精品解析：辽宁省抚顺市清原县湾甸子镇中学2024--2025学年下学期九年级3月数学月考试卷

2025年辽宁省抚顺市清原县湾甸子镇中学 九年级3月数学月考 （本试卷共23小题，满分120分，考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．） 1. 如图是由7个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）． A. B. C. D. 2. 在标准大气压下，钨、萘、冰、固态氢四种晶体的熔点如表： 晶体 钨 萘 冰 固态氢 熔点 3410 0 其中熔点最低的晶体为（ ） A. 钨 B. 萘 C. 冰 D. 固态氢 3. 2024年辽宁省组织实施的大中型灌区新建及现代化改造项目，计划投资总额达亿元，其中增发国债资金亿元．将用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，矩形中，点E在上，平分，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 中国瓷器，积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分.瓷器上的图案设计精美，极富变化.下面瓷器图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，对角线与相交于点，过点作交于点，连接，则的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的对角线在直线上，点A在第一象限．若正方形的面积是50，则点A的坐标为（ ）． A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分式方程的解是 ______ ． 12. 点在x轴的上方，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离，则x的取值范围是______． 13. 如图，已知，和相交于，若，则______． 14. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接，若，则a的值是_______． 15. 如图，在菱形中，，按如下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M、N；连接，若恰好经过点A，与交于点E，连接．则_____，的长为_____（用含a的代数式表示）． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某班为了丰富学生的课外活动和体育健身，计划购买10个足球和20根跳绳，共花费980元，其中足球的价格是跳绳价格的3倍多8元． （1）求跳绳和足球的单价； （2）在实际课外活动中，发现如果全班同学根据自身的爱好总有部分学生无法玩足球或跳绳，若使用剩余班费233元，并要求至少购买一个足球，那么最多可购买多少根跳绳？ 18. 辽宁省教育厅印发《辽宁“六地”红色文化资源融入思政课教学的实施方案》，阐释辽宁“六地”内涵和育人功能，充分发挥辽宁红色文化资源重要作用，讲好辽宁红色故事，传承红色基因．为了解学生对“辽宁红色文化”的掌握情况，某校特地举办了一场比赛，学校从两个年级分别随机抽取了20名学生的成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 信息一：七年级20名学生的成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． 信息二：八年级20名学生的成绩条形统计图如图所示： 信息三：七、八年级抽取的学生的成绩的平均数、众数、中位数如下表： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 n 7 八年级 m 8 p 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“辽宁红色文化”的掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级共有400名学生参加了此次比赛，估计八年级学生参加此次比赛成绩合格的学生人数． 19. 鞍山市千山风景区某商店准备销售一种新款便携式多功能旅行背包，计划从厂家以每个元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为元时，月均销量为个，售价每增加元，月均销量就相应减少个． （1）求出月销售量（件）与销售单价（元）满足的函数关系式， （2）这种书包的销售利润有可能达到元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 20. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A 的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）如图2，张亮站在摄像头前水平距离的点G 处，恰好能被识别（头的顶部在仰角线）， 求张亮的身高约是多少厘米； （2）夕夕身高，头部高度为，踮起脚尖可以增高，此时夕夕能被识别吗?请计算说明．（精确到，参考数据：，） 21. 如图1，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，点在延长线上，且． （1）求证：为的切线； （2）如图2，连接，若，求的长． 22. 数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究 如图2，若，求证：； （2）尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； （3）创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点P与点Q互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． （1）点与点互为“等和点”，求b的值； （2）点与点都在直线上，且点C与点D互为“等和点”，求k的值； （3）直线在第一象限的部分记为图象，抛物线在的部分记为图象，点E在图象上，点F在图象上． ①若，点E与点F互为“等和点”且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标； ②若在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年辽宁省抚顺市清原县湾甸子镇中学 九年级3月数学月考 （本试卷共23小题，满分120分，考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．） 1. 如图是由7个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：此几何体的主视图从左往右分3列，小正方形的个数分别是2，1，2， 故主视图为： 故选：B． 2. 在标准大气压下，钨、萘、冰、固态氢四种晶体的熔点如表： 晶体 钨 萘 冰 固态氢 熔点 3410 0 其中熔点最低的晶体为（ ） A. 钨 B. 萘 C. 冰 D. 固态氢 【答案】D 【解析】 【分析】根据负数小于0，正数大于0即可得出比较结果．本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：， 熔点最低的晶体为固态氢， 故选：D． 3. 2024年辽宁省组织实施的大中型灌区新建及现代化改造项目，计划投资总额达亿元，其中增发国债资金亿元．将用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图，矩形中，点E在上，平分，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得，由角的数量关系可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析各选项中的计算结果，利用计算公式进行计算即可得到正确选项． 【详解】解：A选项中，； B选项中，; C选项正确； D选项中，; 故选：C． 【点睛】本题综合考查了同底数幂的乘法计算、同底数幂的除法计算、幂的乘方运算、积的乘方运算、完全平方公式等内容，解决本题的关键是牢记对应法则和公式即可． 6. 甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查树状图法与列表法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两次传球后，球回到甲、乙、丙、丁手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．