5.4.2 第1课时 二项式系数的性质(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

4.2　二项式系数的性质 第1课时　二项式系数的性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数较小时的各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用，掌握“赋值法”并会灵活应用. 1.二项式系数表(杨辉三角) 上图中的表叫作二项式系数表，历史上也称为杨辉三角.它有如下的规律: 表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和.事实上，设表中任意一个不为“1”的数为，那么它“肩上”的两个数分别为和，由组合数的性质2得到:=+. 2.二项式系数的性质 (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即=. (2)增减性与最大值 当k<时，随k的增加而增大;当k>时，随k的增加而减小.当n是偶数时，中间的一项取得最大值;当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值. 3.各二项式系数的和 (a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n，即+++…+=2n.(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即+++…=+++…. 基础落实训练 1.已知(ax+1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案:A 2.(1+x(n∈N+)的展开式中，系数最大的项是 (　　) A.第+1项 B.第n项 C.第n+1项 D.第n项与第n+1项 答案:C 3.展开式的各项系数的和为 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.210 答案:B 题型(一)　杨辉三角 [例1]　如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n∈N+，n≥2)，每个数是它下一行左、右相邻两数的和，如=+=+=+，……，则第10行第4个数字(从左往右数)为　　　　.  …… 解析:将杨辉三角中的每一个数都换成分数即可得到“莱布尼茨调和三角形”，杨辉三角中，第10行第4个数字为=84，所以“莱布尼茨调和三角形”中第10行第4个数字为=. 答案: |思|维|建|模| 解决与杨辉三角有关问题的一般思路 (1)观察:对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察. (2)找规律:通过观察找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律. (3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解. 　　[针对训练] 1.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，若a，b是某行的前两个数，当a=7时，b= (　　) 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 …… A.20 B.21 C.22 D.23 解析:选C　观察题图可知，从第三行开始，每一行除开始和末尾的两个数外，中间的数分别是其“两肩”上相邻两个数的和，当a=7时，b的“两肩”上的第一个数为6，第二个数为16，所以b=6+16=22. 2.在杨辉三角中，它的开头几行如图所示，则第　　　行会出现三个相邻的数的比为3∶4∶5.  1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 …… 解析:根据题意，设所求的行数为n(n∈N+)，则存在自然数k，使得=且=，化简得=且=，解得k=26，n=63.故第63行会出现三个相邻的数的比为3∶4∶5. 答案:63 题型(二)　二项式系数的增减性与最值 [例2]　在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项是第几项? 解:由二项式通项，得=·()8-r·=(-1)r··2r·. (1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项， 故T5=·24·=1 120x-6. (2)设第(r+1)项系数的绝对值最大， 则即 整理得所以r=5或r=6. 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. [变式拓展] 　在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项. 解:由本例(2)知， 展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正.故系数最大的项为T7=·26·x-11=1 792x-11，系数最小的项为T6=(-1)5·25=-1 792. |思|维|建|模| 二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论. (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大. (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 　　[针对训练] 3.在(3x-2y)20的展开式中，求: (1)二项式系数最大的项; (2)系数绝对值最大的项; (3)系数最大的项. 解:(1)二项式系数最大的项是第11项，即T11=×310×(-2)10x10y10=×610x10y10. (2)设系数绝对值最大的项是第(r+1)(0≤r≤20，r∈N)项， 于是化简，得 解得≤r≤(r∈N)，所以r=8. 即T9=×312×28x12y8是系数绝对值最大的项. (3)由于系数为正的项为y的偶次方项，因此可设第2k-1(1≤k≤11，k∈N)项系数最大， 于是 所以 解得k=5，即第2×5-1=9项系数最大， T9=×312×28x12y8. 题型(三)　二项展开式的系数和 [例3]　设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100，求下列各式的值: (1)a0; (2)a1+a3+a5+…+a99; (3)-(a1+a3+…+a99)2. 解:(1)在(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100中， 令x=0，得a0=2100. (2)令x=1，得a0+a1+a2+…+a100=， 令x=-1，得a0-a1+a2-a3+…-a99+a100=， 两式相减，得a1+a3+a5+…+a99=. (3)由(2)得(a0+a2+a4+…+a100)2-(a1+a3+a5+…+a99)2 =(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2-a3+…-a99+a100) =(2-)100·(2+)100==1. |思|维|建|模| 求展开式的各项系数之和常用赋值法 “赋值法”是求展开式系数常用的方法，根据题目要求，灵活给字母赋不同的值. (1)一般地，要使二项展开式中项的关系变为系数的关系，令x=0可得常数项，令x=1可得所有项系数之和，令x=-1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x=-1则可得各项系数绝对值之和. (2)有两个变量x，y的，可以令x=y=1，得所有项系数之和. [针对训练] 4.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求下列各式的值. (1)a1+a2+…+a7; (2)a0+a2+a4+a6; (3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|. 