3.2 第1课时 空间向量运算的坐标表示(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

第2课时　空间向量的数量积 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]　　 [课时目标] 1.了解空间向量的夹角.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义,会求向量的投影向量. 3.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用,掌握利用向量数量积求空间两点间的距离. 1.向量夹角的定义 如图,已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫作向量a与b的夹角,记作<a,b>. 2.规定 (1)向量夹角的范围:[0,π]. (2)①<a,b>=<b,a>; ②当<a,b>=0时,向量a与b方向相同; ③当<a,b>=π时,向量a与b方向相反; ④当<a,b>=时,称向量a,b互相垂直,记作a⊥b. (3)零向量与任意向量垂直. 3.空间向量数量积的定义 已知两个空间向量a,b,把|a||b|cos<a,b>叫作a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>. |微|点|助|解| (1)由定义知,两个非零向量才有夹角,当两个非零向量共线同向时,夹角为0;共线反向时,夹角为π. (2)对空间任意两个非零向量a,b,有: ①<a,b>=<b,a>=<-a,-b>=<-b,-a>; ②<a,-b>=<-a,b>=π-<a,b>. 4.数量积的性质 若a,b是两个非零向量,则a⊥b⇔a·b=0,零向量与任何向量的乘积都为零 若a与b同向,则a·b=|a||b|; 若a与b反向,则a·b=-|a||b|; 特别地,a·a=|a|2或|a|= 若θ为a,b的夹角,则cos θ=(a≠0,b≠0) |a·b|≤|a|·|b| 5.数量积的运算律 交换律 a·b=b·a 分配律 a·(b+c)=a·b+a·c 特别地 (λa)·b=λ(a·b)(λ∈R) 6.投影向量与投影数量 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,过点B作直线OA的垂线,垂足为点B1,称向量为向量b在向量a方向上的投影向量,其长度等于||b|cos<a,b>|. (1)当<a,b>为锐角时,|b|cos<a,b>>0; (2)当<a,b>为钝角时,|b|cos<a,b><0; (3)当<a,b>=时,|b|cos<a,b>=0. 称|b|cos<a,b>为投影向量的数量,也称为向量b在向量a方向上的投影数量. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)向量与的夹角不等于向量与的夹角. (　　) (2)若向量与的夹角为α,则直线AB与CD所成的角也为α. (　　) (3)对空间任意两个非零向量a,b,都有<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>. (　　) 答案:(1)√　 (2)×　 (3)√ 2.[多选]下列各命题中,正确的命题是 (　　) A.=|a| B.m(λa)·b=(mλ)a·b(m,λ∈R) C.a·(b+c)=(b+c)·a D.a2·b=b2·a 解析:选ABC　∵a·a=|a|2,∴=|a|,故A正确;m(λa)·b=(mλa)·b=mλa·b=(mλ)a·b,故B正确;a·(b+c)=a·b+a·c,(b+c)·a=b·a+c·a=a·b+a·c=a·(b+c),故C正确;a2·b=|a|2·b,b2·a= |b|2·a,故D不一定正确. 3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,则a·(b+c)的值为 (　　) A.1 B.0 C.-1 D.-2 解析:选B　由题意可得AB⊥AD,AB⊥AA1, 所以a⊥b,a⊥c,所以a·b=0,a·c=0, 所以a·(b+c)=a·b+a·c=0,故选B. 题型(一)　空间向量的数量积 [例1]　如图,已知空间四边形ABDC的每条棱都等于1,点E,F分别是AB,AD的中点.计算: (1)·;(2)·; (3)·. 解:(1)因为=,由题意, 可知∠ABD=60°,所以<,>=60°, 所以·=· =×1×1×cos60° =×1×1×=. (2)由题意,可知<,>=∠BDC=60°, ·=·=-· =-×1×1×cos<,> =-×1×1×=-. (3)·=(+)·(+)=[·(-)+·+·(-)+·]=[-·-· +(-)·+·]=(-·-·+·-·+·)=×=-. |思|维|建|模| 在几何体中计算空间向量数量积的一般步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入公式a·b=|a||b|cos<a,b>求解. 　　[针对训练] 1.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设=a,=b,=c,则a·(b+c)=　　　,a·(a+b+c)=　　　　,(a+b)·(b+c)=　　　　.  解析:依题意AB,AD,AA'两两互相垂直,所以a·b=a·c=b·c=0.所以a·(b+c)=a·b+a·c=0,a·(a+b+c)=a·a+a·b+a·c=|a|2=1,(a+b)·(b+c)=a·b+b·b+a·c+b·c=|b|2=1. 答案:0　1　1 题型(二)　利用数量积证明垂直问题 [例2]　如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',CD'与DC'相交于点O,连接AO,求证: (1)AO⊥CD'; (2)AC'⊥平面B'CD'. 证明:(1)因为=+=+(+)=(++2),=-,所以·= (++2)·(-)=(·-·+·-·+2·-2·)= (||2-||2)=0,所以⊥,故AO⊥CD'. (2)设正方体的棱长为a,则·=(++)·(+)=·+·+ ·+·+·+·=0+0+0+a2-a2+0=0, 所以⊥,所以AC'⊥B'C. 