13.3 三角形的内角与外角 寒假巩固讲义 2025-2026学年人教版数学八年级上册

13.3 三角形的内角与外角 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】三角形内角和定理的证明 1 【题型2】利用三角形内角和定理求角度 7 【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题 9 【题型4】折叠中的三角形内角和问题 11 【题型5】三角形内角和定理的应用 14 【题型6】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 17 【题型7】直角三角形定义 20 【题型8】直角三角形的两个锐角互余 24 【题型9】三角形外角的概念 26 【题型10】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 29 【题型11】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 32 【题型12】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 37 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【题型1】三角形内角和定理的证明 【典型例题】 “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：A项，由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意； B项，由于点D，则，无法证得“三角形内角和是”，该选项符合题意； C项，由，得，．由，得，，所以．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意； D项，由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意． 【举一反三1】定理：三角形的内角和是180°． 已知：是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（　　） A.①② B.②③ C.②④ D.①③ 【答案】C 【解析】证明：如图，过点E作直线， 使得， ∴（两直线平行，内错角相等），故①不符合题意； ∴，故②符合题意； ∴． 上述证明得到的结论，适用于任何三角形． 故③不符合题意；④符合题意． 【举一反三2】下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） A.★处填2 B.■处填1 C.①内错角相等，两直线平行 D.②平角定义 【答案】D 【解析】证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴1，2（两直线平行，内错角相等）． ∵（平角定义）， ∴（等量代换）． 【举一反三3】下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） A.★处填2 B.■处填1 C.①内错角相等，两直线平行 D.②平角定义 【答案】D 【解析】证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴1，2（两直线平行，内错角相等）． ∵（平角定义）， ∴（等量代换）． 【举一反三4】 “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：A项，由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意； B项，由于点D，则，无法证得“三角形内角和是”，该选项符合题意； C项，由，得，．由，得，，所以．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意； D项，由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，该选项不符合题意． 【举一反三5】在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小虎给出了下列证法． 证明：在中，作（如图）， ∵（已知） ∴（直角定义） ∴，（直角三角形两锐角互余） ∴（等式的性质） ∴． 请你判断上述小虎同学的证法是否正确，如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法． 【答案】解：小虎的做法不正确， 过点作直线，使， ∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（平角定义） ∴（等量代换） 【举一反三6】在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，有如下两种实验方法．    小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下：    请你参考小明的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】解：如图所示，过点A作，    ∴， ∵， ∴． 【题型2】利用三角形内角和定理求角度 【典型例题】如果一个三角形的两个内角分别为50°和30°，则这个三角形的形状是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 【答案】C 【解析】解：∵一个三角形的两个内角分别为50°和30°， ∴第三个内角的度数为180°﹣50°﹣30°＝100°， ∴这个三角形的是钝角三角形． 【举一反三1】已知∠A：∠B：∠C＝5：2：7，则△ABC的形状是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定形状 【答案】B 【解析】解：设∠A、∠B、∠C分别为5k、2k、7k， 则5k+2k+7k＝180°， 解得7k＝90°， 即∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 故选：B． 【举一反三2】在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，则∠A的度数为(　　) A.20° B.40° C.60° D.80° 【答案】B 【解析】∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4， ∴设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2x+3x+4x=180°， 解得x=20°， ∴∠A=2x=40°. 【举一反三3】在△ABC中，∠C=90°，若∠A=3∠B-10°，则∠B的度数为　　　　.  【答案】25° 【解析】∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∠C=90°，∠A=3∠B-10°， ∴3∠B-10°+∠B+90°=180°， 解得∠B=25°. 【举一反三4】如图，在三角形ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C＝　 　°． 【答案】40． 【解析】解：在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°． 故答案为：40． 【举一反三5】新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数)，则△ABC称为“n倍角三角形”.例如，在△ABC中，若∠A=90°，∠B=60°，则∠C=30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A=3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”. (1)在△DEF中，若∠D=20°，∠E=60°，则△DEF为“　　　　倍角三角形”； (2)如图，在△ABC中，∠C=44°，∠BAC，∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“4倍角三角形”，请求出∠ABD的度数. 【答案】解　(1)在△DEF中，∠E=60°，∠D=20°， 则∠F=180°-∠E-∠D=100°， ∴∠F最大，∠D最小，且∠F=5∠D， ∴△DEF为“5倍角三角形”. (2)∵∠C=44°， ∴∠BAC+∠ABC=180°-44°=136°， ∵∠BAC，∠ABC的角平分线相交于点D， ∴∠DAB=∠BAC，∠DBA=∠ABC， ∴∠DAB+∠DBA=×136°=68°， ∴∠ADB=180°-68°=112°， ∵△ABD为“4倍角三角形”， ∴∠ADB=4∠ABD或∠ADB=4∠BAD， 当∠ADB=4∠ABD时，∠ABD=28°， 当∠ADB=4∠BAD时，∠BAD=28°，则∠ABD=180°-112°-28°=40°， 综上所述，∠ABD的度数为28°或40°. 