其逆定理，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据，描点连线即可； （2）根据A、B、C三点坐标，求出、、的长，再利用勾股定理逆定理判断即可； （3）设点P的坐标为，则，根据列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：直角三角形，理由如下： ， ，，， ， 是直角三角形； （3）解：设点P的坐标为， 则， ， ， 解得：或， 点P的坐标为或． 考点3：判断点所在的象限 【典例精讲】（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【思路引导】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【规范解答】解：∵，， ∴点在第四象限， 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上时，求点的坐标； (2)若点的横坐标比纵坐标大2，则点在第几象限？ (3)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)第一象限 (3) 【思路引导】本题考查了坐标轴上点及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，点的象限判断；掌握轴上的点纵坐标为，平行与轴的直线上的点横坐标相同，象限的符号特征是解题的关键． （1）由轴上的点纵坐标为得，即可求解； （2）由已知得，求出坐标，判断象限，即可求解； （3）由平行于轴的直线上的点横坐标相同得，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得 ， 解得：， ， ； （2）解：由题意得 ， 解得：， ， ， ， 在第一象限； （3）解：由题意得 ， 解得：， ， ． 考点4：已知点所在的象限求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在第四象限，则的取值范围是________； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求的值． 【答案】(1) (2)0 【思路引导】（1）根据第四象限内，横坐标为正，纵坐标为负，建立不等式组解答即可； （2）点在第二、四象限的角平分线上，得解答即可． 本题考查了点与象限，第二、四象限的角平分线上的点的坐标互为相反数，熟练掌握性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：点在第四象限， 解得． 故答案为：． （2）解：点在第二、四象限的角平分线上， 得， 解得． 故答案为：0． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知点，解答下列各题． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的立方根． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了坐标与图形性质及立方根，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键． （1）根据在x轴上的点纵坐标为0，得到，解出的值，由此得到答案． （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到与互为相反数，故，解出的值，由此得到答案． 【规范解答】（1）解：因为点在轴上， 所以， 解得， 所以， 所以． （2）解：因为直线轴， 所以， 解得， 所以， 所以． （3）解：因为点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， 所以， 解得， 所以， 所以的立方根是． 考点5：坐标系中描点 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为的正方形，已知火车站的坐标为，文化馆的坐标为． (1)请你根据题目条件，在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)直接写出体育场，市场，超市的坐标； (3)已知游乐场，图书馆的坐标分别为，，请在图中标出的位置． 【答案】(1)见解析 (2)体育场；市场；超市 (3)见解析 【思路引导】本题考查平面直角坐标系的建立与点的坐标表示，解题的关键是根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点、坐标轴方向和单位长度． （1）根据已知点的坐标确定原点的坐标，确定出平面直角坐标系； （2）根据（1）的图形写出个点的坐标； （3）根据坐标系分别标出的位置,即可． 【规范解答】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：根据坐标系可得：体育场；市场；超市 （3）解：如图所示，点即为所求 【变式训练】（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点． (1)在平面直角坐标系中描出点； (2)填空：__________，__________； (3)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)； (3)是等腰直角三角形，详见解析 【思路引导】本题考查坐标系中描点，勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理和逆定理，是解题的关键： （1）根据点的坐标，描点即可； （2）勾股定理进行求解即可； （3）利用勾股定理和逆定理进行判断即可． 【规范解答】（1）解：由题意，描点如下： （2）解：由勾股定理，得：； 故答案为：； （3）解：∵，由（2）知：，且   ∴，， ∴是等腰直角三角形． 