同理可证AC'⊥B'D'. 又B'C,B'D'⊂平面B'CD',B'C∩B'D'=B', 所以AC'⊥平面B'CD'. |思|维|建|模| 用向量法证明垂直问题的方法 (1)由数量积性质a⊥b⇔a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量a,b(a,b是非零向量),只要证明两个向量的数量积为零即可. (2)用向量法证明线面(面面)垂直,离不开线面(面面)垂直的判定定理,将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明. 　　[针对训练] 2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD. 证明:设AD=a,则AB=2a. 因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥AB, 所以·=·=0, 所以·=(+)·(-) =·-·-+· =-||2+· =-a2+||||cos∠DAB =-a2+2a2×cos 60°=0, 所以⊥,故PA⊥BD. 题型(三)　利用数量积求角的大小 [例3]　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,CA=CB=1,棱AA1=2,求cos<,>的值. 解:因为=-=+-,=+, 所以||2==(+-)2=++=12+22+12=6,||=,||2==(+)2=+=12+22=5,||=,·=(+-)·(+)=-=22-12=3, 所以cos<,>===. [变式拓展] 1.若本例中条件添加N为AA1的中点,则与夹角的余弦值为　　　　　　　.  解析:易得||=,||=,·=·(+)=-=×22-12=1.所以cos<,>===. 答案: 2.若本例中条件不变,异面直线CA1与AB夹角的余弦值为　　　　　　　.  解析:由已知得||=||=1,||=2, ·=·=·=0. 因为||2==(+)2=+=12+22=5,所以||=. 因为||2==(-)2=+=12+12=2,所以||=. 又因为·=(+)·(-)=-=-1,所以cos<,>===-. 所以异面直线CA1与AB夹角的余弦值为. 答案: 　　|思|维|建|模| 求异面直线所成角的大小的一般步骤 取向量 根据题设条件分别取要求夹角的两异面直线的方向向量 转化角 将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 求余弦 利用数量积求向量夹角的余弦值 定结果 异面直线所成的角的余弦值等于相应向量夹角余弦值的绝对值 　 　[针对训练] 3.已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD夹角的余弦值为 (　　) A.- B. C.- D. 解析:选B　设正四面体的棱长为2,易知=(+),=-,∵ABCD为正四面体,∴△ACD,△ABC,△BCD均为正三角形,∴CE=,∴·=·=·=2×2×cos 60°=2×2×=2,=||2=4,∴|cos<,>|= = = ==, 故异面直线CE与BD夹角的余弦值为. 4.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',设=a,=b,=c,则<,=　　　　.  解析:设正方体的棱长为1,且⊥,⊥,⊥,由·=(+)·(+)=·+·+·+·=·=1×1×cos π=-1, 又||==, ||==, 所以cos<,>==-, 又<,>∈[0,π], 所以<,>=. 答案: 题型(四)　利用数量积求线段长度 [例4]　如图,两个正方形ABCD,ABEF的边长都是2,且∠DAF=120°,则CF的长为　　　　.  解析:由题意得CD⊥DA, AB⊥AF,又AB∥CD,故CD⊥AF, 故·=·=0, ·=||·||cos 60°=2×2×=2, 因为=++, 所以==+++2·+2·+2· =4+4+4+0+0+4=16, 故CF=||=4. 答案:4 |思|维|建|模| 求线段长度的步骤 (1)将线段用向量表示; (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量; (3)利用|a|= 得所求长度. 　　[针对训练] 5.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AD=BD=AA1=1,AD⊥BD,∠A1AB=45°,∠A1AD=60°,则线段BD1的长为　　　　　.  解析:由题可得,AD=BD=1,AD⊥BD, 所以AB==,且∠DAB=45°,因为=++ =-++, 所以=(-++)2 =++-2·-2·+2·=||2+||2+||2-2||||cos 45°-2||||cos 45°+2||||cos 60°=2+1+1-2-2+1=1,所以||=1.故线段BD1的长为1. 答案:1 [课时检测] 1.在正四面体ABCD中,点E,F分别是AC,AD的中点,则与的夹角为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:选C　由题意,可得=,所以,=<,>=180°-<,>=180°-60°=120°. 2.在三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则·等于 (　　) A.-2 B.2 C.-2 D.2 解析:选A　·=·(-)=·-·=2×2cos 90°-2×2cos 60°=-2. 3.在空间四边形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,则在方向上的投影向量为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　设AC=2,BD=1,由·=·=0,=++,则·=(++)·=||2,所以在方向上的投影向量为·=·=. 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,CD的中点,则||等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　因为=++=++,所以||2==+ ++·+·+·,因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD,BB1,BC两两互相垂直,所以||==. 