2.3.2 抛物线的简单几何性质(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

3.2　抛物线的简单几何性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　　　　　　　 　[课时目标] 1.了解并掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点等).能利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程. 2.拓展抛物线的几何性质，灵活应用抛物线定义解决一些简单的应用问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　 四种形式的抛物线的几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 准线方程 x=- x= y=- y= 顶点坐标 (0，0) 离心率 e=1 通径长 2p |微|点|助|解| (1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平. (2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线x2=2py(p>0)有一条对称轴为y轴. (　　) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心. (　　) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同. (　　) (4)抛物线x2=4y，y2=4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同. (　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2.若点(m，n)在抛物线y2=-13x上，则下列点一定在该抛物线上的是 (　　) A.(-m，-n) B.(m，-n) C.(-m，n) D.(-n，-m) 解析:选B　由抛物线关于x轴对称易知，点(m，-n)一定在该抛物线上. 3.抛物线x=8y2的通径长为 (　　) A.8 B.4 C. D. 解析:选C　抛物线x=8y2，即y2=x，可得2p=，因此通径长为.故选C. 题型(一)　由抛物线的性质求其标准方程 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 解:椭圆的方程可化为+=1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即=3， ∴p=6， ∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x， 其准线方程分别为x=-3和x=3. 　　|思|维|建|模| 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 开口 由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负 关系 顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴 定值 焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1 　　[针对训练] 1.(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，-3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程； (2)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程. 解:(1)因为顶点在原点，焦点在y轴上，点M(m，-3)位于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下. 设所求抛物线方程为x2=-2py(p>0)，则焦点为F. 因为M(m，-3)在抛物线上且|MF|=5， 故解得 故m=±2，抛物线方程为x2=-8y，准线方程为y=2. (2)由题意，可设抛物线的方程为y2=2ax(a≠0)，则焦点为F，直线l:x=，所以直线l与抛物线的交点的坐标分别为，所以|AB|=2|a|.因为△OAB的面积为4，所以··2|a|=4，所以a=±2.故所求抛物线的标准方程为y2=4x或y2=-4x. 题型(二)　抛物线的焦点弦问题 1.抛物线的焦点弦公式 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 焦点弦 x1+x2+p p-x1-x2 y1+y2+p p-y1-y2 2.当焦点弦垂直于对称轴时，其长度为2p，为最短焦点弦长，称为通径. 3.有关抛物线的焦点弦的结论 如图，AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l. (1)x1x2=，y1y2=-p2； (2)以弦AB为直径的圆与准线相切； (3)|AB|=x1+x2+p=2==2p(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)； (4)+=为定值(F是抛物线的焦点). [例2]　设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8.求l的方程. 解题观摩:法一:利用|AB|=x1+x2+p求解 由题意，得F(1，0)，设直线l的方程为y=k(x-1)(k>0). A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0，故x1+x2=.所以|AB|=x1+x2+2=. 由题设知=8，解得k=-1(舍去)或k=1. 因此直线l的方程为y=x-1. 法二:弦长公式的应用　由题意得F(1，0)，设直线l的方程为y=k(x-1)(k>0). A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，Δ=16k2+16>0. |AB|=·=，由=8，解得k=-1(舍去)或k=1.因此直线l的方程为y=x-1. 法三:利用|AB|=求角　设直线l的倾斜角为α，则焦点弦|AB|===8，解得sin2α=，即sin α=.因为斜率k>0，所以k=tan α=1.而抛物线焦点为F(1，0)，故直线l的方程为x-y-1=0. 法四:利用|AB|=2p求解　由焦点弦的性质得|AB|=2p=4×=8.所以k2=1，k=1，故直线l的方程为x-y-1=0. |思|维|建|模| (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解. (2)在求解焦点弦长时，有多种公式可以运用，在选择、填空题的求解中可以灵活选择，从而实现快速求解. 　　[针对训练] 2.