3.3 空间向量基本定理(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

第2课时　空间向量长度与夹角的坐标表示 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 进一步熟悉空间向量的坐标表示.能利用空间向量的坐标解决一些简单的长度与夹角问题. 1.空间向量的长度 (1)设向量a=(x1,y1,z1),则|a|==. (2)若点A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则|AB|=||=. |微|点|助|解| (1)长度计算公式可以推广为|a±b|==,|a+b+c|= =. (2)求空间中线段的长度即对应空间向量的长度,因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算. 2.空间向量的夹角 设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),cos<a,b>==(a≠0,b≠0). |微|点|助|解| (1)<a,b>∈[0,π]. (2)空间两直线的夹角可转化为两向量的夹角,设直线AB与CD所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>|. 基础落实训练 1.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量与a成60°夹角的是 (　　) A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1) 答案:B 2.已知空间向量a=(0,1,1),b=(-1,0,1),则a与b的夹角为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　因为空间向量a=(0,1,1),b=(-1,0,1),设a与b的夹角为θ,则cos θ===.又因为θ∈[0,π],所以θ=,即a与b的夹角为. 3.已知空间向量a=(2,-1,x),b=(-4,2,6),若a∥b,则|a|等于 (　　) A.3 B. C.2 D. 解析:选B　由题意得==,解得x=-3,则|a|==. 4.已知向量a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值为 (　　) A.-3 B.1 C.-3或1 D.3或1 解析:选C　由题意得=6,4+4y+2x=0,解得或则x+y=1或x+y=-3. 题型(一)　给定坐标求长度与夹角 [例1]　(1)已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为　　　　.  解析:由题知,b-a=(1+t,2t-1,0),∴|b-a|2=(1+t)2+(2t-1)2+02=5t2-2t+2=5+. ∴(|b-a|2)min=.∴|b-a|min=. 答案: (2)若a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°,则λ的值为　　　　.  解析:由题知,a·b=-2-λ-2=-λ-4,|a|==,|b|==,故cos 120°===-,解得λ=17或λ=-1. 答案:17或-1 |思|维|建|模| (1)求空间中线段的长度即对应空间向量的模,因此空间两点间的距离公式就是空间向量的模. (2)求夹角一般应用向量的夹角公式,设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),cos<a,b>=. 　　[针对训练] 1.已知△ABC的顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD等于 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选C　设=λ,又=(0,4,-3),则=(0,4λ,-3λ),又=(4,-5,0),=(-4,4λ+5,-3λ),由·=0,得λ=-.∴=,∴||=5. 2.已知向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),且a∥b,b⊥c. (1)求向量a,b,c; (2)求向量a+c与b+c夹角的余弦值. 解:(1)∵向量a=(x,1,2),b=(1,y,-2),c=(3,1,z),且a∥b,b⊥c, ∴解得x=-1,y=-1,z=1. ∴向量a=(-1,1,2),b=(1,-1,-2),c=(3,1,1). (2)∵a+c=(2,2,3),b+c=(4,0,-1), ∴(a+c)·(b+c)=2×4+2×0+3×(-1)=5, |a+c|==, |b+c|==, ∴向量a+c与b+c夹角的余弦值为==. 题型(二)　建系求长度与夹角 [例2]　如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,N为A1A的中点. (1)求BN的长; (2)求A1B与B1C所成角的余弦值. 解:如图,以{,,}为正交基底建立空间直角坐标系C-xyz. (1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),∴|| = = ,∴线段BN的长为. (2)依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2), ∴=(1,-1,2), =(0,1,2), ∴·=1×0+(-1)×1+2×2=3. 又||=,||=, ∴cos<,>==. 故A1B与B1C所成角的余弦值为. |思|维|建|模| 1.利用向量坐标求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系; (2)利用已知条件写出有关点的坐标,进而获得相关向量的坐标; (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角,并将它转化为异面直线所成的角. 2.