考点6：已知两点坐标求两点距离 【典例精讲】（24-25八年级下·江西宜春·期末）在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，为的中点，是轴正半轴上一个动点，若为等腰三角形，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【思路引导】本题考查了点的坐标，等腰三角形的定义，勾股定理等知识， 根据中点坐标公式求出点D的坐标，设，分三种情况讨论∶；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程求解即可． 【规范解答】解∶∵，，为的中点， ∴，即， ∵是轴正半轴上一个动点， ∴设， 当时， ， ∴点的坐标为； 当时， ， 解得， ∴点的坐标为； 当时， ， 解得或 ∴点的坐标为； 综上， 点的坐标为或或， 故答案为∶ 或或． 【变式训练】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） (1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为______； (2)根据（1）中的条件填空： ①的半径为______；（结果保留根号） ②点在______；（填“上”、“内”或“外”） ③连接，则的度数为______. 【答案】(1) (2)①；②外；③ 【思路引导】（1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出圆心坐标即可； （2）①利用勾股定理求出的长即可得到答案；②利用勾股定理求出点M到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系；③利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即即可得到答案． 【规范解答】（1）解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示： （2）解：①由题意得，， ∵， ∴， ∴的半径为， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴在外， 故答案为：外； ③如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， 故答案为；. 【考点剖析】本题主要考查了确定三角形外接圆圆心的位置，坐标与图形，勾股定理和勾股定理的逆定理，点和圆的位置关系，准确确定圆心是解答此题的关键． 考点7：实际问题中用坐标表示位置 【典例精讲】（24-25八年级下·河北承德·期末）法定节日的确定为大家带来了很多便利．我们用坐标来表示这些节日：元旦用表示（即1月1日），清明节用表示（即4月5日），端午节用表示（即5月5日）． (1)用坐标表示出：中秋节D（________），国庆节E（________）； (2)依次连接，在给出的坐标系中画出形成的图形（网格的单位为1）； (3)求所画图形的面积． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)51 【思路引导】（1）根据坐标的特点，写出坐标即可； （2）根据点的坐标，描点连线画图即可； （3）利用分割法求面积即可． 本题考查了坐标系中写坐标，分割法求面积，熟练掌握写坐标的基本方法，会求面积是解题的关键． 【规范解答】（1）解：元旦用表示（即1月1日），清明节用表示（即4月5日），端午节用表示（即5月5日）， 故中秋节，国庆节， 故答案为：，． （2）解：根据坐标，描点画图如下： （3）解：根据题意，得所画图形的面积为：． 【变式训练】．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，已知在灯塔O的正西方向有一小岛A，正北方向有一海上景点B，已知两地相距两地相距4km，如图构建平面直角坐标系． (1)点A的坐标为____________，点B的坐标为____________； (2)现在恰好有一艘小船C位于航线OA上，且到两地的距离相等； ①求出小船C的坐标； ②此时小船C到航线AB的距离是多少？ 【答案】(1)， (2)①； 【思路引导】本题考查了直角坐标系中点的坐标，勾股定理的应用以及点到直线的距离，由三角形面积相等建立等式是求解本题的关键． （1）根据点A与点B的方位，再根据和两点之间的距离即可求解坐标． （2）①设小船C的坐标为，则有，，再由到两地的距离相等结合勾股定理建立等式即可求解； ②根据面积相等法，由的面积建立等式即可求解． 【规范解答】（1）解：∵两地相距两地相距4km， 且点A在点O的正西方向，点B在点O的正北方向， ∴点A位于x轴负半轴，点B位于y轴正半轴， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 故答案为：，． （2）解：①设小船C的坐标为， 则有，， 又∵，且小船C到两地的距离相等， ∴， 在中，， 即， 整理可得，解得， ∴小船C的坐标为； ②过点C作交于点D，如图， ∵，，， ∴在中，， 则有， ∴， 即， ∴小船C到航线AB的距离是． 考点8：坐标系中的平移 【典例精讲】（（2025·江西萍乡·二模）七巧板是中国一种古老的传统智力游戏，它是由七块板组成的，以各种不同的拼凑法拼成人物、动物、建筑、字母等各式各样的图形．如图，将由七巧板拼成的“小船”放置在网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 【答案】 【思路引导】本题考查了点的坐标．根据已知的坐标可作出直角坐标系，故可求出点的坐标． 【规范解答】解：建立如图所示的横坐标系， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点A在y轴上，则点A的坐标为 ． (2)若点，且轴，则点A的坐标为 ． (3)若点A到x轴的距离为2，求a的值； 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题考查坐标轴上的点的坐标特点，平行于坐标轴的点的坐标特点．熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键． （1）根据y轴上点的其横坐标为0进行解答，即可得出答案； （2）由平行于y轴的点的横坐标相同，可得，即，求得a的值，再将a的值代入求得纵坐标即可解答； （3）根据点到x轴的距离为其纵坐标的绝对值，到y轴的距离为其横坐标的绝对值，即可解答. 【规范解答】（1）解：∵点A在y轴上， ∴，即， ∴， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：∵点B的坐标为，且轴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． （3）∵点A到x轴的距离为2， ∴， 解得：或 考点9：点坐标规律探索 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，速度为每秒1个单位长度，且点P只能向上或向右运动，请回答下列问题： (1)将表格填写完整： 点P出发时间 可得到整数点的坐标 可得到整数点的个数 1秒 ， 2 2秒 ，， 3 3秒 4 (2)当点P从点O出发11秒时，可得到的整数点的个数是 ． (3)当点P从点O出发 秒时，可得到整数点． 【答案】(1)，，， (2)12 (3)36 【思路引导】此题考查了平面直角坐标系中的规律问题解决能力，关键是能根据题目要求确定符合条件的点的坐标，并归纳出相关规律． （1）根据点的运动规律求解； （2）根据题意归纳出当点从点出发秒，可得到的整数点的个数是个，据此可求解； （3）由题意可得当点从点出发秒，可得到的整数点都在直线上，将整数点代入计算即可． 【规范解答】（1）解：（1）∵点P从原点O出发，速度为每秒1个单位长度，且点P只能向上或向右运动， ∴点P从点出发1秒，整数点的坐标，， 点P从点出发2秒，整数点的坐标，，， ∴当点从点出发3秒，可得到的整数点为，，，， 故答案为：，，，； （2）解：由表可得：点P从点出发1秒，可得到整数点的个数为2个， 点P从点出发2秒，可得到整数点的个数为3个， 点P从点出发3秒，可得到整数点的个数为4个， … 点从点出发秒，可得到的整数点的个数是个， ∴当时，则， 当点从点出发11秒，可得到的整数点的个数是12， 故答案为：12； （3）解：点P从点出发1秒，整数点的坐标，，都要在直线上， 点P从点出发2秒，整数点的坐标，，，都要在直线上， 点P从点出发3秒，整数点的坐标，，，，都要在直线上， … 当点从点出发秒，可得到的整数点都在直线上， 把代入，得， 解得， 当点从点出发36秒时，可得到整数点， 故答案为：36． 【变式训练】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查坐标与图形变化—平移、规律型问题等知识，解题关键是学会套就规律的方法．先求出点，，，的横坐标，再从特殊到一般就出规律，然后利用规律即可解决问题． 【规范解答】解：点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， …， 按这个规律平移得到点点的横坐标为， 点的横坐标为， 故答案为：． 考点10：中点坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·江西抚州·期中）公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式，是解题的关键．设中转站的坐标为，根据中点坐标公式进行求解即可． 【规范解答】解：设中转站的坐标为， ∵中转站到点A和点B的距离相等， ∴中转站为的中点， ∴， ∴中转站的坐标为． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，正方形的边长为，轴，． (1)写出，，三个顶点的坐标； (2)写出中点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)． 【思路引导】本题考查了坐标与图形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用正方形的性质即可求解； （）根据，则点纵坐标与纵坐标相同，点横坐标与横坐标之和的一半即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，轴，， ∴点，，； （2）解：∵，，， ∴点纵坐标与纵坐标相同为，点横坐标与横坐标之和的一半即， ∴中点的坐标为． 考点11：求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【典例精讲】（24-25八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若直线平行于轴，求的值． (2)将点向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，当点正好在轴上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了平移变换的性质，坐标系中点的特征，点到坐标轴的距离等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据直线平行于y轴，则点A点B的横坐标相等，据此建立方程求解即可； （2）根据平移法则得到平移后，再根据点C正好在x轴上，即纵坐标为0，得到，求解即可得到m的值，即可求解． 【规范解答】（1），直线平行于y轴， 点A点B的横坐标相等，即， 解得：； （2）将点B向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点C， 即， 点C正好在x轴上， ， 解得：， ， ． 