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·=-12，则抛物线C的方程为 (　　) A.x2=8y B.x2=4y C.y2=8x D.y2=4x 解析:选C　设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，直线AB的方程为x=my+，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2=，y1y2=-p2，得·=x1x2+y1y2=-p2=-p2=-12，得p=4(舍负)，即抛物线C的方程为y2=8x. 3.过抛物线C:y2=8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|=6，则|BF|等于 (　　) A.9或6 B.6或3 C.9 D.3 解析:选D　法一　设点A为第一象限内的点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，y1>0，则由题意可得F(2，0)，|AF|=x1+2=6，则x1=4，由=8x1，得y1=4，所以kAB==2，直线AB的方程为y=2(x-2)，将直线AB的方程代入y2=8x化简得x2-5x+4=0，所以x2=1，所以|BF|=x2+2=3. 法二　由抛物线焦点弦的性质可得，+=，所以=-=，可得|BF|=3. 4.如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|=4，则线段AB的长为 (　　) A.5 B.6 C. D. 解析:选C　如图，过点A作AD⊥l，|AD|=|AF|=|AC|=4，则∠ACD=30°，∠AFx=60°，则p+2=4，所以p=2，因为+=，|AF|=4，所以|BF|=，所以|AB|=|AF|+|BF|=4+=. 题型(三)　抛物线几何性质的简单应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点. (1)过F作垂直于x轴的直线与抛物线C交于A，B两点，△AOB的面积为2.求抛物线C的标准方程； (2)抛物线上有M，N两点，若△MON为正三角形，求△MON的边长. 解:(1)由抛物线方程知F，AB为抛物线的通径，则|AB|=2p，∴S△AOB=|OF|·|AB|=××2p=p2=2，解得p=2(舍负)， ∴抛物线C的标准方程为y2=4x. (2)∵△MON为正三角形，∴|OM|=|ON|=|MN|，由抛物线对称性可知MN⊥x轴， 设MN:x=t，则y2=2pt，解得y1=，y2=-，∴|MN|=2，∴tan 30°===，解得t=6p， ∴|MN|=4p，即△MON的边长为4p. |思|维|建|模| 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围:解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点:解决焦点弦问题. [针对训练] 5.F为抛物线C:y2=12x的焦点，直线x=1与抛物线交于A，B两点，则∠AFB为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:选C　抛物线C:y2=12x中x=1时可得y=±2，且F(3，0)，则A(1，2)，B(1，-2)，取H(1，0)(如图)，∴tan∠AFH===，∴∠AFH=60°，由对称性可知∠AFB=120°. 6.焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上有一点P(2，2p)，O为坐标原点，则满足|MP|=|MO|=|MF|的点M的坐标为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　将点P的坐标代入抛物线中得(2p)2=2p×2，解得p=1，则P(2，2)，所以OP的斜率为1，且OP的中点为(1，1)，则OP的垂直平分线方程为y-1=-(x-1)，即x+y-2=0，又OF的垂直平分线方程为x=，又|MP|=|MO|=|MF|，则点M为OP的垂直平分线和OF的垂直平分线的交点，所以点M的坐标为. [课时检测] 　　　　　　　　　　　 　　　　　 1.对于抛物线y=4x2，下列描述正确的是 (　　) A.开口向上，焦点为(0，1) B.开口向上，焦点为 C.开口向右，焦点为(1，0) D.开口向右，焦点为 解析:选B　由抛物线y=4x2，得抛物线标准方程为x2=y，2p=，故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为. 2.[多选]以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为 (　　) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 解析:选CD　设抛物线方程为x2=2py(p>0)或x2=-2py(p>0)，2p=8，p=4.∴抛物线方程为x2=8y或x2=-8y. 3.已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是 (　　) A.y2=±2x B.y2=±2x C.y2=±4x D.y2=±4x 解析:选D　由已知可知双曲线的焦点为(-，0)，(，0).设抛物线方程为y2=±2px(p>0)，则=，所以p=2，所以抛物线方程为y2=±4x.故选D. 4.抛物线y2=4x与直线2x+y-4=0交于A，B两点，F是抛物线的焦点，则|FA|+|FB|等于 (　　) A.2 B.3 C.5 D.7 解析:选D　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|FA|+|FB|=x1+x2+2. 由得x2-5x+4=0， ∴x1+x2=5，x1+x2+2=7.故选D. 5.设倾斜角为α的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点，设点A在x轴上方，点B在x轴下方.若=2，则cos α的值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　过A，B分别作准线的垂线交准线于M，N，过B作BD⊥AM于D，则|AD|=|AM|-|BN|，由抛物线的性质可得，|AM|=|AF|，|BN|=|BF|，因为=2， 所以|AB|=3|BF|，所以=====cos∠DAB，即cos α=. 6.已知直线l:y=x-与拋物线C:y2=2px(p>0)交于A，B两点，若△AOB(O为坐标原点)的面积为，则p= (　　) A. B.1 C.2 D. 解析:选D　由题知直线l:y=x-过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，所以联立方程得x2-3px+=0，显然Δ>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=3p， 所以|AB|=x1+x2+p=4p， 因为原点O到直线l的距离为d==p， 所以S△AOB=×4p×p=， 解得p=(舍负). 