利用向量坐标求空间中线段的长度的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系; (2)求出线段端点的坐标; (3)利用两点间的距离公式求出线段的长. [针对训练] 3.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=CD.求cos<,>. 解:如图,建立空间直角坐标系,D为坐标原点, 则有E, F,C1,G,=,=,所以=,=, ·=×0+×+×=.所以cos<,>===. 4.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AB=BC=BB'=2,AB⊥BC,D为AB的中点,点E在线段C'D上,点F在线段BB'上,求线段EF长的最小值. 解:依题意,BA,BC,BB'两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系, 则B(0,0,0),D(0,1,0),B'(0,0,2),C'(2,0,2),则=(2,-1,2),=(0,0,2), 设=λ,λ∈[0,1], 则E(2λ,1-λ,2λ), 设F(0,0,z),0≤z≤2,则=(-2λ,λ-1,z-2λ). 若线段EF的长最小,则必满足EF⊥BB', 则·=0,可得z=2λ, 即=(-2λ,λ-1,0), 因此,||== =≤, 当且仅当λ=时等号成立, 所以线段EF长的最小值为. 题型(三)　坐标法在空间几何体证明中的应用 [例3]　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决如下问题: (1)求的模; (2)求证:BN⊥平面C1MN. 解:(1)因为CC1⊥平面ABC,∠BCA=90°, 以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B,N, 所以=, 则==. (2)证明:由(1)得,C1,B,N,M,则=,=,=,所以·=×1+×+0×1=0, ·=1×1+0×+×1=0, 则⊥,⊥,即BN⊥C1M,BN⊥C1N. 又因为C1M∩C1N=C1,C1M,C1N⊂平面C1MN,所以BN⊥平面C1MN. |思|维|建|模| 建立空间直角坐标系的策略 　　解决此类问题的关键是建立空间直角坐标系,即通过分析几何体的几何特征,建立适当的空间直角坐标系,使尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内,准确地写出各点的坐标,利用向量的运算性质求解. 　　[针对训练] 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是CC1,BC,CD,A1C1的中点. 求证:(1)AB1∥GE,AB1⊥EH; (2)A1G⊥平面EFD. 证明:如图,以A为坐标原点,分别以{,,}为正交基底建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为 1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1).由中点坐标公式,得E,F,G,H. (1)=(1,0,1),=,=.因为=2,·=1×+0+1×=0,所以∥,⊥,所以AB1∥GE(A∉GE),AB1⊥EH. (2)=,=,=.因为·=--0=0,·=+0-=0,所以A1G⊥DF,A1G⊥DE.又因为DF∩DE=D,所以A1G⊥平面EFD. [课时检测] 1.若向量a=(x,-4,-5),b=(1,-2,2),且a与b夹角的余弦值为-,则实数x的值为 (　　) A.-3 B.11 C.3 D.-3或11 解析:选A　由题意得cos<a,b>===-,即=-,解得x=-3. 2.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=,且λ>0,则λ等于 (　　) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:选C　λa+b=λ(0,-1,1)+(4,1,0)=(4,1-λ,λ),由已知得|λa+b|==,且λ>0,解得λ=3. 3.已知=(1,2,3),=(a,b,b-2),若点A,B,C共线,则||= (　　) A. B.2 C.3 D.9 解析:选C　因为点A,B,C共线,所以与共线,所以==,解得a=-2,b=-4,故=(-2,-4,-6),=-=(-3,-6,-9),||==3. 4.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是 (　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析:选C　因为=(3,4,-8),=(2,-3,1),=(5,1,-7),·=10-3-7=0,∴BC⊥AC,而||=,||=5,所以△ABC是直角三角形. 5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,PQ与直线A1D和AC都垂直,则直线PQ与BD1的关系是 (　　) A.异面　　　　　 B.平行 C.垂直不相交 D.垂直且相交 解析:选B　设正方体的棱长为1.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则=(1,0,1),=(-1,1,0).设=(a,b,c),则取=(1,1,-1).∵=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)=-,∴∥,∴PQ∥BD1. 6.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为 (　　) A.7 B.7 C. D. 解析:选B　因为A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),所以=(-2,-1,3),=(1,-3,2),所以||=,||=,所以cos∠BAC===,所以∠BAC=60°,平行四边形面积为2S△ABC,在△ABC中由正弦定理得S△ABC=||×||×sin∠BAC,设平行四边形的面积为S,所以S=××sin 60°=7. 