【变式训练】24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了坐标与图形变化——平移，规律型问题，根据题意可得，，，，，，，，，则有，则有点的坐标是，解题的关键是学会探究规律的方法． 【规范解答】解：由题意可得，，，， ，，，， ， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 考点12：由平移方式确定点的坐标 【典例精讲】（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段点与点是对应点，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴上，连接、． (1)若、、；则点的坐标是_________； (2)已知、，点在轴的正半轴上，且，求点、的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点、，请你探索是否存在以两个动点、为端点的线段平行于线段．若存在，求以点、、、为顶点的四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，； (3)15或3． 【思路引导】本题考查了坐标与图形变化—平移，三角形的面积，熟记平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状是解题的关键． （1）根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可知对应线段平行且相等，对应点的连线平行且相等； （2）由点和点在轴上确定出，再根据的面积求出，然后写出点、的坐标即可； （3）根据，，，，得出，，分情况解答即可． 【规范解答】（1）解：设， 将线段平移至线段，、，， ，， ，， ； （2）解：如图①，，点在轴的正半轴上， ，， ，即， ， 解得：， 点的坐标为， 设，将线段平移至线段， ，， ，， 点的坐标为； （3）解：，，，， 点与的纵坐标相等，横坐标的差的绝对值为， 即，， 解得：，或，， 点的坐标为，的坐标为或点的坐标为，的坐标为， 当，，； 当，时，． 综上，以点O、M、E、F为顶点的四边形的面积为15或3. 【变式训练】（24-25七年级下·广东珠海·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，． (1)点的坐标为______； (2)画出三角形； 写出三角形的面积______． (3)若点在轴上且的面积为，则点的坐标为______． 【答案】(1)； (2)见解析；； (3)或． 【思路引导】本题考查了坐标系中的平移、坐标与图形等知识，正确得出平移的方式是解题的关键． （1）先根据点坐标得出图形的平移方式是先向左平移个单位，再向上平移个单位，进而得到答案； （2）先画出，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可； 把补充成一个的矩形，利用割补法求解即可； （3）设点的坐标为，根据的面积为建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：三角形中任意一点，经平移后对应点为， 图形的平移方式是先向左平移个单位，再向上平移个单位， 点的坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为； 故答案为：； （2）解：如下图所示，三角形即为所求作， 解：如下图所示，把补充成一个的矩形， ； 故答案为：； （3）解：设点的坐标为， 的面积为，，， ， 解得：或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 考点13：已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【典例精讲】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，如图所示． (1)分别写出点，的坐标： ， ； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内部一点，经过平移后，点在三角形中的对应点的坐标为，求和的值． 【答案】(1)，； (2)是由先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的； (3)， ． 【思路引导】本题主要考查了图形的平移、用坐标表示点的位置． 由网格图可知，点的坐标为，点的坐标为； 根据点的坐标为，点的坐标为，可得是由先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的； 根据点的坐标和平移的方向、距离，可知平移后点的对应点的坐标为，又因为对应点的坐标为，可以得到关于、的方程，解方程即可求出和的值． 【规范解答】（1）解：由图可知，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：，， 是由先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的； （3）解：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 随着平移后的横坐标为，纵坐标为， 平移后点的坐标为， 又点的坐标为， 可得：， 解得：． 【变式训练】（24-25七年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，线段的位置如图所示，其中点M的坐标为，点N的坐标为．将线段平移得到线段，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B． (1)点M平移到点A的过程可以是：先向右平移______个单位长度，再向上平移______个单位长度；点B的坐标为______； (2)若点C的坐标为，求三角形的面积； (3)已知点D在y轴上，若三角形的面积为18，求点D的坐标． 