解:(1)当x=1时，(1-2x)7=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1;当x=0时，a0=1， 故a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1-1=-2. (2)当x=-1时，(1-2x)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37. 由(1)知a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1， 所以a0+a2+a4+a6==1 093. (3)由展开式可知a1，a3，a5，a7均为负值，a0，a2，a4，a6均为正值， 结合(1)(2)可知a1+a3+a5+a7==-1 094，故|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1 093-(-1 094)=2 187. [课时检测] 1.展开式中的各二项式系数之和为1 024，则n的值为 (　　) A.10 B.9 C.8 D.7 解析:选A　展开式中的各二项式系数之和为2n=1 024，解得n=10. 2.在(1+x)12展开式中，系数最大的项是 (　　) A.第5，6项 B.第6，7项 C.第6项 D.第7项 解析:选D　因为(1+x)12的展开式的通项为Tk+1=xk，k=0，1，2，…，12，所以(1+x)12展开式中各项的系数即为其二项式系数，根据二项式系数的性质有，第7项的二项式系数最大. 3.若(1+x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则a1+a2+a3+…+a9= (　　) A.1 B.513 C.512 D.511 解析:选D　令x=0，得a0=1，令x=1，得a0+a1+a2+a3+…+a9=29=512，所以a1+a2+a3+…+a9=512-a0=512-1=511，故选D. 4.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是 (　　) 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 a 4 1 1 5 10 10 5 1 A.8 B.6 C.4 D.2 解析:选B　由题图知，除1以外，下一行的数是其肩上两数的和，所以4+a=10，解得a=6. 5.[多选]关于(5-x)6的展开式，下列判断正确的是 (　　) A.展开式共有6项 B.展开式的各二项式系数的和为64 C.展开式的第6项的系数为30 D.展开式中二项式系数最大的项是第4项 解析:选BD　展开式共有7项，故A错误;展开式的各二项式系数的和为26=64，故B正确;展开式的第6项是51(-x)5=-30x5，其系数为-30，故C错误;展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确. 6.设m为正整数，(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b，则m等于 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:选B　由二项式系数的性质知， 二项式(x+y)2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即=a， 二项式(x+y)2m+1的展开式中二项式系数的最大值有两项，即==b. 因此13=7， 即13·=7·， 所以m=6. 7.[多选]对于任意实数x，有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9，则下列结论成立的是 (　　) A.a1=18 B.a2=-144 C.a1+a2+…+a9=2 D.a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=39 解析:选ABC　(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9=[-1+2(x-1)]9，则[-1+2(x-1)]9的展开式的通项为Tr+1=(-1)9-r2r(x-1)r(0≤r≤9，r∈N)，当r=1时，a1=(-1)821=18，故A正确;当r=2时，a2=(-1)9-222=-144，故B正确;当x=1时，(2-3)9=a0=-1，当x=2时，(4-3)9=a0+a1+a2+…+a9=1，所以a1+a2+…+a9=2，故C正确;当x=0时，(-3)9=a0-a1+a2-a3+…-a9=-39，故D错误. 8.[多选]我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是 (　　) A.1+++= B.第2 022行的第1 011个数最大 C.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 D.第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3 解析:选ACD　1+++=1+6++=84，==84，故A正确;由题图可知，第n行有n个数字，如果n是奇数，则第(最中间的)个数字最大;如果n是偶数，则第和第+1个数字最大，并且这两个数字一样大，故B错误;第6行、第7行、第8行的第7个数字分别为1，7，28，其和为36，第9行第8个数字就是36，故C正确;依题意得，第34行第14个数字是=，第34行第15个数字是=，所以==，故D正确.故选ACD. 9.(5分)的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则第4项为　　　　　.  解析:因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，即+1=6，所以n=10，所以T4=·=120. 答案:120 10.(5分)(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为　　　　.  解析:由题知，展开式通项为Tr+1=xr，0≤r≤10且r∈Z，设展开式中第r+1项系数最大，则解得即≤r≤.又r∈Z，故r=8.所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为=5. 答案:5 11.(5分)如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列前n项和为S(n)，则S(31)=　　　　.  解析:由“杨辉三角”性质，得 S(31)=++++…+++ =(++…+)+(++…+) =(+++…+)+(++…+)-1=+-1=951. 答案:951 12. (5分)从甲、乙、丙3名同学中选出2人担任正、副班长两个职位，共有n种方法，则的展开式中的常数项为　　　　.(用数字作答)  解析:由已知，得n==6，所以二项式展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r=·(-1)r·26-r·x6-2r，令6-2r=0，得r=3，所以二项式的展开式中的常数项为·(-1)3·23=-160. 答案:-160 13.(10分)已知的展开式二项式系数和为64. (1)求n的值;(2分) (2)求展开式中的常数项;(4分) (3)求展开式中二项式系数最大的项.(4分) 解:(1)由题意得2n=64，解得n=6. (2)二项式通项Tk+1=(2x)6-k =26-k，令6-=0，可得k=4. ∴展开式中的常数项为T5=26-4=60. (3)∵n是偶数，展开式共有7项，则第4项最大， ∴展开式中二项式系数最大的项为T4=26-3·=160. 14.(10分)已知=a0+a1x+a2x2+…+a10x10. (1)求a0+a1+a2+…+a10;(5分) (2)求(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2.(5分) 解:(1)∵=a0+a1x+a2x2+…+a10x10， 令x=1，得a0+a1+a2+…+a10=(12-3+2)5=0. (2)由(1)及平方差公式得 (a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9+a10)=0. 5 / 73 学科网（北京）股份有限公司 $$