专题04 三角形的内角 讲义 2025-2026学年人教版八年级数学上册

专题04 三角形的内角【3大考点9大题型】 （重难点常考题型精讲精练） 【知识考点 三角形的内角】 【解题知识必备】 1.三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. （3）三角形内角和定理的表示方法：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 2. 三角形内角和定理的证明 如图所示（剪拼法），在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图1 图 2 3.直角三角形的性质及判定 （1）直角三角形的概念：有一个内角是90°的三角形叫作直角三角形； 表示方法：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. （2）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90° . （3）直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 . 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 三角形内角和定理的直接应用 【题型02】 三角形内角和定理的证明 【题型03】 直角三角形中两锐角互余的应用 【题型04】 两锐角互余判定三角形是直角三角形 【题型05】 三角形内角和与平行线的综合 【题型06】 三角形内角和与角平分线的综合 【题型07】 三角形内角和与折叠中的角度计算 【题型08】 三角形内角和与三角板中的角度计算 【题型09】 直通中考真题 【核心考点板块1 三角形内角和定理及其应用】 方法与技巧： 1.三角形内角和定理的拓展模型： （1）由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. （2）由三角形内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 2.证明三角形内角和定理的方法很多，但其思路主要是运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 【题型01】 三角形内角和定理的直接应用 【例1】（2023-2024八年级上·重庆永川·期中）如图，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理． 连接，由三角形内角和定理可知：，进而计算即可. 【解答】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴ ， 故选D． 【变式1-1】（2024-2025八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等腰三角形顶角为，则这个三角形的底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．根据等腰三角形的特征以及三角形内角和为进行作答即可． 【解答】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴底角为， 故选：A． 【变式1-2】（2024-2025八年级上·甘肃武威·阶段练习）若的三个内角度数之比为，则的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，设，，，由三角形内角和定理得，求出即可求解，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】（2024-2025七年级下·江西吉安·阶段练习）定义：当三角形中其中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”．若一个“倍角三角形”的其中一个内角为，则这个三角形中最大的内角度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查三角形内角和定理．掌握三角形的内角和为，是解决问题的关键． 根据三角形内角和等于，如果一个“倍角三角形”有一个角为，可得另两个角的和为，根据由三角形中一个内角是另一个内角的2倍分类讨论，可以分别求得三角形的内角，由此比较得出答案即可． 【解答】解：当的角是另一个内角的2倍时， 三个角分别为：，，；　 当一个内角是的角的2倍时，三个角分别为：，，； 当另外两个角是两倍关系时， 设这两个角分别是，， 则， 解得， ∴， ∴三个角分别为：，， ； 因此，这个三角形中最大的内角度数为或或． 故答案为：或或． 【题型02】 三角形内角和定理的证明 【例2】（2024-2025七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【解答】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 【变式2-1】（2023-2024八年级上·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（   ） 已知：．求证：． 证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴★，■（①）． ∵（②）， ∴（等量代换）． A．★处填2 B．■处填1 C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义 【答案】D 【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可． 【解答】解：证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴1，2（两直线平行，内错角相等）． ∵（平角定义）， ∴（等量代换）． 故选D 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键． 【变式2-2】（2024-2025八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）实验探究是数学学习的重要方法．通过剪拼验证“三角形的内角和等于”时，小明给出如图1的拼合方法，发现了证明的思路，并给出了不完整的“已知”和“求证”，请你补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图2， ； 求证： ． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的判定和性质，关键是由平行线的性质推出．判定，由平行线的性质推出，于是． 【解答】解：已知：如图2，； 求证：． 证明：， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2-3】（2024-2025七年级下·江苏南京·期末）用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 【解答】证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 证法2：如图，过点作， ， ，， ， . 【核心考点板块2 直角三角形的性质及判定】 方法与技巧： 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【题型03】 直角三角形中两锐角互余的应用 【例3】（2024-2025八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，．求的度数． 【答案】的度数为． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义，由平分交边于，得，再根据三角形内角和定理得，又，则，最后由直角三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：∵平分交边于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式3-1】（2024-2025八年级上·四川泸州·期中）如图，中，于点D，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．由直角三角形的性质求出，由等腰三角形的性质得到即可求出的度数． 【解答】解：于点， 故选：C． 【变式3-2】（2024-2025八年级上·广东广州·期中）如图，，，求，的度数． 【答案】； 【分析】本题主要考查了垂直的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件和直角三角形的性质得出的值，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【解答】解：， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴＝． 【变式3-3】（2024-2025八年级上·浙江温州·期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1) ； (2)若．