1.1.1&1.1.2 第1课时 直线的倾斜角和斜率(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

　直线与圆 §1　直线与直线的方程　　　　　 　　1.1　一次函数的图象与直线的方程 　　1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系　 第1课时　直线的倾斜角和斜率 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 　　　　　　　　　 　[课时目标] 1.结合图形，探索确定直线位置的几何要素：点和方向. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.掌握过两点的直线斜率的计算公式. 逐点清(一)　直线的倾斜角 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角.通常倾斜角用α表示 范围 当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.因此，直线的倾斜角α的取值范围为[0，π) |微|点|助|解| (1)每一条直线都有唯一的倾斜角与之对应. (2)直线的倾斜角是对直线方向的定量刻画，是对直线的倾斜程度的刻画，是相对于x轴正向位置的刻画，如图. 倾斜角 α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° 直线 平行(重合)于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 直线的倾斜角刻画了直线的倾斜程度，倾斜角越接近，倾斜程度越大. [微点练明] 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有唯一的倾斜角. (　　) (2)一条直线的倾斜角可以为-30°. (　　) (3)倾斜角为0°的直线有无数条. (　　) (4)若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1). (　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.如图，直线l与y轴正向之间的夹角为30°，则直线的倾斜角为 (　　) A.30° B.60° C.45° D.不确定 解析：选B　由倾斜角的定义可得，该直线的倾斜角为90°-30°=60°. 3.若直线l经过第二、三、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　　) A.0°≤α<90° B.90°≤α<180° C.90°<α<180° D.0°≤α<180° 解析：选C　因为直线l经过第二、三、四象限，所以直线l的斜率小于0，所以直线l的倾斜角为钝角，故选C. 4.已知直线l1的倾斜角α1=15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为　　　　.  解析：设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC=120°，所以α2=120°+α1=135°. 答案：135° 逐点清(二)　直线的斜率 　　　　　　　　　　　　　　　　 [多维理解] 　　称k=(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率. |微|点|助|解| (1)k的值与两点P1，P2的位置无关. (2)当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，倾斜角为90°. (3)当直线l与x轴不垂直时，斜率存在且唯一. (4)当直线与x轴平行或重合时，k=0. (5)常用斜率表示直线的倾斜程度. [微点练明] 1.若过点P(-2，m)和Q(m，4)的直线斜率不存在，则m的值等于 (　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案：D 2.已知经过两点(5，m)和(2，8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是 (　　) A.(2，8) B.(8，+∞) C.(11，+∞) D.(-∞，11) 解析：选C　由题意得>1，解得m>11. 3.满足下列条件的直线的斜率是否存在?若存在，求其斜率. (1)经过点A(2，3)，B(4，5); (2)经过点C(-2，3)，D(2，-1); (3)经过点P(-3，1)，Q(-3，10); (4)经过点M(a，2)，N(3，6). 解：(1)存在.直线AB的斜率kAB==1. (2)存在.直线CD的斜率kCD==-1. (3)不存在.因为xP=xQ=-3. (4)当a=3时，斜率不存在;当a≠3时，直线MN的斜率kMN=. 逐点清(三)　直线斜率的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 [典例]　已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a). (1)若A，B，C三点在同一直线上，求实数a的值; (2)若点A不在直线BC上，求实数a的取值范围. 解：(1)∵A，B，C三点共线，∴kAB=kBC， 即=，解得a=2或a=. (2)当A，B，C三点共线时，a=2或a=， 那么当A，B，C三点不共线， 即点A不在直线BC上时，a≠2且a≠. 故实数a的取值范围为∪∪(2，+∞). |思|维|建|模| (1)判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在. (2)若三点共线，则任意两点连线的斜率不一定相等，也可能都不存在.若斜率相等，说明有公共点，才能得出三点共线. 　　[针对训练] 1.已知a>0，平面内三点A(0，-a)，B(1，a2)，C(3，2a3)共线，则a=　　　　　　　.  解析：因为A，B，C三点共线，所以kAB=kAC，故a2+a=，整理得2a3-3a2-2a=0，即a(2a+1)(a-2)=0，解得a=0或a=-或a=2.因为a>0，所以a=2. 答案：2 2.判断下列三点是否在同一条直线上. (1)A(-3，1)，B(2，-4)，C(3，0); (2)D(5，-1)，E(-1，2)，F(-5，4). 解：(1)因为kAB==-1， kAC==-， 所以kAB≠kAC， 所以A，B，C三点不在同一条直线上. (2)因为kDE==-， kDF==-， 所以kDE=kDF. 又直线DE与直线DF有公共点D， 所以D，E，F三点在同一条直线上. [课时检测] 　　　　　　　　　　　 　　　　　 1.[多选]图中α能表示直线l的倾斜角的是 (　　) 答案：AC 2.[多选]下列说法正确的是 (　　) A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率，则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案：ABC 3.如图，直线l的倾斜角为 (　　) A.60° B.120° C.30° D.150° 解析：选D　由题图易知l的倾斜角为45°+105°=150°. 4.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是 (　　) A.(4，2)与(-4，1) B.(0，3)与(3，0) C.(3，-1)与(2，-1) D.(-2，2)与(-2，5) 解析：选D　对于D，因为x1=x2=-2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在. 5.已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB=4，则点B的坐标为 (　　) A.(2，0)或(0，-4) B.(2，0)或(0，-8) C.(2，0) D.(0，-8) 解析：选B　设点B的坐标为(x，0)或(0，y)，所以kAB=或kAB=，即=4或=4，解得x=2或y=-8，所以点B的坐标为(2，0)或(0，-8). 6.已知直线l的倾斜角为θ-25°，则角θ的取值范围为 (　　) A.25°≤θ≤155° B.-25°≤θ≤155° C.0°≤θ≤180° D.25°≤θ<205° 解析：选D　因为直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°，所以由0°≤θ-25°<180°得25°≤θ<205°. 7.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析：选B　设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得点A'(a-2，b+2)，于是直线l的斜率k=kAA'==-1. 8.[多选]下列各组中，三点不能构成三角形的三个顶点的为 (　　) A.(1，3)，(5，7)，(10，12) B.(-1，4)，(2，1)，(-2，5) C.(0，2)，(2，5)，(3，7) D.(1，-1)，(3，3)，(5，7) 解析：选ABD　当三点共线时，不能构成三角形，A，B，C，D四个选项中，A，B，D中的三点共线，故选ABD. 9.若三点A(2，-3)，B(4，3)，C(5，b)在同一直线上，则实数b等于 (　　) A.-12 B.-6 C.6 D.12 解析：选C　因为kAB=kAC，又kAB==3，kAC==，所以3=，即b=6. 10.设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为 (　　) A.α+40° B.α-140° C.140°-α D.α+40°或α-140° 解析：选D　根据题意，画出图象，如图所示. 因为0° ≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α+40°;当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°+α-180°=α-140°.故选D. 11.已知三点A(x，2x)，B(1，0)，C(3x，x)，若直线AB的斜率为1，则直线BC的斜率为　　　.  解析：由kAB==1，解得x=-1，则点C为(-3，-1).所以kBC==. 答案： 12.若直线l向上的方向与y轴的正方向成40°角，则直线l的倾斜角为　　　　　　　　.  解析：如图，直线l有两种情况，故直线l的倾斜角为50°或130°. 答案：50°或130° 13.若三点A(3，3)，B(a，0)，C(0，b)(其中ab≠0)共线，则+=　　　　.  解析：由于A(3，3)，B(a，0)，C(0，b)三点共线且a≠0，b≠0，显然AB，AC的斜率存在，则kAB=kAC，所以=，所以ab=3a+3b，所以+=. 答案： 14.(10分)设过点A的直线的斜率为k，分别根据下列条件写出直线上另一点B的坐标(答案不唯一)： (1)k=4，A(1，2);(2分)(2)k=-2，A(-2，-3);(2分) (3)k=-，A(2，-4);(3分) (4)k=，A(-3，2).(3分) 解：(1)取点B(0，y)，由=4， 得y=-2，则点B为(0，-2). (2)取点B(0，y)，由=-2， 得y=-7，则点B为(0，-7). (3)取点B(0，y)，由=-， 得y=-1，则点B为(0，-1). (4)取点B(0，y)，由=， 得y=6，则点B为(0，6). 15.(10分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y=x3的图象上任意三个不同的点.求证：若A，B，C三点共线，则x1+x2+x3=0. 证明：由题意得kAB=，kAC=， ∵A，B，C三点共线，∴kAB=kAC， ∴=， ∴+x1x2+=+x1x3+， ∴(x2-x3)(x1+x2+x3)=0. ∵x2≠x3，∴x1+x2+x3=0. 120 / 154 学科网（北京）股份有限公司 $$