【答案】(1)3；5； (2)2 (3)点D的坐标为或 【思路引导】本题主要考查平移的性质，求解网格三角形的面积，熟练掌握平移变换的定义及其性质是解题的关键． （1）由点M及其对应点的A的坐标可得平移的方向和距离，即可得到点N的对应点B的坐标； （2）直接利用三角形的面积公式计算即可． （3）设点D的坐标为，根据题意，得，再解方程即可. 【规范解答】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点M移到点A的过程可以是：先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度； 将先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度所得的坐标是， ∴点B的坐标为； （2）解：∵， ∴三角形的面积为； （3）解：如图，设点D的坐标为， 根据题意，得， 解得或， ∴点D的坐标为或. 考点14：已知图形的平移，求点的坐标 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，三角形中，任意一点经平移后对应点，将作同样的平移得到．求的坐标． 【答案】 【思路引导】本题考查了平移， 根据点P和点得出平移变换的方式，进而根据同样的平移方式画出平移后图象，继而根据平面直角坐标系求得的坐标即可． 【规范解答】解∶∵点经平移后对应点， ∴P点向上平移3个单位，向左平移2个单位， ∴向上平移3个单位，向左平移2个单位得到， 如图，即为所求， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足． (1)______；A点的坐标是______； (2)写出点B、C的坐标：B______，C______；（用含m的式子表示） (3)若的面积是10，求m的值； (4)若交y轴于点N，的长度为1，请直接写出m的值． 【答案】(1)1，； (2)，； (3)； (4)． 【思路引导】本题属于三角形综合题，主要考查了两条直线相交或平行问题、坐标与图形变化中的平移、三角形的面积，解题的关键是根据点的坐标利用三角形的面积公式得出的方程； （1）由点在轴上可求出值，将其代入点的坐标中即可得出点的坐标； （2）依据点的平移可得出点、的坐标； （3）设直线与轴的交点为，则点的坐标为，可求出，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （4）连接，根据可得出，再列出方程并求解即可． 【规范解答】（1）解：在平面直角坐标系中，点在轴上， ， 解得：， 点． 故答案为：1，； （2）解：将将点向右平移5个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，将点向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点， 点，点，，即，， 故答案为：，； （3）解：设直线与轴的交点为，如图1，则点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：；理由如下； 设直线与轴的交点为，连接，如图2， ， ， ， ． 考点15：已知平移后的坐标求原坐标 【典例精讲】（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形变换—平移．根据平移的逆变换求解点M的坐标，即可． 【规范解答】解：∵向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合， ∴点的坐标为，即． 故选：C． 【变式训练】24-25七年级下·北京怀柔·期末）若点向下平移3个单位后位于坐标原点，则点坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了坐标的平移，掌握“纵坐标上加下减，横坐标左加右减”是解题关键．根据平移的规律求解即可． 【规范解答】解：点向下平移3个单位后位于坐标原点， ，， ， 点坐标为， 故答案为：． 1．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规则，再应用于点B即可得到点D的坐标． 【规范解答】解：由题意，点向上平移5个单位得到点， ∴点向上平移5个单位得到点， ∴点的坐标为，即； 故选B． 2．（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【思路引导】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点的符号特点，是解题的关键． 【规范解答】解：∵，，， ∴点在第二象限； 故选B． 3．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；，，的中点为；…；按此做法进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】根据图形找出规律即可解答．由图可知，线段位于第一象限，位于第二象限，位于第三象限，位于第四象限…，每四个循环一次，则可知道在第几象限，写出的坐标，即可解答． 【规范解答】 ∴线段在第二象限； ∴（0，2023），（-2022，0） ∵点为线段中点， ∴点的坐标为，即 故答案为： 【考点剖析】本题主要考查了图形的变化规律，仔细读题找出变化规律是解题的关键． 4．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点在直线上，点的横坐标为1，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】由题意分别求出A1、A2、A3、A4……An、B1、B2、B3、B4……Bn、的坐标，根据规律进而可求解． 