3.2 第2课时 空间向量的数量积(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3.1　空间向量基本定理 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.类比平面向量基本定理理解空间向量基本定理.掌握判断空间三个向量是否构成基的方法. 2.能通过空间向量的线性运算用基表示向量.会用基证明空间位置关系及直线所成的角. (1)如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量,p是空间任意一个向量,那么存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc. (2){a,b,c}叫作空间向量的一组基,其中a,b,c都叫作基向量. |微|点|助|解| (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基.基选定后,空间的所有向量均可由基唯一表示;不同基下,同一向量的表达式也有可能不同. (2)一组基是一个向量组,一组基向量是指基中的某一个向量,二者是相关联的不同概念. (3)由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基. (　　) (2)若对向量p可找到三个向量a,b,c,使p=xa+yb+zc,则{a,b,c}可构成空间向量的一组基. (　　) (3)对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组(λ1,λ2,λ3),使0=λ1a1+λ2a2+λ3a3. (　　) (4)若{a,b,c}为空间向量的一组基,则a,b,c全不是零向量. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.正方体ABCD-A'B'C'D'中,O1,O2,O3分别是AC,AB',AD'的中点,以{,,}为基,=x+y+z,则x,y,z的值是 (　　) A.1,1,1 B.,, C.,, D.2,2,2 答案:A 题型(一)　基的判断 [例1]　(多选)若{a,b,c}是空间的一组基,则下列各组能构成空间的一组基的是 (　　) A.{a+b,a-b,c} B.{a+b,b+c,c+a} C.{3a-4b,2b-3c,3a-6c} D.{a+b,a+b+c,2c} 解析:选AB　因为a+b,a-b,c是不共面的向量,所以能构成空间的一组基,故A正确; a+b,b+c,c+a是不共面的向量,能构成空间的一组基,故B正确; 因为3a-6c=3a-4b+2(2b-3c),所以3a-4b,2b-3c,3a-6c是共面向量,不能构成空间的一组基,故C错误; 因为a+b=a+b+c-(2c), 所以a+b,a+b+c,2c是共面向量,不能构成空间的一组基,故D错误. |思|维|建|模| 判断给出的三个向量能否构成基的方法 　　判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基,关键是要判断这三个向量是否共面,首先应考虑三个向量是不是零向量,其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断三个向量是否共面,可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程组,若方程组有解,则三个向量共面;若方程组无解,则三个向量不共面. 　　 [针对训练] 1.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成空间向量的一组基的一组向量是 (　　) A.3a,a-b,a+2b B.2b,b-2a,b+2a C.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c 解析:选C　因为a,b,c不共面,故a,2b,b-c也不共面,能构成空间向量的一组基.其他选项皆共面. 题型(二)　用基表示向量 [例2]　如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,设=a,=b,=c,P是CA1的中点,M是CD1的中点.用一组基{a,b,c}表示以下向量: (1);(2). 解:(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,连接AC,AD1, =(+) =(++) =(a+b+c)=a+b+c. (2)=(+)=(+2+) =a+b+c. |思|维|建|模|　用基表示向量的一般步骤 定基 根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一组基 找目标 用确定的基(或已知基)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果 下结论 利用空间的一组基{a,b,c}可以表示出空间内所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量 　 　[针对训练] 2.