求证：为“智慧三角形”； (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 【答案】(1)50 (2)为“智慧三角形” (3)的度数为或或或 【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角性质，角的和差，直角三角形两锐角互余，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）求出的度数，得到，据此即可证明； （3）由可得，再分，，，，和六种情况解答即可求解． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：50； （2）证明：∵，， ∴ ∴   ∴为“智慧三角形” （3）解：分情况讨论：①当时，，， ∴； ②当时，，，故舍去； ③当时，，故舍去； ④当时，， ∴； ⑤当时，，； ⑥当时，， ∴； 综上所述，的度数为或或或 【题型04】 两锐角互余判定三角形是直角三角形 【例4】（2022-2023八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【解答】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·吉林·期中）下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，根据三角形内角和定理，直角三角形的判定逐项判断即可，掌握三角形内角和定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【解答】解：、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、， ∴， ∴，故三角形三个内角的度数分别为、、， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、设，，（为正数）， ∵， ∵， ∴， ∴，，， ∴此选项中不是直角三角形，符合题意； 、∵，， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 故选：． 【变式4-2】（2024-2025七年级下·上海·期中）若的三个内角的比为，则的形状是 三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个） 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，先根据三角形的内角和定理求出中最大角的度数，然后根据三角形的分类求解即可． 【解答】解：∵的三个内角的比为， ∴中最大角为， ∴的形状是直角三角形， 故答案为：直角． 【变式4-3】（2022-2023八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，D为上一点，，． （1）判断的形状； （2）判断是否与垂直． 【答案】（1）是直角三角形；（2） 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【解答】解：（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 【核心考点板块3 三角形内角和定理的综合应用】 方法与技巧： 1.三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形三个内角中最多有三个锐角，至少有两个锐角，最多有一个直角，最多有一个钝角，且三角形中最大的内角不超过180度。 2.三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 【题型05】 三角形内角和与平行线的综合 【例5】（2023-2024八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E， 求的大小． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、垂直定义、三角形内角和定理等知识点，根据平行线的性质得出，求出，即可求出，根据垂直求出，即可求出答案． 【解答】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式5-1】（2024-2025七年级下·四川成都·期中）如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 【解答】解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式5-2】（2024-2025七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 【答案】57 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 【变式5-3】（2023-2024七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，点在直线上，与交于点，. （1）求证：； （2）若，，求的度数. 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定以及三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理. （1）根据两直线平行，内错角相等，推出，利用已知条件，通过等量代换求证，最后根据同位角相等，两直线平行求证. （2）利用垂直性质和平行线的性质推出，根据三角形内角和即可求出度数. 【解答】解：（1）证明：， ， ， ， . （2）解：， ， ， . ， ， . 【题型06】 三角形内角和与角平分线的综合 【例6】（2024-2025八年级上·辽宁鞍山·期中）如图， 的两条内角平分线 ， 交于点 ， 是 边上的高，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，由得到，计算即可得到答案． 【解答】（1）解：， ， 平分，平分， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ． 【变式6-1】（2024-2025八年级上·广东江门·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，掌握三角形内角和定理成为解题的关键． 先求出，进而求出，再根据角平分线定义得及，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交分线交于点， ∴， ∴． ∵和的平分线交于点M， ∴， ∴， 在中，， 即：． 故选：C． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·湖南长沙·期中）如图，点是内一点，、分别平分、，，则 ． 【答案】/122度 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，并掌握整体法是解题的关键．利用角平分线定义得出，，再利用三角形内角和定理得出，则可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·天津·期中）如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义得出，即可求出答案； （2）根据垂直定义得出，根据直角三角形的两锐角互余得出，求出，再根据直角三角形的两锐角互余求出答案即可． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形角平分线、中线和高等知识点，能熟记三角形内角和定理等于和直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． 【题型07】 三角形内角和与折叠中的角度计算 【例7】（2024-2025七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（   ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是是解题关键．根据折叠得出，，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得由此即可得答案． 【解答】解：由折叠可知：，， ∴，． ∴， 又∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式7-1】（2024-2025八年级上·河北邢台·期中）如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用翻折变换的性质和三角形内角和定理． 通过分析翻折后形成的角与原三角形内角的关系，计算出的度数． 【解答】由题知： ， ， ， ， 故选：A． 【变式7-2】（2024-2025八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质、角平分线的定义；由折叠得和，由题意得和，根据，即可求得． 【解答】解：由折叠的性质得到：，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； 【变式7-3】（2024-2025八年级上·江苏南京·期中）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若比大，则的度数为 ． 【答案】/68度 【分析】本题考查平行线的性质、折叠的性质，根据平行线的性质、折叠的性质，可以计算出的度数，然后即可计算出的度数． 【解答】解：如图所示， ． 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， 由图可得，， ∵比大， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【题型08】 三角形内角和与三角板中的角度计算 【例8】（2024-2025七年级下·福建漳州·期中）已知一块三角板，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．若的平分线交边于点，以下结论中 ①当且时，； ②当时，； ③当时，．正确的有（   ） A．② B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质，三角形内角和定理是解题的关键． 根据，可得，再由以及平分，可得，然后根据，可得，从而得到，可判断①；根据，可得，从而得到，再由以及平分，可得，然后根据三角形内角和定理可得，可判断②；根据，可得，再由以及平分，可得，然后根据三角形内角和定理可得，从而得到，无法得到与平行，可判断③． 【解答】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴无法得到与平行， ∵，即， ∴无法得到，故③错误． 故选：B 【变式8-1】（2024-2025八年级上·广东东莞·期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了通过三角板求角度，三角形的内角和定理，根据三角板中特殊角度，三角形内角内角和定理解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：如图，根据三角板角度的特殊性可知，， ∵， ∴， 故选：． 【变式8-2】（2024-2025七年级下·四川巴中·期末）把一副三角板（，，）按如图所示摆放，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，由平行线的性质可得，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【解答】解：如图： ， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【变式8-3】（2024-2025七年级下·江苏连云港·期中）如图，把一副三角板如图摆放，点E在边上，将图中的绕点A按每秒速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边恰好与边平行． 【答案】21或57 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 先根据旋转的定义画出图形，再根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角的度数，由此即可得出答案． 【解答】解：如图1所示：当时， 由题意可得：，， 则， 故， 则， 故边恰好与边平行时，旋转的时间为：（秒）， 如图2，当时， 由（1）同理可得：， 则绕点顺时针旋转了， 在旋转的过程中：第（秒）时，边恰好与边平行． 综上所述：在第21或57秒时，边恰好与边平行． 故答案为：21或57． 【题型09】 直通中考真题 1.．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形内角和的性质求解即可． 【解答】如图所示， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 2.（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【解答】解：由图得，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解． 【解答】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得， 由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【解答】解：由旋转的性质可得出， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2024·四川资阳·中考真题）如图，，过点作于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，，即，再根据平行线的同旁内角互补，即可求出的度数． 【解答】∵过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 将代入上式， 可得， 故选． 6．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图所示，在中，，垂足为点D，，交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质得，再根据垂直的定义得，进而根据即可得出答案． 【解答】解：， ， ， ， ， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键． 7．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【解答】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2024·湖南·中考真题）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键．根据三角形内角和定理结合等腰三角形两底角相等，求出它的顶角度数即可． 【解答】解：∵等腰三角形的一个底角的度数为， ∴它的顶角度数为：． 故答案为：． 9．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，则的度数为 ； 【答案】/100度 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差． 根据三角形的内角和可得，根据，得到，，从而，根据角的和差有，即可解答． 【解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴． 故答案为： 10．（2023·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解． 【解答】解：由折叠的性质得：； ∵， ∴； ①当在下方时，如图， ∵， ∴， ∴； ②当在上方时，如图， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或； 故答案为：或． 【点评】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论． 11．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出．即可求解； 【解答】（1）解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． （2）解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形的内角【3大考点9大题型】 （重难点常考题型精讲精练） 【知识考点 三角形的内角】 【解题知识必备】 1.三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. （3）三角形内角和定理的表示方法：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 2. 三角形内角和定理的证明 如图所示（剪拼法），在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°. 图1 图 2 3.直角三角形的性质及判定 （1）直角三角形的概念：有一个内角是90°的三角形叫作直角三角形； 表示方法：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. （2）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90° . （3）直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 . 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 三角形内角和定理的直接应用 【题型02】 三角形内角和定理的证明 【题型03】 直角三角形中两锐角互余的应用 【题型04】 两锐角互余判定三角形是直角三角形 【题型05】 三角形内角和与平行线的综合 【题型06】 三角形内角和与角平分线的综合 【题型07】 三角形内角和与折叠中的角度计算 【题型08】 三角形内角和与三角板中的角度计算 【题型09】 直通中考真题 【核心考点板块1 三角形内角和定理及其应用】 方法与技巧： 1.三角形内角和定理的拓展模型： （1）由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. （2）由三角形内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 2.证明三角形内角和定理的方法很多，但其思路主要是运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 【题型01】 三角形内角和定理的直接应用 【例1】（2023-2024八年级上·重庆永川·期中）如图，（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024-2025八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等腰三角形顶角为，则这个三角形的底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024-2025八年级上·甘肃武威·阶段练习）若的三个内角度数之比为，则的度数为 ． 【变式1-3】（2024-2025七年级下·江西吉安·阶段练习）定义：当三角形中其中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”．若一个“倍角三角形”的其中一个内角为，则这个三角形中最大的内角度数为 ． 【题型02】 三角形内角和定理的证明 【例2】（2024-2025七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【变式2-1】（2023-2024八年级上·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（   ） 已知：．求证：． 证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴★，■（①）． ∵（②）， ∴（等量代换）． A．★处填2 B．■处填1 C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义 【变式2-2】（2024-2025八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）实验探究是数学学习的重要方法．通过剪拼验证“三角形的内角和等于”时，小明给出如图1的拼合方法，发现了证明的思路，并给出了不完整的“已知”和“求证”，请你补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图2， ； 求证： ． 【变式2-3】（2024-2025七年级下·江苏南京·期末）用两种方法证明“三角形的内角和等于”. 已知：，，是的三个内角.求证：. 证法1：如图，过点 作. ， _______， ______＋______， ， . 请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2. 【核心考点板块2 直角三角形的性质及判定】 方法与技巧： 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【题型03】 直角三角形中两锐角互余的应用 【例3】（2024-2025八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，是边上的高，平分交边于E，，．求的度数． 【变式3-1】（2024-2025八年级上·四川泸州·期中）如图，中，于点D，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024-2025八年级上·广东广州·期中）如图，，，求，的度数． 【变式3-3】（2024-2025八年级上·浙江温州·期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．比如：三个内角分别为，，的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点． (1) ； (2)若．求证：为“智慧三角形”； (3)当为“智慧三角形”时，请求出的度数． 【题型04】 两锐角互余判定三角形是直角三角形 【例4】（2022-2023八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·吉林·期中）下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【变式4-2】（2024-2025七年级下·上海·期中）若的三个内角的比为，则的形状是 三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个） 【变式4-3】（2022-2023八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，D为上一点，，． （1）判断的形状； （2）判断是否与垂直． 【核心考点板块3 三角形内角和定理的综合应用】 方法与技巧： 1.三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形三个内角中最多有三个锐角，至少有两个锐角，最多有一个直角，最多有一个钝角，且三角形中最大的内角不超过180度。 2.三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 【题型05】 三角形内角和与平行线的综合 【例5】（2023-2024八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E， 求的大小． 【变式5-1】（2024-2025七年级下·四川成都·期中）如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024-2025七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 【变式5-3】（2023-2024七年级下·河南郑州·期末）如图，已知，点在直线上，与交于点，. （1）求证：； （2）若，，求的度数. 【题型06】 三角形内角和与角平分线的综合 【例6】（2024-2025八年级上·辽宁鞍山·期中）如图， 的两条内角平分线 ， 交于点 ， 是 边上的高，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【变式6-1】（2024-2025八年级上·广东江门·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·湖南长沙·期中）如图，点是内一点，、分别平分、，，则 ． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·天津·期中）如图，在中，，于点D，平分交于点E，于点F． (1)求的度数； (2)求的度数． 【题型07】 三角形内角和与折叠中的角度计算 【例7】（2024-2025七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（   ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【变式7-1】（2024-2025八年级上·河北邢台·期中）如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024-2025八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有，则 ． 【变式7-3】（2024-2025八年级上·江苏南京·期中）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若比大，则的度数为 ． 【题型08】 三角形内角和与三角板中的角度计算 【例8】（2024-2025七年级下·福建漳州·期中）已知一块三角板，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．若的平分线交边于点，以下结论中 ①当且时，； ②当时，； ③当时，．正确的有（   ） A．② B．①② C．①③ D．①②③ 【变式8-1】（2024-2025八年级上·广东东莞·期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024-2025七年级下·四川巴中·期末）把一副三角板（，，）按如图所示摆放，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2024-2025七年级下·江苏连云港·期中）如图，把一副三角板如图摆放，点E在边上，将图中的绕点A按每秒速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边恰好与边平行． 【题型09】 直通中考真题 1.．（2025·山东威海·中考真题）如图，直线，，．若．则等于（ ） A． B． C． D． 2.（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·四川资阳·中考真题）如图，，过点作于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图所示，在中，，垂足为点D，，交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 8．（2024·湖南·中考真题）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 9．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，则的度数为 ； 10．（2023·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为 ． 11．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． (1)求的度数； (2)若，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$