【规范解答】解：∵点在直线上，点的横坐标为1，过点作轴，垂足为， ∴，，∴A1B1=， 根据题意，OA2=1+=， ∴，， 同理，，， ， …… 由此规律，可得：，， ∴即， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键． 5．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（    ） A．14 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【思路引导】本题考查了坐标与图形，过A作于M，过B作于N，根据A、B、C的坐标可求出，，，，，然后根据求解即可． 【规范解答】解∶过A作于M，过B作于N， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的面积为 ， 故选：D． 基础夯实 1．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点，轴，轴，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，分别确定点的横、纵坐标即可得出答案． 本题主要考查平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，熟练掌握“平行于轴的直线上点纵坐标相等，平行于轴的直线上点横坐标相等”是解题的关键． 【规范解答】解：轴，点 点与点的纵坐标相等，即点的纵坐标为． 轴，点 点与点的横坐标相等，即点的横坐标为． 综上，点的坐标为． 故选：A ． 2．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）在平面直角坐标系中，点向右移动3个单位长度，再向上移动2个单位长度后的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是点的平移时坐标的变化规律，根据点的平移规律，向右平移横坐标增加，向上平移纵坐标增加，依次计算即可. 【规范解答】解：∵点向右移动3个单位长度，再向上移动2个单位长度 ∴平移后横坐标为，平移后纵坐标为， ∴点P平移后的坐标为， 故选：C 3．（24-25八年级下·广东韶关·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查坐标与图形的变化-旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 通过旋转发现，、、．．每偶数之间的相差6个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，进而可得点的坐标． 【规范解答】解：∵， ， ， ， 点的坐标是， 即点的坐标是， 故选：C． 4．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）点在第一、三象限的角平分线上，则的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了点的坐标的知识，根据第一、三象限的角平分线上的点，横纵坐标相等，由此就可以得到关于的方程，解出的值，即可求得点的坐标． 【规范解答】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ， 解得：， ． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色五子先成一条直线就算胜．如图是两人玩的一盘棋，若白①的位置是，黑②位置是，现在轮到黑棋走，你认为黑棋放在 位置就可获胜． 【答案】或 【思路引导】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标画出平面直角坐标系，由比赛规找出黑棋放的位置，进而根据平面直角坐标系写出黑棋的坐标即可，根据点的坐标建立平面直角坐标系是解题的关键. 【规范解答】解：∵白①的位置是，黑②的位置是， ∴建立平面直角坐标系如下： 当黑棋放在图中三角形位置，就能获胜， ∴黑棋放的位置为或， 故答案为：或． 6．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查用点的坐标表示线段长度，解题的关键是熟练掌握坐标系中两点之间的距离公式． 设，根据坐标系中两点之间的距离公式，可得，，根据题意列方程求解即可． 【规范解答】解：∵点在轴上， ∴设， ∵点到点的距离是它到点距离的倍， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，三个顶点的坐标分别为，则的面积为 ． 【答案】3 【思路引导】此题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 根据求出，利用三角形面积公式进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：3． 8．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）点A，B，C，D在平面直角坐标系的位置如图所示． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)在图中描出下列各点：，，． (3)依次连接、、得到一个封闭图形，判断此图形的形状为　　　．直接写出的长为　　　． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)直角三角形， 【思路引导】本题考查了图形与坐标，勾股定理及逆定理，解题关键是根据点的坐标准确描出点． （1）根据点A，B，C的位置写出点的坐标； （2）根据点的坐标，描出相应的点； （3）利用勾股定理的逆定理求解． 【规范解答】（1）解：，，； （2）解：如图，描点如下： （3）解：如图， ，，， ， ∴是直角三角形，， 故答案为：直角三角形，． 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出图中四边形各顶点的坐标，并回答下列问题： （1）图中四边形上，哪些点在坐标轴上？