解题的关键是掌握知识点：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图得： ∵共有种等可能的结果，经过次传球后，球回到甲手中的有种情况，回到乙手中的有种情况，回到丙手中的有种情况，回到丁手中的有种情况， ∴经过次传球后，球回到甲手中的概率是， 球回到乙手中的概率是， 球回到丙手中的概率是， 球回到丁手中的概率是， ∵， ∴第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是甲． 故选：A． 7. 中国瓷器，积淀了深厚的文化底蕴，是中国传统艺术文化的重要组成部分.瓷器上的图案设计精美，极富变化.下面瓷器图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：B． 8. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，列出方程组即可． 【详解】解：设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为 ； 故选A． 9. 如图，在中，，，对角线与相交于点，过点作交于点，连接，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，牢记各性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质，可得，由于，根据线段垂直平分线的性质，可知，则的周长为与之和，即可得解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 为的垂直平分线， ， 的周长 ， 故选：． 10. 如图，正方形的对角线在直线上，点A在第一象限．若正方形的面积是50，则点A的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，一次函数图象上的点的特征，勾股定理，熟练作辅助线构造一线三垂直全等模型是解题的关键．作，交的延长线于点F，作轴于点M，轴于点N．证明是等腰直角三角形，得出，再证明，得出，，利用正方形的面积是50，得出，设，利用，得出，则可得，利用中点即可求出点的坐标． 【详解】解：作，交的延长线于点F，作轴于点M，轴于点N． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，轴，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵正方形的面积是50， ∴， ∴， ∵点B在直线上，设， ∴，， ∴，即， 解得（正值舍）， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即． 故选：A． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分式方程的解是 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程两边同时乘得：， 解得， 检验：把代入得：， 原分式方程的解是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 12. 点在x轴的上方，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B，点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移表示出点B的坐标，再根据点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离列不等式求解即可． 【详解】解：∵点在x轴的上方，将点A向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到点B， ∴，即，且即， ∴，， ∵点B到x轴的距离大于点B到y轴的距离， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了点的平移、点到坐标轴的距离、解不等式、取绝对值等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键． 13. 如图，已知，和相交于，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，即可求得，根据三角形面积计算公式和相似三角形对应边比值相等的性质可以求得，即可求得，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，三角形面积的计算公式，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求得是解题的关键． 【详解】解：， ∴，， ，， ， ， ∴， ， ． 故答案为：． 14. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接，若，则a的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，过C作轴于点D．设出各点坐标，则，，设抛物线解析式为，把代入，得到关于的方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：过C作轴于点D． 由题意可知， ∵， ∴， 设，则，， 设抛物线解析式为， 把代入得： ， 解得； 故答案为： 15. 如图，在菱形中，，按如下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M、N；连接，若恰好经过点A，与交于点E，连接．则_____，的长为_____（用含a的代数式表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题干的作图步骤可知：，，即，由菱形的性质可得则可利用勾股定理求得，从而求得． 【详解】解：依题意．题中作图为作边垂直平分线， ∴，，即， ∴，即，； ∴； 四边形为菱形， ，，， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为，． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的作法、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，能根据作图步骤知道作图所表示的含义是解答本题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、二次根式的化简、实数的运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算乘方、除法、化简绝对值、计算零指数幂，再计算实数的加减法，然后化简二次根式即可得； （2）先计算分式的乘法，再计算分式的减法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某班为了丰富学生的课外活动和体育健身，计划购买10个足球和20根跳绳，共花费980元，其中足球的价格是跳绳价格的3倍多8元． （1）求跳绳和足球的单价； （2）在实际课外活动中，发现如果全班同学根据自身的爱好总有部分学生无法玩足球或跳绳，若使用剩余班费233元，并要求至少购买一个足球，那么最多可购买多少根跳绳？ 【答案】（1）跳绳的价格为元，则足球的价格为元 （2）最多可购买根跳绳 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找准等量关系和不等关系，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）设跳绳的价格为元，则足球的价格为元，根据“计划购买10个足球和20根跳绳，共花费980元”，列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）设最多可购买根跳绳，根据“使用剩余班费233元，并要求至少购买一个足球”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设跳绳的价格为元，则足球的价格为元， 由题意得：， 解得：， （元）， 跳绳的价格为元，则足球的价格为元； 【小问2详解】 解：设最多可购买根跳绳， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 最大为， 最多可购买根跳绳． 18. 辽宁省教育厅印发《辽宁“六地”红色文化资源融入思政课教学的实施方案》，阐释辽宁“六地”内涵和育人功能，充分发挥辽宁红色文化资源重要作用，讲好辽宁红色故事，传承红色基因．为了解学生对“辽宁红色文化”的掌握情况，某校特地举办了一场比赛，学校从两个年级分别随机抽取了20名学生的成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 信息一：七年级20名学生的成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6． 