如图,四棱锥P-OABC的底面为矩形,PO⊥平面OABC,E,F分别是PC和PB的中点.设=a,=b,=c,试用a,b,c表示,,,. 解:如图,连接BO, 则==(+)=(c-b-a)=-a-b+c,=+=-a+=-a+(+)=-a-b+c,=+=+=++(+)=-a+c+(-c+b)=-a+b+c,===a.综上,=-a-b+c,=-a-b+c,=-a+b+c,=a. 题型(三)　利用空间向量基本定理解决几何问题 [例3]　如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,其中以顶点A为端点的三条棱长均为1,且它们彼此的夹角都是60°. (1)求证:AC1⊥DB; (2)求异面直线BD1与AC夹角的余弦值. 解:(1)证明:∵以顶点A为端点的三条棱长均为1,且它们彼此的夹角都是60°, ∴·=·=·=1×1×cos 60°=, ∴·=(++)·(-)=(++)·(-)=·-·+-·+·-=0,∴AC1⊥DB. (2)∵=+-=+-,=+=+, ∴||2= =+++2·-2·-2· =1+1+1+1-1-1=2,即||=, ||= == =,·=(+-)·(+)=-+·+·=1-1++=1,∴cos<,>===,∴异面直线BD1与AC夹角的余弦值为. |思|维|建|模| 用空间向量基本定理解决几何问题的一般思路 (1)选取恰当的基. (2)将所求向量用基表示. (3)将几何问题转化为向量问题: ①将距离和线段长转化为向量的模; ②将线线、线面、面面垂直问题转化为向量垂直问题; ③将空间角问题转化为向量夹角问题. 　　[针对训练] 3.如图,在空间中平移△ABC到△A'B'C',连接对应顶点,设=a,=b,=c,M,E分别是BC',AA'的中点,N是B'C'上一点. (1)若N为B'C'的中点,用向量法证明:AM∥EN; (2)若AB=AC=1,AA'=2,∠BAC=60°,∠ACC'=∠ABB'=90°,是否存在点N使得AM⊥EN?并说明理由. 解:(1)证明:当N为B'C'的中点时,=+=+=+(+)=+(+)=(b+c)+a=(a+b+c), =+=+(+)=+(+)=+[+(-)]=(++)=(a+b+c), 所以AM∥EN. (2)不存在,理由如下: 设=λ,则=+=++=++λ=++λ(-)=a+b+λ(c-b) =a+(1-λ)b+λc. 由于∠ACC'=∠ABB'=90°,故a·b=a·c=0, 所以·=(a+b+c)·=a2+(1-λ)b2+b·c+λc2 =1+(1-λ)+×1×1×+λ=, 即·≠0,故不存在点N使得AM⊥EN. [课时检测] 1.[多选]在空间四点O,A,B,C中,若{,,}是空间向量的一组基,则下列说法正确的是 (　　) A.O,A,B,C四点不共线 B.O,A,B,C四点共面,但不共线 C.O,A,B,C四点不共面 D.O,A,B,C四点中任意三点不共线 解析:选ACD　A正确,若四点共线,则,,共面,构不成基;B错误,C正确,若四点共面,则,,共面,构不成基;D正确,若有三点共线,则这四点共面,,,构不成基. 2.[多选]已知A,B,C,D,E是空间五点,且任何三点不共线.若{,,}与{,,}均不能构成空间的一组基,则下列结论正确的是 (　　) A.{,,}不能构成空间的一组基 B.{,,}不能构成空间的一组基 C.{,,}不能构成空间的一组基 D.{,,}能构成空间的一组基 解析:选ABC　因为{,,}与{,,}均不能构成空间的一组基,且A,B,C,D,E是空间五点,且任何三点不共线,所以空间五点A,B,C,D,E共面,所以这五点A,B,C,D,E中,任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一组基,所以A、B、C正确,D错误. 3.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一点,设=a,=b,=c,则向量可用a,b,c表示为 (　　) A.a-b+2c B.a-b-2c C.-a+b+c D.a-b+c 解析:选D　=+=+=+(-)=a-b+c. 4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点,若AB=a,则MN的长为 (　　) A.a 　　　　B.a C.a 　　　　D.a 解析:选A　设=i,=j,=k,=++=i+j+(-j+k)=i+j+k,故||2=a2+a2+a2=a2,所以MN=a. 5.已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是边CB,OA的中点,点G在线段MN上,且使NG=2GM,用向量,,正确表示向量的是 (　　) A.=++ B.=++ C.=++ D.=++ 解析:选C　根据题意可得=+,由NG=2GM可得=,所以=+=+(+)=+×(+)=×+(+)=++. 6.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=AB=AC=BC=1,M是B1C1的中点,则AM= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　如图,=++=++(-)=++,故||2= =||2+||2+||2+·+·+·,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,易知AA1⊥AC,AA1⊥AB,在△ABC中,由AB=AC=BC,则∠BAC=60°,由AA1=AB=AC=1,则=+1++×1×1×=,则AM=. 7.[多选]如图,已知AO⊥平面OBC,∠BOC=,OA=OB=2,OC=3,E为AB的中点,=3,则以下正确的是 (　　) A.OF= B.EF= C.AB与OC夹角的余弦值为 D.OE与OF夹角的余弦值为 解析:选ABC　因为AO⊥平面OBC,OB,OC⊂平面OBC,所以OA⊥OB,OA⊥OC,所以·=0,· =0,·=||·||cos=-3,在△OAC中,=+=+(-)=+,所以||2===++·=,||=,所以A正确;在△OEF中,=-=+-(+)=-+ ,||2==++-·+·-·=+1+1+1=,即||=,所以B正确;因为=-,·=(-)·=·-·=-3,||==2,cos<,>===-,所以AB与OC夹角的余弦值为,所以C正确;由以上知OF=,EF=,且OE=AB=,在△OEF中,由余弦定理得cos∠EOF==,所以D错误. 8.(5分)已知{a,b,c}是空间的一组基,向量p=3a+b+c,{a+b,a-b,c}是空间的另一组基,向量p=x(a+b)+y(a-b)+c,则x+y=　　　　.  解析:∵p=x(a+b)+y(a-b)+c=(x+y)a+(x-y)b+c,且p=3a+b+c,∴x+y=3. 答案:3 9.(5分)在空间中平移△ABC到△A1B1C1(使△A1B1C1与△ABC不共面),连接对应顶点.设=a,=b,=c,M是BC1的中点,N是B1C1的中点,用基{a,b,c}表示向量+的结果为　　　　.  解析:如图,+=(+)+(+)=++=b+(a+b)+(a+c)=a+b+c. 答案:a+b+c 10. (5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点.则AM与PM的夹角为　　　　.  解析:=+,=-=+---=+---=--,故·=·=-·-·+·--·=×4-×8=0,即⊥,则AM与PM的夹角为90°. 答案:90° 11.(10分)已知{a,b,c}是空间的一组基,且=3a+3b,=2a+4b+2c,=-a+2b+3c,=2a+b-c. (1)求证:A,B,C,D四点共面;(6分) (2){,,}能否作为空间的一组基?若能,试用这一组基表示;若不能,请说明理由.(4分) 解:(1)证明:=-=2a+4b+2c-(3a+3b)=-a+b+2c, =-=-a+2b+3c-(3a+3b)=-4a-b+3c, =-=2a+b-c-(3a+3b)=-a-2b-c. 设=λ+μ,即-a-2b-c=λ(-a+b+2c)+μ(-4a-b+3c), 故解得 即=-+,故A,B,C,D四点共面. (2)不能.理由如下: 设=m+n,则3a+3b=m(2a+4b+2c)+n(-a+2b+3c), 故解得=-, 所以{,,}不能作为一组基. 12.(10分)如图,已知空间四边形ABCD各边的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点. (1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;(5分) (2)求MN的长.(5分) 解:(1)证明:设=p,=q,=r. 由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量两两夹角均为60°. ∵=-=(+)-=(q+r-p),∴·=(q+r-p)·p=(q·p+r·p-p2)=(a2cos 60°+a2cos 60°-a2)=0,∴MN⊥AB, 同理可证MN⊥CD. (2)由(1)可知=(q+r-p). ∴||2=(q+r-p)2=[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)]==×2a2=. ∴||=a,∴MN的长为a. 13.(15分)如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G分别是A'D',DD',D'C'的中点,请选择恰当的基向量证明: (1)EG∥AC;(6分) (2)平面EFG∥平面AB'C.(9分) 证明:取基{,,}. (1)因为=+=+, =+=2,所以∥, 又EG,AC无公共点,所以EG∥AC. (2)因为=+=+,=+=2, 所以∥,又FG,AB'无公共点, 所以FG∥AB'. 又FG⊄平面AB'C,AB'⊂平面AB'C, 所以FG∥平面AB'C. 又由(1)知EG∥AC,由EG⊄平面AB'C,AC⊂平面AB'C,可得EG∥平面AB'C, 又FG∩EG=G,FG,EG⊂平面EFG, 所以平面EFG∥平面AB'C. 105 / 161 学科网（北京）股份有限公司 $$