故选D. 7.[多选]设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2=4x上两点，O是坐标原点，若OA⊥OB，则下列结论正确的为 (　　) A.y1y2为定值 B.直线AB过抛物线y2=4x的焦点 C.S△AOB的最小值为16 D.O到直线AB距离的最大值为4 解析:选ACD　∵OA⊥OB，∴kOAkOB=·=·==-1，∴y1y2=-16，故A正确；设直线AB:x=my+b，代入y2=4x，得y2-4my-4b=0，∴y1y2=-4b=-16，即b=4，∴直线AB过点(4，0)，而抛物线y2=4x的焦点为(1，0)，故B错误；∵|y1-y2|==≥8，当m=0时，等号成立，又直线AB过点(4，0)，∴(S△AOB)min=×4×8=16，故C正确；∵直线AB过点(4，0)，∴O到直线AB距离的最大值为4，故D正确.故选ACD. 8.(5分)已知抛物线y2=2px(p>0)，直线x=m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1+y2=　　　　.  解析:因为抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称，x=m与x轴垂直，故y1=-y2，即y1+y2=0. 答案:0 9.(5分)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2+y2=4相交的公共弦长为2，则抛物线的方程为　　　　　　　　.  解析:设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0)，与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，由对称性，知x1=x2，y2=-y1，则|y1|+|y2|=2，即y1-y2=2y1=2，所以y1=，把y1=代入x2+y2=4，得x1=±1，所以点(1，)在抛物线y2=2px上，点(-1，)在抛物线y2=-2px上，可得p=. 于是所求抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x. 答案:y2=3x或y2=-3x 10.(5分)过抛物线x2=4y的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为　　　　.  解析:抛物线x2=4y的焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1，直线l的倾斜角为，设直线l与抛物线交于M，N两点，则直线l的方程为y=-x+1，代入x2=4y得y2-6y+1=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1+y2=6，故所求弦长为|MN|=|MF|+|NF|=y1+y2+2=8. 答案:8 11.(5分)O为坐标原点，F为抛物线C:y2=4x的焦点，P为抛物线C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为　　　　.  解析:由y2=4x知焦点F(，0)，准线x=-.设P点坐标为(x0，y0)，则x0+=4，∴x0=3，∴=4 ×3 =24，∴|y0|=2，∴S△POF=××2=2. 答案:2 12.(5分)直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x+=0的距离为　　　　　　　.  解析:易知直线4kx-4y-k=0过抛物线y2=x的焦点，所以AB为焦点弦. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点坐标为. 又|AB|=x1+x2+=4，所以=. 故AB的中点到直线x+=0的距离为+=. 答案: 13.(10分)已知点P(2，0)，点Q在曲线C:y2=2x上. (1)若点Q在第一象限内，且|PQ|=2，求点Q的坐标；(5分) (2)求|PQ|的最小值.(5分) 解:(1)设Q(x，y)(x>0，y>0)，则y2=2x， 由已知条件得|PQ|==2. 将y2=2x代入上式，并变形得x2-2x=0， 解得x=0(舍去)或x=2. 当x=2时，y=±2，只有x=2，y=2满足条件， 所以Q(2，2). (2)设Q(x，y)，则|PQ|=， 其中y2=2x，所以|PQ|2=(x-2)2+2x=x2-2x+4=(x-1)2+3(x≥0). 所以当x=1时，|PQ|min=. 14.(15分)在平面直角坐标系xOy中，直线l经过抛物线E:y2=12x的焦点F，且与E相交于A，B两点，直线OB交E的准线于点C. (1)若|AB|=15，求直线l的方程；(10分) (2)证明:直线AC平行于x轴.(5分) 解:(1)抛物线E:y2=12x的焦点为F(3，0)，准线方程为x=-3， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义， 得|AB|=|AF|+|BF|=x1+3+x2+3=x1+x2+6=15，所以x1+x2=9. 当直线l的斜率不存在时，x1+x2=6，不符合要求，故直线l的斜率存在. 设直线l的方程为y=k(x-3)，联立方程y2=12x，得k2x2-(6k2+12)x+9k2=0， 则x1+x2==9，解得k=±2， 所以直线l的方程为2x-y-6=0或2x+y-6=0. (2)证明:由(1)得直线OB的方程为y=x=x， 令x=-3，可得yC=-. 设直线l的方程为x=my+3， 代入方程y2=12x，得y2-12my-36=0， 所以y1y2=-36，所以yC=-=y1. 所以直线AC平行于x轴. 15.(15分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，P(1，m)是抛物线C上的一点，且|PF|=2. (1)若抛物线C的焦点也是椭圆C':+=1的一个焦点，求椭圆C'的方程；(5分) (2)设抛物线C与(1)中所求椭圆C'的交点为A，B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程.(10分) 解:(1)由题意知|PF|=1+=2，解得p=2. 故抛物线C的方程为y2=4x，其焦点为(1，0). 所以椭圆C'的一个焦点为(1，0)， 所以4-n=1，所以n=3， 故所求椭圆的方程为+=1. (2)由消去y得到3x2+16x-12=0，解得x1=，x2=-6(舍去). 不妨设A在第一象限内， 所以A，B， 则双曲线的渐近线方程为y=±x. 因此可设双曲线方程为6x2-y2=λ(λ≠0). 由点P(1，m)在抛物线C:y2=4x上， 解得m2=4，所以P(1，±2). 因为点P在双曲线上，所以6-4=λ=2， 故所求双曲线方程为3x2-=1. 130 / 141 学科网（北京）股份有限公司 $$