专题3.2 基本不等式（第一课时）（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

专题3.2 基本不等式（第一课时） 教学目标 1.探索基本不等式以及它的证明过程；体会证明不等式的基本方法； 2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件； 3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。 4.渗透数形结合和等价化归的数学思想； 培养学习数学的兴趣和学以致用的能力。 教学重难点 1.重点 基本不等式的探索过程和证明；运用基本不等式求函数的最值； 2.难点 等号成立的条件及解题中的转化技巧. 知识点01 基本不等式的概念 1.基本不等式的概念： 如果a>0，b>0，则__________，当且仅当a＝b时，等号成立，其中，_____叫做正数a，b的算术平均数，______叫做正数a，b的几何平均数． 注：（1）两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）对公式及的理解： ①成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； ②取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． （3）由公式和可以引申出常用的常用结论： ①（同号）； ②（异号）； ③或 【即学即练】 1．下列结论表述正确的是（ ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若x＜0，则 2．下列不等式中等号可以取到的是（ ） A． B． C． D． 知识点02 基本不等式的证明 方法一：几何法1（面积） 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：几何法2（长度） 如图，AB是⊙O的直径，AC＝a，CB＝b，过点C作CD⊥AB交⊙O的半圆于点D，连接AD，BD，易知△ACD∽△DCB，故＝，得CD＝.而OD＝，且CD≤OD，所以≤，当且仅当点C与点O重合，即a＝b时，等号成立． 方法三：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 【即学即练】 1.已知，. （1）求证：； （2）若，，，求证：. 2.已知，都是正数，求证：. 知识点03 基本不等式求最值 已知都是正数， ①如果积是定值，由基本不等式，那么当且仅当时，和有最 值 ；（简记为 ：）. ②如果和是定值，由基本不等式可得，那么当且仅当时，积有最 值 ．（简记为： ） 注：利用基本不等式求最值的方法，但应注意三个条件：： 。 【即学即练】 1．已知，则的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．函数的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．已知都是正实数，若，则的最大值为 . 题型01 对基本不等式的理解及简单应用 【典例1】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A． B． C． D． 【变式1】数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（ ） A． B． C． D． 【变式2】给出下列命题中，真命题的个数为（ ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（多选）设，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.        B. C.     D. 题型02 利用基本不等式比较大小 【典例1】设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【变式1】若、，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是 . ①；②；③；④. 【变式4】甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（ ） A．甲更合算 B．乙更合算 C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算 题型03 利用基本不等式证明不等式 【典例1】已知，，，且．求证：． 【变式1】证明不等式： 【变式2】若x，y为正实数，求证：． 【变式3】对任意的正实数，，，证明：； 【变式4】设，，为正实数，且，证明：. 题型04 直接法求最值 【典例1】（1）若，则的最小值为（ ） A． B．0 C．2 D．3 （2）若，则有最大值为 ． 条件和问题之间存在基本不等式的关系 转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值． 乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值． 【变式1】已知正数满足，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【变式2】，则的最大值为 . 【变式3】已知a，b都是正数，则的最小值为 ． 题型05 凑配法求最值 【典例1】（1）已知，，，则的最大值是（ ） A． B． C． D． （2）已知，则当取最大值时的值为 ． 将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值. 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键。 利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： （1）配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； （2）代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； （3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 【变式1】已知，且，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】已知，且，则的最大值为（ ） A．36 B．25 C．16 D．9 【变式3】设，则的最大值为 . 题型06 消元法求最值 【典例1】已知，且，则的最小值是 ． 根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围． 【变式1】已知实数，，满足（），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 【变式3】已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 【变式4】已知，，，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C． D．4 题型07 换元法求最值 【典例1】若实数 满足，则的最大值为 A． B． C． D． 【变式1】已知正实数满足且，则的最小值为 【变式2】已知，，，则的最大值为 ． 【变式3】设m，n为正数，且，则的最小值为 . 【变式4】已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 题型08 “1”的代换求最值 【典例1】已知实数，且，则的最小值为（ ） A． B． C．8 D．12 1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值。 2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值． 【变式1】已知x，y为正实数，且，则的最小值是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式2】已知正实数满足，则的最小值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3】已知，且，，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C． D． 【变式4】已知，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 题型09 条件等式求最值 【典例1】设正数，满足，则的最小值为 ． 【变式1】（多选）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为16 【变式2】已知，则的最大值为 【变式3】若满足，则的最大值是 ，的最小值是 . 题型10 利用基本不等式求解恒成立问题 【典例1】若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围，在满足条件的情况下可以把参数分离出来．常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为最值问题，即恒成立；恒成立．但要注意函数中自变量的取值范围，性质很难研究，就不要使用分离参数法． 【变式1】已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A．64 B．25 C．13 D．12 【变式2】已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3】若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 1．已知实数，则的（ ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 2．下列说法中，正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．已知，，，则的最大值是（ ） A． B． C． D．1 4．设，，若，则的最小值为（ ） A．4 B． C． D．8 5．已知，，且，则的最小值是（ ） A．12 B．13 C．19 D．22 6．已知，且恒成立，则的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（多选）下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8．（多选）若a， b均为正数，且满足，则（ ） A. ab的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是4 D. 的最小值为 9．（多选）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 10． 已知，，，则的最小值为 ． 11．已知实数，，满足，则的最小值是 ． 12．已知，则的最小值为 ． 13．（1）已知且，试比较与的大小； （2）已知且，且，求证：. 14．已知，且，. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 基本不等式（第一课时） 教学目标 1.探索基本不等式以及它的证明过程；体会证明不等式的基本方法； 2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件； 3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。 4.渗透数形结合和等价化归的数学思想； 培养学习数学的兴趣和学以致用的能力。 教学重难点 1.重点 基本不等式的探索过程和证明；运用基本不等式求函数的最值； 2.难点 等号成立的条件及解题中的转化技巧. 知识点01 基本不等式的概念 1.基本不等式的概念： 如果a>0，b>0，则____≤______，当且仅当a＝b时，等号成立，其中，______叫做正数a，b的算术平均数，______叫做正数a，b的几何平均数． 注：（1）两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）对公式及的理解： ①成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； ②取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． （3）由公式和可以引申出常用的常用结论： ①（同号）； ②（异号）； ③或 【即学即练】 1．下列结论表述正确的是（ ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若x＜0，则 【答案】C 【分析】根据基本不等式成立的条件可判断ABCD的正误. 【解析】对于A，若，则恒成立，错； 对于B，若，则恒成立，若，则，错； 对于D，∵，如时，，∴D错误； 对于C，因为， 而，，故成立. 故选：C． 2．下列不等式中等号可以取到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案. 【解析】对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合； 对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合； 对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合. 故选：C. 知识点02 基本不等式的证明 方法一：几何法1（面积） 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：几何法2（长度） 如图，AB是⊙O的直径，AC＝a，CB＝b，过点C作CD⊥AB交⊙O的半圆于点D，连接AD，BD，易知△ACD∽△DCB，故＝，得CD＝.而OD＝，且CD≤OD，所以≤，当且仅当点C与点O重合，即a＝b时，等号成立． 方法三：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 【即学即练】 1.已知，. （1）求证：； （2）若，，，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）用比较法进行证明即可； （2）把变形为，然后运用基本不等式进行证明即可. 【解析】（1）， 当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立； （2）由条件有，且，， 又 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时由得，， 即证． 2.已知，都是正数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】对分别应用基本不等式求解即可. 【解析】证明∵，都是正数， ∴，，，，， ∴，（当且仅当时等号成立）. ∴， 即，当且仅当时，等号成立. 知识点03 基本不等式求最值 已知都是正数， ①如果积是定值，由基本不等式，那么当且仅当时，和有最 小 值 2 ；（简记为：积定和最小）. ②如果和是定值，由基本不等式可得，那么当且仅当时，积有最 大 值 S2 ．（简记为：和定积最大） 注：利用基本不等式求最值的方法，但应注意三个条件：：一“正”、二“定”、三“相等”。 【即学即练】 1．已知，则的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用基本不等式求出最小值即得. 【解析】由，得，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：C 2．函数的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用基本不等式求出最值即得. 【解析】，，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最大值为，故选：B. 3．已知都是正实数，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求出最值即得. 【解析】， 可得：，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为， 故答案为： 题型01 对基本不等式的理解及简单应用 【典例1】《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式逐项判断即得. 【解析】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 【变式1】数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式逐项判断即得. 【解析】由题设，且， 其中，或， 且， 由图知，即. 故选：A 【变式2】给出下列命题中，真命题的个数为（ ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用基本不等式逐项判断即得. 【解析】当时，①中的不等式是错误的，①错； 因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对； （当时，无解，等号不成立），故③错； 因为，所以且，且，即时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对． 故选: B． 【变式3】（多选）设，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.        B. C.     D. 【答案】C 【分析】利用基本不等式逐项判断即得. 【解析】对于A，因为，，所以，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，则成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当即时等号成立， 因为，所以成立，故③C正确； 对于D， ， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：BCD 题型02 利用基本不等式比较大小 【典例1】设，为正数，则，，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可得. 【解析】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为： 【变式1】若、，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值法以及基本不等式进行判断即可得出结论. 【解析】对于A选项，取，，，不等式不成立； 对于B选项，由于，若、同为负数，则不等式不成立； 对于C选项，，则且，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，则不等式恒成立； 对于D选项，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，则不等式不恒成立. 故选：C. 【变式2】（多选）若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式及不等式的性质即可得出选项A、B、D正确，选项C，取特殊值即可排除. 【解析】对于选项A，因为，则， 所以，故选项A正确； 因为，所以，，又，得到 故，所以选项B和D正确， 对于选项C，取，满足，但，所以选项C错误， 故选：ABD. 【变式3】已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是 . ①；②；③；④. 【答案】④ 【分析】利用基本不等式即可得. 【解析】易知因为对于恒成立，当且仅当时，等号成立，所以①错误； 对于②，③，显然时，不等式均不成立，即②和③错误； 对于④，因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当a=b成立即④正确； 故答案为：④ 【变式4】甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（ ） A．甲更合算 B．乙更合算 C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算 【答案】A 【分析】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解. 【解析】设两次的单价分别是元/升， 甲加两次油的平均单价为，单位：元/升， 乙每次加油升，加两次油的平均单价为，单位：元/升， 因为，，， 所以，即， 即甲的平均单价低，甲更合算. 故选：A 题型03 利用基本不等式证明不等式 【典例1】已知，，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】将证明式子中的1用代换，整理为，根据基本不等式即可证明． 【解析】因为a，b，c都为正实数，且， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以． 【变式1】证明不等式： 【答案】证明见解析 【分析】将证明式子整理为，根据基本不等式即可证明． 【解析】，当且仅当时取等号，所以. 【变式2】若x，y为正实数，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用基本不等式逐项判断即得. 【解析】 ， 当且仅当，且， 即时等号成立． 【变式3】对任意的正实数，，，证明：； 【答案】证明见解析 【分析】根据基本不等式即可证明． 【解析】由基本不等式可得， 所以， 即 当且仅当时取等； 【变式4】设，，为正实数，且，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】根据基本不等式即可证明． 【解析】因为 所以，即， 因为 所以， 所以，当且仅当时取等 题型04 直接法求最值 【典例1】（1）若，则的最小值为（ ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据已知条件利用基本不等式直接求解即可. 【解析】因为，所以， 当且仅当时，即，等号成立， 所以的最小值为. 故选：. （2）若，则有最大值为 ． 【答案】/0.25 【分析】根据已知条件利用基本不等式直接求解即可. 【解析】因为，显然当时，取得最大值，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以有最大值为. 故答案为：. 条件和问题之间存在基本不等式的关系 转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最值． 乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值． 【变式1】已知正数满足，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件利用基本不等式直接求解即可. 【解析】因为正数满足，所以， 当且仅当即时，等号成立. 故选：A 【变式2】，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】根据已知条件利用基本不等式直接求解即可. 【解析】， 所以，当且仅当时取等号， 故答案为：8 【变式3】已知a，b都是正数，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【解析】a，b都是正数，故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为3. 故答案为：3 题型05 凑配法求最值 【典例1】（1）已知，，，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用基本不等式求解即可 【解析】∵，，， ∴由基本不等式有： ， 当且仅当，即，时，等号成立. ∴当且仅当，时，的最大值为. 故选：B. （2）已知，则当取最大值时的值为 ． 【答案】/ 【分析】变形后使用基本不等式求解即可 【解析】因为，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当取最大值时的值为. 故答案为：. 将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值. 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键。 利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： （1）配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； （2）代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； （3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 【变式1】已知，且，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得； 【解析】因为且，所以，所以 当且仅当，即，时取等号； 所以的最小值为 故选：C 【变式2】已知，且，则的最大值为（ ） A．36 B．25 C．16 D．9 【答案】B 【分析】由，得，再利用基本不等式即可得解. 【解析】由，得， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 【变式3】设，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【分析】变形后使用基本不等式求解即可 【解析】因为，则，即， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 题型06 消元法求最值 【典例1】已知，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【解析】因为，所以，则，当且仅当，即时，取等号． 故答案为： 根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围． 【变式1】已知实数，，满足（），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【解析】根据已知，可得， 则， 因为，所以，所以上式， 当且仅当，即时等号成立， 所以的取值范围是. 故选：D 【变式2】若实数a，b满足，则 的最小值为 ． 【答案】27 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【解析】因为，所以， 所以 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式3】已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【解析】由可得， 所以， 因为正实数a，b满足，所以， 故， 当且仅当，即， 故选：D 【变式4】已知，，，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【解析】由，，，得， 故，故； 所以， 当且仅当，结合，即时等号成立． 即的最小值为2， 故选：A 题型07 换元法求最值 【典例1】若实数 满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设得使用基本不等式求解即可 【解析】法1由实数 满足，，设，解得， 则，当且仅当，及时等号成立，所以的最大值为 法2令，则， 由得， 故， 当且仅当即即时，取“=”， 故选：D. 【变式1】已知正实数满足且，则的最小值为 【答案】 【分析】设得使用基本不等式求解即可 【解析】设，则， 当且仅当且，即，时等号成立. 故答案为： 【变式2】已知，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可. 【解析】令，， 则，，，，，所以， 所以 ， 当且仅当，，即，时等号成立． 故答案为： 【变式3】设m，n为正数，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，则，可化为，利用基本不等式可求的最小值，从而可得所求的最小值. 【解析】令，则，且，， 又， 而， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式4】已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】设，得到，，由基本不等式求出，即，求出答案. 【解析】正数x，y满足， 设，则，故， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为8. 故答案为：8 题型08 “1”的代换求最值 【典例1】已知实数，且，则的最小值为（ ） A． B． C．8 D．12 【答案】C 【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值． 【解析】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值。 2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)； （2）把确定的定值(常数)变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值． 【变式1】已知x，y为正实数，且，则的最小值是（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】结合基本不等式求得正确答案. 【解析】依题意，， ， 当且仅当时等号成立. 故选：B 【变式2】已知正实数满足，则的最小值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】将已知变形为，再利用基本不等式乘“1”的方法求最值. 【解析】． ． 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C． 【变式3】已知，且，，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值． 【解析】，， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 【变式4】已知，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解析】因为，则，，且， 所以， ， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 题型09 条件等式求最值 【典例1】设正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由利用基本不等式得，然后解不等式即得。 【解析】因为正数，满足，所以， 解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为. 故答案为： 【变式1】（多选）已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为16 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式有，结合换元法解一元二次不等式求范围，注意所得范围端点取值判断A；由已知得，利用基本不等式判断B、C、D，注意最值取值条件. 【解析】因为，， 所以，仅当时，即等号成立， 令，则，故， 所以，即，仅当时右侧等号成立， 所以的最大值为，A错误； 由，则， 所以， 仅当，即时等号成立，故的最小值为，B正确； 由，仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，C正确； 由，仅当，即时等号成立， 所以的最小值为16，D正确. 故选：BCD 【变式2】已知，则的最大值为 【答案】 【分析】由得，然后利用基本不等式即得。 【解析】因为， 所以， 又因为， 当且仅当即时等号成立， 所以有最小值为，则有最大值为. 故答案为：. 【变式3】若满足，则的最大值是 ，的最小值是 . 【答案】 2 【分析】由利用基本不等式得，以及然后可求得。 【解析】因，由，可得， 即得，当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最大值是； 因，，即得， 当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最小值是. 故答案为：2；. 题型10 利用基本不等式求解恒成立问题 【典例1】若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据等式变形，利用常值代换法凑项，运用基本不等式求得即得. 【解析】因为两个正实数 满足，则， 故 ，当且仅当时取等号， 因不等式恒成立，则，故. 故答案为：. 不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围，在满足条件的情况下可以把参数分离出来．常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为最值问题，即恒成立；恒成立．但要注意函数中自变量的取值范围，性质很难研究，就不要使用分离参数法． 【变式1】已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【分析】根据等式变形为，运用基本不等式求得. 【解析】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 【变式2】已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式变形为，运用基本不等式求得. 【解析】因为正实数满足， 所以，则， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，即． 故选：C． 【变式3】若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由基本不等式求出的最小值，由恒成立即可求出的范围． 【解析】因为，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以， 故选：D． 1．已知实数，则的（ ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D 【分析】结合基本不等式求得正确答案. 【解析】因为， 当且仅当即时取等号； 故最大值为， 故选：D. 2．下列说法中，正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式分别判断每个选项的正误即可. 【解析】对于A选项，由，得，故A正确； 对于B选项，由，得，即，故B正确； 对于C选项，虽然，，但不一定有，，故C不一定成立，故C不正确； 对于D选项，由基本不等式，得，故D正确． 故选：ABD． 3．已知，，，则的最大值是（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】变形利用基本不等式求得正确答案. 【解析】因为，，，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：A. 4．设，，若，则的最小值为（ ） A．4 B． C． D．8 【答案】A 【分析】根据题意利用“1”代换，结合基本不等式运算求解. 【解析】，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4. 故选：A. 5．已知，，且，则的最小值是（ ） A．12 B．13 C．19 D．22 【答案】C 【分析】由得，再利用基本不等式即可得解. 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为， 故选：C. 6．已知，且恒成立，则的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由得，再利用基本不等式即可得解. 【解析】因为，则，又恒成立， 即恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号，所以， 故选：B. 7．（多选）下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【分析】凑“积”为定值后利用基本不等式判断A；分和两种情况结合基本不等式可判断B；作差后转化为完全平方式可判断C；根据得到，再根据基本不等式判断D. 【解析】对于A，因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，当时，， 当且仅当，即时等号成立； 当时，，则， 当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C，因为，所以， 则，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，则， 当且仅当，即时等号成立，故D错误. 故选：AC. 8．（多选）若a， b均为正数，且满足，则（ ） A. ab的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式对A，B，C选项分析判断，利用二次函数的性质对D选项分析判断即可得答案． 【解析】对于 A：，b均为正数，且满足， ，解得，当且仅当时取等号， 所以ab的最大值为2，故A正确； 对于B，，，则，当且仅当时取等号， ，当时等式不成立，则等号取不到， 则的最小值不是4，故B不正确； 对于C：，b均为正数，且满足， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4，故C正确； 对于D：，b均为正数，且满足，则， 又，解得， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确． 故选：ACD. 9．（多选）已知，且不等式恒成立，则的值可以是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】AB 【分析】令，，（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），所以，再利用基本不等式计算出的最小值，即可求出的取值范围，即可得解. 【解析】令，，因为，，所以，， 则（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）， 则， 当且仅当时取等号，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，则. 故选：AB 10．已知，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用将化为积为定值的形式，再根据基本不等式可求出结果. 【解析】因为，， 所以 ， 当且仅当，即，又，所以，时，等号成立. 故的最小值为. 故答案为：. 11．已知实数，，满足，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解析】实数，，满足，故， 即， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故答案为：1 12．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由可得.再将变形为，利用基本不等式“1”的代换即可求出最小值. 【解析】，，即. ，即. ， 当且仅当即时等号成立. 故的最小值为. 故答案为： 13．（1）已知且，试比较与的大小； （2）已知且，且，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析。 【分析（1）利用基本不等式比较大小即得；（2）利用基本不等式即可证明。 【解析】（1）因为，，所以，，， 由题意， 所以（当且仅当时取等号）． （2）证明：，是正数，且， ， 当且仅当时取等号， 成立． 14．已知，且，. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1)3；(2). 【分析】（1）由已知推得，将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值； （2）原式可变形为，进而求出，用“1”的代换将变形为，展开用基本不等式，即可求得的最小值. 【解析】（1）因为，， 所以 ， 当且仅当，且，即，时等号成立， 则的最小值为3. （2） ， 因为，所以， 所以原式 ， 当且仅当，且，即，时等号成立， 则的最小值为 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$