5.[多选]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列命题是真命题的是 (　　) A.(++)2=3 B.·(-)=0 C.与的夹角为60° D.正方体的体积为||·(·) 解析:选AB　如图所示,(++)2=(++)2==3,故A为真命题;·(-)=·=0,故B为真命题;连接CD1,易知与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°,故C为假命题;正方体的体积为||||||,故D为假命题. 6.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则集合{y|y=·,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 解析:选A　由题意可知,=+,则·=·(+)=+·.因为棱长为1,AB⊥BPi,所以·=0,所以·=+·=1+0=1,故集合{y|y=·,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为1. 7.[多选]已知空间单位向量,,两两夹角均为60°,=2,=2,则下列说法正确的是 (　　) A.P,A,B,C四点可以共面 B.·(+)=- C.||= D.cos<,>= 解析:选BC　因为单位向量,,两两夹角均为60°,所以·=·=·=1×1×cos 60°=,假设P,A,B,C四点可以共面,则,,共面,所以存在x,y,使得=x+y,分别用,,与=x+y的等式两边相乘,则该方程组无解,所以不存在x,y,使得,,共面, 故P,A,B,C四点不共面,故A错误;·(+)=·(-+-)=·(2--)=1--1=-,故B正确;由=2得=,由=2得-=2-2⇒=,所以=-=,则||2=(+-)2=(+++2·-2·-2·=(1+1+1+1-1-1)=,即||=,故C正确;=-=,所以·=-=-=-,故cos<,><0,故D错误. 8.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则·=　　　　.  解析:如图,=-,=-=-,∴·=(-)·(-)=·-·-·+||2=0-0-0+a2=a2. 答案:a2 9.(5分)设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD是　　　　三角形.  解析:∵·=(-)·(-)=·-·-·+=>0,同理,·>0,·>0,∴△BCD的三个内角均为锐角.∴△BCD为锐角三角形. 答案:锐角 10.(5分)在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,如图所示,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD,M为AD的中点,则异面直线BM与CD夹角的余弦值为　　　　　.  解析:设AB=BC=CD=1,由题意得=(+)=(++),所以||2=(++)2=(++)=,·=(++)·==.设异面直线BM与CD的夹角为θ,则cos θ===. 答案: 11.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,且AB=2AD=2,PA=2,∠PAB=∠PAD=. (1)求线段PC的长度;(3分) (2)求异面直线PC与BD夹角的余弦值;(5分) (3)若E为AB的中点,证明:PA⊥ED.(2分) 解:(1)∵=+=++,∴=+++2·+2·+2·=4+4+1-2×2-2×1=3,∴||=,∴线段PC的长度为. (2)∵·=(++)·(-)=·-·+·-·+·-·=-1×2×-2×2+1×1+2×2×+0-0=-2,||=, ∴cos<,>===-, 故异面直线PC与BD夹角的余弦值为. (3)证明:∵E为AB的中点,∴AD=AE, ∵·=·(-)=·-·=2×1×-2×1×=0, ∴⊥,即PA⊥ED. 12.(15分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=,BB1=AD=2AB=2BC=2,E是线段B1D上的点,且=2. (1)求||的长;(7分) (2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值.(8分) 解:(1)因为=2,所以=+=++, ||2= =+++·+·+·=+×4+×4+×1×2×+×0+×2×2×=,故||=. (2)因为=++=-, ||= ==, 所以·=· =·+·+--·-· =0+×2×2×+×22-×12-×2×1×-0=1, 所以cos<,>===. 故异面直线AE与CD所成角的余弦值为. 13.(15分)如图,在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,底面ABCDEF是正六边形,设=a,=b,=c. (1)用a,b,c分别表示,;(5分) (2)若cos∠BAA1=cos∠FAA1=,AB=2,AA1=4,求: ①·;(5分) ②||.(5分) 解:(1)如图,连接AD,因为六边形ABCDEF为正六边形,所以+=,则=2a+2b, 所以=-=2a+2b-c,=+=-=2a+b-c. (2)因为六边形ABCDEF为正六边形,所以∠BAF=.又cos∠BAA1=cos∠FAA1=,AB=2,AA1=4, 所以|a|=|b|=2,|c|=4,a·b=|a||b|cos=-2,a·c=b·c=|a||c|×=2. ①·=(2a+b-c)·(2a+2b-c)=4a2+2b2+c2+6a·b-3b·c-4a·c=16+8+16-12-6-8=14. ②因为=++=-+=2a+2b-a+c=a+2b+c, 所以||2=(a+2b+c)2 =a2+4b2+c2+4a·b+4b·c+2a·c =4+16+16-8+8+4=40,故||=2. 　　　 　 105 / 161 学科网（北京）股份有限公司 $$