信息二：八年级20名学生的成绩条形统计图如图所示： 信息三：七、八年级抽取的学生的成绩的平均数、众数、中位数如下表： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 7.5 n 7 八年级 m 8 p 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“辽宁红色文化”的掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级共有400名学生参加了此次比赛，估计八年级学生参加此次比赛成绩合格的学生人数． 【答案】（1）7.5，7，7.5 （2） 八年级学生对“辽宁红色文化”的掌握较好， 理由：八年级学生成绩的中位数是7.5分，众数是8分，都比七年级高 （3）八年级学生参加此次比赛成绩合格的学生约有360名 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可； （2）根据中位数和众数分析即可得解； （3）用乘以比赛成绩合格的学生人数所占的比例即可得解． 【小问1详解】 解：， 七年级20名学生成绩中出现次数最多的是分，共出现次，即， 将八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分），即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（名）． 答：八年级学生参加此次比赛成绩合格的学生约有360名． 19. 鞍山市千山风景区某商店准备销售一种新款便携式多功能旅行背包，计划从厂家以每个元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为元时，月均销量为个，售价每增加元，月均销量就相应减少个． （1）求出月销售量（件）与销售单价（元）满足的函数关系式， （2）这种书包的销售利润有可能达到元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） 不能，理由：利润为 ， ∴当利润为时，， 整理得：， ∵， ∴该方程无解， ∴这种书包的销售利润不能达到元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）根据题意，则月销售量，进行化解，即可； （2）根据题意，则利润为，当利润为，时，，根据根的判别式，进行判断，即可． 【小问1详解】 解：∵每个背包的售价为元时，月均销量为个，售价每增加元，月均销量就相应减少个， ∴， 整理得：． 答：月销售量（件）与销售单价（元）满足的函数关系式为：． 【小问2详解】 略 20. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A 的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离． （1）如图2，张亮站在摄像头前水平距离的点G 处，恰好能被识别（头的顶部在仰角线）， 求张亮的身高约是多少厘米； （2）夕夕身高，头部高度为，踮起脚尖可以增高，此时夕夕能被识别吗?请计算说明．（精确到，参考数据：，） 【答案】（1）张亮的身高约厘米 （2）夕夕能被识别 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法． （1）根据正切值求出长度，再利用矩形性质得出，，从而求出结论． （2）过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，求出与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案． 【小问1详解】 解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示， 则， 四边形 是矩形， ， 在中，． ． ， 张亮的身高约厘米． 【小问2详解】 解：夕夕能被识别，理由如下： 过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示， 同（1）知，四边形 是矩形， ， ， ， 夕夕能被识别． 21. 如图1，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，点在延长线上，且． （1）求证：为的切线； （2）如图2，连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是半径， ∴是切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，由等腰三角形得到，，而，则，再根据互余关系结合等量代换得到，则； （2）设，则，在中，根据勾股定理得，解得，则，在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． 设， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）得，， ∴在中，根据勾股定理， 即， 解得， ∴， ∴在中，根据勾股定理：， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理的推论，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 22. 数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究 如图2，若，求证：； （2）尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； （3）创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性质即可得证； （2）设，由（1）中相似，代值求解得到，从而根据与的相似比为求解即可得到答案； （3）过点作的平行线交的延长线于点，如图1所示，设，过点作于点，如图2所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点为中点， ∴设， 由（1）知， ∴， ∴， ∴与的相似比为， ∴， ∵ ∴； 【小问3详解】 解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点， ∴设， ∵， ∴，， 在中，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图2所示： ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴，，， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点P与点Q互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． （1）点与点互为“等和点”，求b的值； （2）点与点都在直线上，且点C与点D互为“等和点”，求k的值； （3）直线在第一象限的部分记为图象，抛物线在的部分记为图象，点E在图象上，点F在图象上． ①若，点E与点F互为“等和点”且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标； ②若在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据等和点的定义，列出方程进行求解即可； （2）将点代入函数解析式，得到，再根据等和点的定义，列出方程进行求解即可； （3）①设，则根据等和点的定义，列出方程进行求解即可；②设，，得到，设，，得到，根据在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ； 【小问2详解】 ∵点，点都在直线上，， ∵点C与点D互为“等和点”， ， 解得； 【小问3详解】 ① ， 设， 在中，令 ． ∵点E在图象上，且点E的横坐标比点F的横坐标大1， ，且， ． ∵点E与点F互为“等和点”， ， 整理得，解得（舍去）． 当时， ； ②设，设． 随a的增大而增大， ． 设，设． 关于n的二次函数图象的对称轴为直线， ，图象开口向上，当时，在对称轴右侧，随n的增大而增大，当时，，当时， ． ∵在图象上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”． ， 解得． 的范围为． 【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的综合应用，掌握“等和点”的定义，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $