3.4.2 第1课时 向量方法研究平行关系(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 第1课时　向量方法研究平行关系 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量法判断或证明直线、平面间的平行关系. 空间中平行关系的向量表示 位置关系 向量表示 线线平行 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1=λu2 线面平行 设直线l的方向向量为u，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n=0 面面平行 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1=λn2 |微|点|助|解| 　　用向量刻画空间中直线、平面的平行关系的注意点 (1)线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合. (2)直线的方向向量与平面的法向量都不是唯一的，所以运用时应以运算简便为标准. (3)线线平行、面面平行中向量仍平行，但线面平行中向量变为垂直.可简记为“同类同性，异类相反”. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若平面外的一条直线的方向向量与该平面的法向量平行，则这条直线与这个平面平行. (　　) (2)两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直. (　　) (3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直. (　　) (4)两个(不重合)平面的法向量平行，则这两个平面平行，两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直. (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2.[多选]若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是 (　　) A.a=(1，0，0)，n=(0，-2，0) B.a=(1，3，5)，n=(1，0，1) C.a=(0，2，1)，n=(-1，0，-1) D.a=(1，-1，3)，n=(0，3，1) 解析：选AD　若l∥α，则a·n=0.A中a·n=0，B中a·n=1+5=6，C中a·n=-1，D中a·n=-3+3=0. 题型(一)　证明直线与直线平行 [例1]　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在棱DD1上，且SD1=2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS. 证明：法一　如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M，N(0，2，2)，R(3，2，0)，S. 则分别为MN，RS的方向向量，又==，所以=，所以∥，因为M∉RS，所以MN∥RS. 法二　设=a，=b，=c，则=++=c-a+b，=++=b-a+c.所以=，所以∥.又R∉MN，所以MN∥RS. 　　|思|维|建|模|　证明线线平行的两种方法 基向量法 用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明 坐标法 建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示 　　 [针对训练] 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，点M在DB上，且DM=DB，DA=DP=1，CD=2. 求证：MN∥AP. 证明：法一：坐标法　由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直.如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，P(0，0，1)，E，N，M， 所以=(-1，0，1)，=，所以=，所以MN∥AP. 法二：基向量法　由题意得=+=+=+×(+)=++=+=(+)=，所以MN∥AP. 题型(二)　证明直线与平面平行 [例2]　如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC， ∠BAC=90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=2，AB=1.求证：MN∥平面BDE. 证明：因为PA⊥底面ABC，∠BAC=90°，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，1)，E(0，1，1)，M，N，P(0，0，2)，所以=(0，1，0)，=(1，0，-1)， 设n=(x，y，z)为平面BDE的一个法向量，则即不妨设z=1，可得n=(1，0，1)，又=，所以·n=1×+0×1+1×=0，即⊥n， 因为MN⊄平面BDE， 所以MN∥平面BDE. |思|维|建|模| 利用空间向量证明线面平行的三种方法 (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基表示. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证. (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. [针对训练] 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD的中点，=λ(λ为常数，且0<λ<1).若直线BF∥平面ACE，求实数λ的值. 解：因为PA⊥底面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD. 由题意可知，AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，E(0，2，1)， 所以=(2，2，0)，=(0，2，1)，=(-2，0，2)，=(2，2，-2)，则=λ=(2λ，2λ，-2λ)， 所以=+=(2λ-2，2λ，2-2λ). 设平面ACE的一个法向量为m=(x，y，z). 由得 不妨令x=1，得m=(1，-1，2). 因为BF∥平面ACE， 所以·m=2λ-2-2λ+4-4λ=0， 解得λ=. 故实数λ的值为. 题型(三)　证明平面与平面平行 [例3]　如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC. 证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直， 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0). 所以=(2，0，-2)，=(0，-1，0)， =(1，1，-1)，=(0，2，0). 设n1=(x1，y1，z1)是平面EFG的一个法向量， 则n1⊥，n1⊥， 即得 令z1=1，则x1=1，y1=0，所以n1=(1，0，1). 设n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的一个法向量， 由n2⊥，n2⊥， 即得 令z2=1，则x2=1，y2=0， 所以n2=(1，0，1)， 所以n1∥n2，又平面EFG与平面PBC不重合， 所以平面EFG∥平面PBC. |思|维|建|模| 证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行. (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明. 　　[针对训练] 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点.求证：平面AMN∥平面BDEF. 证明：如图，以点D为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，M，N，E，F. 于是====. 设n1=(x1，y1，z1)是平面AMN的一个法向量， 则 取z1=1，得x1=2，y1=-2，则n1=(2，-2，1). 设n2=(x2，y2，z2)是平面BDEF的一个法向量， 则 取z2=1，得y2=-2，x2=2，则n2=(2，-2，1)=n1. 又平面AMN与平面BDEF不重合， 故平面AMN∥平面BDEF. [课时检测] 1.在空间直角坐标系中，a=(1，2，1)为直线l的一个方向向量，n=(2，t，4)为平面α的一个法向量，且l∥α，则t= (　　) A.3 B.1 C.-3 D.-1 解析：选C　因为l∥α，所以a=(1，2，1)与n=(2，t，4)垂直，故a·n=(1，2，1)·(2，t，4)=2+2t+4=0，解得t=-3. 2.设u=(2，0，-1)是平面α的一个法向量，a=(1，0，2)是直线l的一个方向向量，则直线l与平面α的位置关系是 (　　) A.平行或直线在平面内 B.不能确定 C.相交但不垂直 D.垂直 解析：选A　因为u·a=2+0-2=0，所以u⊥a，所以直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内. 3.已知A(1，2，3)，B(-1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是 (　　) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 解析：选A　因为=(-2，-2，2)，=(1，1，-1)，所以=-2，所以与平行.又四点不共线，所以直线AB与CD平行. 4.若平面α的一个法向量为u1=(-3，y，2)，平面β的一个法向量为u2=(6，-2，z)，且α∥β，则y+z的值是 (　　) A.-3 B.-4 C.3 D.4 解析：选A　∵α∥β，∴u1∥u2，故存在实数λ，使得u1=λu2，即(-3，y，2)=λ(6，-2，z)，故解得∴y+z=1-4=-3. 5.[多选]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1中点，若直线EF∥平面A1BC1，则点F的位置可能是 (　　) A.线段CC1中点 B.线段BC中点 C.线段CD中点 D.线段C1D1中点 解析：选ABD　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CC1，BC，CD，C1D1的中点分别为M，N，P，Q，不妨设棱长为2，则A1(2，0，2)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，0，1)，M(0，2，1)，N(1，2，0)，P(0，1，0)，Q(0，1，2)，=(0，2，-2)，=(-2，2，0)，设平面A1BC1的一个法向量n=(x，y，z)，则令y=1，则n=(1，1，1)，又=(-2，2，0)，=(-1，2，-1)，=(-2，1，-1)，=(-2，1，1)，则·n=-2×1+2×1=0，·n=-1×1+2×1-1×1=0，·n=-2×1+1×1-1×1=-2，·n=-2×1+1×1+1×1=0，又EM，EN，EQ⊄平面A1BC1，则EM，EN，EQ都平行于平面A1BC1，即若直线EF∥平面A1BC1，则点F的位置可能是线段CC1中点，线段BC中点或线段C1D1中点. 6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且=λ(0≤λ≤1)，若B1F∥平面A1BE，则λ= (　　) A. B. C. D. 解析：选C　如图所示，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则B(1，0，0)，E，D1(0，1，1)，C1(1，1，1)，A1(0，0，1)，可得=(-1，0，1)，=，设n=(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则令z=2，则x=2，y=1，即n=(2，1，2).由=(1，0，0)，且=λ，可得F(λ，1，1)(0≤λ≤1)，又因为B1(1，0，1)，则=(λ-1，1，0)，由B1F∥平面A1BE，可得n·=2(λ-1)+1×1+0×2=0，解得λ=. 7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的最小值为 (　　) A. B. C. D. 解析：选B　如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，A(2，0，0)，E(1，2，0)，F(0，2，1)，A1(2，0，2)，所以=(-1，2，0)，=(-2，2，1)，设平面AEF的一个法向量n=(x，y，z)，则⇒取y=1，得n=(2，1，2)，设P(a，2，c)，0≤a≤2，0≤c≤2，则=(a-2，2，c-2)，因为A1P平行于平面AEF，所以·n=2(a-2)+2+2(c-2)=0，整理得a+c=3，∴线段A1P长度||===，当且仅当a=c=时，线段A1P长度取最小值. 8.(5分)已知直线a，b的方向向量分别为m=(4，k，k-1)和n=，若a∥b，则k=　　　　.  解析：因为a∥b，所以m=λn，即(4，k，k-1)=λ，所以解得λ=-2，k=-2. 答案：-2 9.(5分)设平面α，β的一个法向量分别为u=(1，2，-2)，v=(-3，-6，6)，则α，β的位置关系为　　　　.  解析：因为u=(1，2，-2)，v=(-3，-6，6)，所以v=(-3，-6，6)=-3(1，2，-2)=-3u，所以v∥u，所以α∥β. 答案：平行 10.(5分)平面α经过点A(0，0，2)且一个法向量n=(1，-1，-1)，则平面α与x轴的交点坐标是　　　　.  解析：设平面α与x轴的交点为B(m，0，0)，因为平面α经过点A(0，0，2)，所以AB⊂平面α.又=(m，0，-2)，平面α的一个法向量n=(1，-1，-1)，所以·n=0，即m×1+(-2)×(-1)=0，解得m=-2，故平面α与x轴的交点坐标是(-2，0，0). 答案：(-2，0，0) 11.(10分)如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明. (1)MN∥平面CC1D1D；(6分) (2)平面MNP∥平面CC1D1D.(4分) 证明：(1)以D为坐标原点，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)， D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1). 由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D， 所以=(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量. 由于=(0，1，-1)，则·=0×2+1×0+(-1)×0=0，所以⊥. 又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D. (2)由(1)知=(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量，由于=(0，2，0)，=(0，1，-1)，则即=(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，所以平面MNP∥平面CC1D1D. 12.(15分)如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.试用向量法证明AP∥平面EFG. 证明：如图，以D为原点，以分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则P(0，0，2)，C(0，2，0)，G(1，2，0)，E(0，1，1)，F(0，0，1)，A(2，0，0)，=(-2，0，2)，=(0，-1，0)，=(1，1，-1). 设平面EFG的一个法向量为n=(x，y，z). ∴即 令x=1，则y=0，z=1，∴n=(1，0，1). ∵n·=1×(-2)+0×0+1×2=0， ∴n⊥. 又AP⊄平面EFG，∴AP∥平面EFG. 13.(15分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC的中点.在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB?若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由. 解：连接OA1，因为AA1=A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC， 又平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABC.连接OB，由AB=BC，得OB⊥AC，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可知，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，AB⊥BC，所以OB=AC=1， 所以O(0，0，0)，A(0，-1，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，)，B(1，0，0)， 则=(0，1，)，=(1，1，0).设平面AA1B的一个法向量为n=(x，y，z)， 则有即令y=1，得x=-1，z=-， 所以n=. 设E(x0，y0，z0)，=λ(0≤λ≤1)，由=(-1，2，)得(x0-1，y0，z0)=λ(-1，2，)，所以所以E(1-λ，2λ，λ)，所以=(1-λ，2λ，λ).由OE∥平面AA1B，得·n=0，即-1+λ+2λ-λ=0，解得λ=.所以在BC1上存在点E使得OE∥平面A1AB，且E为BC1的中点. 105 / 161 学科网（北京）股份有限公司 $$