它们的坐标有什么特点？ （2）线段与x轴有什么位置关系？点D和点C的坐标有什么特点？线段上其他点的坐标呢？ 【答案】；（1）见解析；（2）平行，纵坐标相同，纵坐标也相同 【思路引导】本题考查了坐标与图形的性质，作图的关键是根据点的坐标确定点在平面直角坐标系中的位置. （1）结合图案可知在坐标轴上的点，根据点的坐标即可知其坐标的特点； （2）根据图形可得与x轴的关系，由其坐标即可得它们坐标的特点. 【规范解答】解：． （1）图中四边形上，边上的点都在x轴上，它们的纵坐标都等于0；边，与y轴的交点都在y轴上，它们的横坐标都等于0. （2）线段平行于x轴，点D和点C的纵坐标相同．线段上其他点的纵坐标也相同，都是2. 10．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称，两点为同距点．如下图中的，两点即为同距点．已知点的坐标为． (1)写出图中点，，三点的坐标，并判断它们是否是点的同距点； (2)若点是点的同距点，求的值； (3)已知点，． ①若点为点的同距点，且点在第二象限，直接写出此时，之间的关系式； ②若在线段上（不含端点）存在点的同距点，求出整数的值． 【答案】(1) ，，，点、是点的同距点，点不是点的同距点 (2)的值为或 (3)①    ②整数的值为，， 【思路引导】本题考查了点的坐标，一元一次方程的应用等知识， （1）写出点的坐标，根据同距点的定义判断点B，C，D是否是点A的同距点即可； （2）根据同距点的定义列出关于的方程求解即可； （3）①根据同距点的定义求解即可 ②设线段上的点的坐标为，其中，即可得到，然后根据k的取值求出整数n的值即可． 【规范解答】（1）解： 根据题意， 得，，，， 点到两坐标轴的距离之和为， 对于点，其到两坐标轴的距离之和为， ∴点是点的同距点， 对于点，其到两坐标轴的距离之和为， ∴点不是点的同距点， 对于点，其到两坐标轴的距离之和为， ∴点是点的同距点， ∴点、是点的同距点，点不是点的同距点； （2）解：∵点是点的同距点， ∴， 即， 当， 即时， 有， 解得， 当， 即时， 有， 解得， ∴的值为或； （3）解：①点到两坐标轴距离之和为， ∵点在第二象限， ∴，， ∴点到两坐标轴距离之和为， 点是点的同距点， ∵， 即； ②解：设线段上的点的坐标为，其中， ∵线段上（不含端点）存在点的同距点， ∴， ∴， ∵n为整数， ∴k为整数数， 又∵， ∴， 当时，，解得或； ∴整数的值为，． 培优拔高 11．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，从处弹出一个光点，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边界时反弹，反弹时反射角等于入射角（遵循光的反射原理）．当光点第2025次碰到长方形的边界时，光点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了点的坐标的规律．根据入射角等于反射角的定义作出图形，可知，每六次反弹为一个循环组依次循环，用除以余3，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【规范解答】解：如图，根据题意作出图形得： ，，，，，，，，， 点的坐标六次一循环，经过六次反弹后动点回到出发点． 当点第次碰到长方形的边时为经过个循环组后的第三次反弹， 点的坐标为． 故选：A． 12．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）共享单车提供了便捷、环保的出行方式，嘉嘉同学在学校附近打开某共享单车，如图“”是嘉嘉同学的位置，“★”是检索到的共享单车停放点，为了达到距离最近的共享单车停放点，下列四个区域中，嘉嘉同学应该前往的是（    ） 1 2 3 M ★ ★ N P ★ ★ ★ A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了坐标确定位置，利用点的位置之间的关系是解题关键． 根据点的位置，可得答案． 【规范解答】解：由题意可得：距嘉嘉同学最近的是， 故选：C． 13．（24-25七年级下·江西赣州·期中）已知点，，点是线段EF的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以为对称点重复前面的操作，依次得到点，，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了平面直角坐标系中中点坐标公式的应用．解题的关键是总结规律． 根据题目所给的信息，确定点关于点的对称点为，则点为点和点的中点，根据公式，可以求出点的坐标，依次类推求出点，点，点，点，点 ，总结规律，利用周期原理，求出点的坐标． 【规范解答】解：设， 点关于的对称点为，，，， ， ， ， 同理可得，，，， ， 每6个点坐标循环一次， ， 点的坐标是， 故选：A． 14．（24-25八年级上·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点，其中．点在第一象限，且．若m，n满足，则的面积为 ．（用含m的式子表示） 【答案】 【思路引导】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，勾股定理． 连接，过点D作垂直于x轴于点E．根据，将n用m表示出来，在中利用勾股定理将t用m和n表示出来并将n与m的数量关系代入，从而将t用m表示出来，再根据三角形面积公式用含m的代数式将的面积表示出来即可． 【规范解答】解：如图，连接，过点D作垂直于x轴于点E．    ∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵点在第一象限， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 在中利用勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了点坐标、勾股定理，熟练掌握点的坐标与勾股定理是解题关键．设点的坐标是，利用勾股定理可得，则可得，由此即可得． 【规范解答】解：设点的坐标是， ∵，， ∴， 由作图可知，， ∵，点在轴负半轴上， ∴， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图：，若将线段平移至，则的值为 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了坐标与图形变化——平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解决问题的关键． 根据点A和的坐标确定出横向平移规律，点B和的坐标确定出纵向平移规律，即可求出a、b的值，然后代入求解即可． 【规范解答】解：∵，，，， ∴平移规律为向右个单位，向上个单位， ∴， ∴． 故答案为：2． 17．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P、Q两点为“等距点”． (1)点的“短距”为 ； (2)点的“短距”为3，求m的值； (3)若，两点为“等距点”，求k的值． 【答案】(1)2 (2)或2 (3)或2 【思路引导】本题主要考查了平面直角坐标系内的点到坐标轴的距离， （1）根据定义解答即可； （2）根据定义可知，求出解； （3）根据定义分两种情况讨论可得答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴短距是2． 故答案为：2； （2）解：由题意可知，解得或2； （3）解：当①，解得或， 时，，符合题意； 时，，符合题意； ②，解得或． 当时，点的“短距”为1，点的“短距”为3，二者不相等，故舍去； 当时，点的“短距”为1，点的“短距”为3，二者不相等，故舍去． 综上，或2． 18．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图，有一个机器人在网格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从点处出发，规定：向上或向右走均为正，向下或向左走均为负．如：从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)根据图中位置，从到应记为：（______，______），从到应记为：（______，______）； (2)若机器人从处去处的行走路线依次为，，，． ①点的坐标为（______，______）； ②求机器人按上述路线从处去处行走的路程． (3)若图中另有两个点，，且，，则从到应记为：（______，______）． 【答案】(1)，，，， (2)①7, 3；② (3)， 【思路引导】本题考查利用坐标确定点的位置的方法，正确地理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示是解题的关键． （1）根据规定“向上或向右走均为正，向下或向左走均为负”即可求解； （2）①将从处去处的行走路线的第一个数相加后等于，表明向右走了6个单位，将行走路线的第二个数相加后等于，表明向上走了1个单位，由此即可求解；②将行走路线的第一个数的绝对值和第二个数的绝对值相加，即可求出从处去处行走的路程； （3）根据，，可知从到时，，，相当于向右走了2个单位，向上走了4个单位，由此即可求解． 【规范解答】（1）由规定“向上或向右走均为正，向下或向左走均为负”， 记为，记为， 故答案为：，，，； （2）①若机器人从处去处的行走路线依次为，，，， ， 相当于向右走了6个单位， ， 相当于向上走了1个单位， 点， 点的坐标为， 故答案为：7, 3； ②，， ， 机器人按上述路线从处去处行走的路程为； （3），， 当从到时，，，相当于点向右走了2个单位，向上走了4个单位到达点， 从到应记为：， 故答案为：，． 19．（24-25八年级下·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在第四象限内画正方形，为轴上的一个动点，以为一直角边在第四象限内画等腰直角，其中． (1)点的坐标为____________ (2)试判断线段、的关系，并说明理由； (3)设的中点为，直线交轴于点．问：随着点的运动，点的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点的坐标；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)，且，理由见解析 (3)不变，，理由见解析 【思路引导】（1）由正方形的性质可得出答案； （2）由正方形，可得，，由等腰直角三角形，可得，，再根据，即可得到，进而得出； （3）过点作，分别交直线，于点，，判定，可得，，判定，可得，依据，可得，依据，可得，进而得到是等腰直角三角形，进而得到，即点的位置不会发生变化． 【规范解答】（1）解：，以为一边在第四象限内画正方形， ． 故答案为：． （2）解：．理由如下： 由正方形，可得，， 由等腰直角三角形，可得，， ， 即， ， ． （3）解：点的位置不会发生变化．理由如下： 如图，过点作，分别交直线，于点，， ， ， ， 又， ， ，， 是的中点， ， ， ， 又， ， ， ，即， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ， ，即点的位置不会发生变化． 【考点剖析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、坐标与几何图形的关系、正方形的性质等知识点，解题的难点在于作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的对应边相等得出是等腰直角三角形． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$