7.定义ab=|a|2-a·b.若向量a=(1,-2,2),向量b为单位向量,则ab的取值范围是 (　　) A.[0,6] B.[6,12] C.[0,6) D.(-1,5) 解析:选B　由题意知|a|=3,|b|=1.设<a,b>=θ,则ab=|a|2-a·b=|a|2-|a||b|·cos θ=9-3cos θ.又θ∈[0,π],∴cos θ∈[-1,1],∴ab∈[6,12]. 8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M在AC1上且=,点N为B1B的中点,则||为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),C1(0,1,1),N,设M(x,y,z),∵点M在AC1上且=,∴(x-1,y,z)=(-x,1-y,1-z),∴x=,y=,z=,即M.又N, ∴||==. 9.(5分)若a=(x,2,2),b=(2,-3,5)的夹角为钝角,则实数x的取值范围是　　　　.  解析:a·b=2x-2×3+2×5=2x+4,设a,b的夹角为θ,因为θ为钝角,所以cos θ=<0,又|a|>0,|b|>0,所以a·b<0,即2x+4<0,所以x<-2,又a,b不会反向,所以实数x的取值范围是(-∞,-2). 答案:(-∞,-2) 10.(5分)在空间直角坐标系中,向量a满足|a|=3,且与向量b=(1,1,1)的夹角的余弦值为,请写出一个向量a的坐标:　　　　.  解析:设a=(x,y,z), 由 得 则向量a的一个坐标为(1,2,2). 答案:(1,2,2)(答案不唯一) 11.(5分)已知向量a=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).在直线AB上,存在一点E,使得⊥a,其中O为坐标原点,则点E的坐标为　　　　　.  解析:设=λ,因为A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),所以=(1,-1,-2),=(λ,-λ,-2λ),=(3,1,-4),=-=(λ-3,-λ-1,-2λ+4),因为⊥a,所以-2(λ-3)+(-λ-1)+(-2λ+4)=0,解得λ=,又A(-3,-1,4),=,所以点E的坐标为. 答案: 12.(10分)已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4). (1)求cos∠BAC;(4分) (2)求△ABC中BC边上中线的长度.(6分) 解:(1)=(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),=(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2), cos∠BAC===-. (2)设BC的中点为D,则点D的坐标为. 又A(-2,0,2),∴=, ∴||===,即△ABC中BC边上中线的长度为. 13.(10分)已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设a=,b=. (1)若|c|=3,且c∥,求向量c;(4分) (2)已知向量ka+b与b互相垂直,求k的值;(4分) (3)求△ABC的面积.(2分) 解:(1)由题意得=(2,1,-2), 因为c∥, 故可设c=(2n,n,-2n), 所以|c|==3|n|=3, 解得n=±1. 故c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2). (2)因为a==(-1,-1,0),b==(1,0,-2), 所以ka+b=(1-k,-k,-2). 由于ka+b与b垂直,得(1-k,-k,-2)·(1,0,-2)=1-k+4=0,解得k=5. (3)由(2)得||=,||=, 由(1)得||=3, 故由余弦定理得cos A==-, 所以sin A==. 故△ABC的面积为·||·||sin A=×××=. 14.(15分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC和△A1B1C1为正三角形,所有的棱长都是2,M是棱BC的中点,则在棱CC1上是否存在点N,使得向量与向量的夹角为45°? 解:以点A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意知A(0,0,0),B1(,1,2),C(0,2,0),B(,1,0),M. 又点N在棱CC1上,可设N(0,2,m)(0≤m≤2), 则=(,1,2),=, 所以||=2,||=, ·=2m-1. 则cos<,>= ==cos 45°=, 解得m=-,这与0≤m≤2矛盾. 所以在棱CC1上不存在点N,使得向量与向量的夹角为45°. 15.(15分)如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA=AB=1,BC=2. (1)求B,F两点间的距离;(4分) (2)求证:EF∥平面PAB;(5分) (3)求证:平面PAD⊥平面PDC.(6分) 解:(1)由题可知,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD, 以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1), 所以E,F,=,||=,即B,F两点间的距离为. (2)证明:由(1)知,=,=(1,0,0), 所以=-,即∥,即EF∥AB, 又AB⊂平面PAB,EF⊄平面PAB, 所以EF∥平面PAB. (3)证明:由(1)知,=(0,0,1),=(0,2,0),=(1,0,0), 所以·=(0,0,1)·(1,0,0)=0, ·=(0,2,0)·(1,0,0)=0, 则⊥,⊥,即AP⊥DC,AD⊥DC, 又AP∩AD=A,且AP,AD⊂平面PAD, 所以DC⊥平面PAD. 又DC⊂平面PDC, 所以平面PAD⊥平面PDC. 105 / 161 学科网（北京）股份有限公司 $$