【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题 【典型例题】如图，已知直线l1∥l2，AB⊥CD于点D，∠1=50°，则∠2的度数是 A.40° B.45° C.50° D.60° 【答案】A 【解析】∵l1∥l2，∠1=50°， ∴∠ABC=∠1=50°， ∵AB⊥CD， ∴∠BDC=90°， ∴∠2=180°-90°-50°=40°，故A正确. 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（　　） A.30° B.35° C.40° D.45° 【答案】A 【解析】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°， ∴∠A＝40°， ∵DF∥EB，∠D＝70°， ∴∠D＝∠CEB＝70°， ∴∠ACD＝∠CEB﹣∠A＝70°﹣40°＝30°， 故选：A． 【举一反三2】如图所示为一辆婴儿车的平面示意图，其中，，，则      ． 【答案】 【解析】解：， ， ，且， ． 【举一反三3】如图，已知，，，，那么          ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【举一反三4】如图，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，如果，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】解：（1），理由如下： ， ， ， ， . （2），， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ． 【题型4】折叠中的三角形内角和问题 【典型例题】如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ，， ， ． 【举一反三1】如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵沿直线折叠后，点C落到点E处，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 【举一反三2】如图，在△ABC中，，沿图中虚线翻折，使得点落在上的点处，则等于　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】， ， 由翻折可知， ，， ， ． 【举一反三3】如图甲所示的三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为       ． 【答案】72 【解析】设，根据翻折不变性可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【举一反三4】探究： (1)如图①，与有什么关系？为什么？ (2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）； (3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______． 猜想三个角存在的等量关系为______． 【答案】解：（1） ，理由如下： 由题意知，， ∴. （2）由题意知，， ∴. （3）∵，， ∴， 由折叠与平角的性质，可知，， ∴， 由题意知，， ∴三个角存在的等量关系为. 【题型5】三角形内角和定理的应用 【典型例题】中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，恳水盆于其下，则见四邻矣”，如图①，其工作方法主要利用了光的反射原理．如图②，呈水平状态，为法线，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三1】潍坊红木嵌银漆器是山东潍坊特有的传统手工艺品，最早可追溯到战国时代在一些铜器上镶嵌金银丝花纹；如图为某嵌银厂制作的传统工艺红木嵌银靠背马扎，其侧面图如图所示，，与地面平行，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵， ， ， ， ， . 【举一反三2】如图，点B在点A的西南方向，点C在点A的南偏东方向，点C在B的北偏东方向，则        ．    【答案】 【解析】如图所示，由题意得，，， ∴， ∴， ∴.    【举一反三3】健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中平分．若，则的度数为     ． 【答案】 【解析】∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴. 【举一反三4】如图，一艘船停靠在码头处，测得海中灯塔在北偏东方向上，它从处出发向正东航行，到达处停止，且． (1)在处测得灯塔应在什么方向； (2)求从灯塔观测两处的视角的度数． 【答案】解：（1）如图，过点B作， 由题可得， ∴， ∴， ∴在处测得灯塔在北偏东. （2）． 【题型6】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 【典型例题】如图，在中，，，和分别是的高和角平分线，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：在中， ，，， ． 是的角平分线， ． 是的高， ， ， ． 【举一反三1】如图，△ABC中，平分，．，．则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即， 解得． 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F，∠EFC＝50°，则∠A的度数为 　     　． 【答案】80° 【解析】解：∵∠EFC＝50°， ∴∠BFC＝180°﹣∠EFC＝130°， ∴∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠BFC＝50°， ∵∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F， ∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠FBC+∠FCB）＝100°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝80°． 【举一反三3】如图，在中，平分，则的度数是            ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴． 【举一反三4】如图，平分，点在的延长线上，于点，，，请用含的代数式表示． 【答案】解：因为，， 所以． 因为平分， 所以， 所以 ． 因为， 所以， 所以． 【题型7】直角三角形定义 【典型例题】满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A项，，是直角三角形，不符合题意； B项，时，最大的角，不是直角三角形，符合题意； C项，，则，是直角三角形，不符合题意； D项，，则∠B=90°，△ABC是直角三角形，不符合题意． 【举一反三1】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②＝，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝2∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】B 【解析】① ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ②由条件可设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x， 又∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴x+2x+3x＝6x＝180°， ∴x＝30°， ∴∠C＝3x＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ③∵∠A＝90°﹣∠B， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣90°＝90°， ∴△ABC是直角三角形； ④∠A＝∠B＝2∠C， 设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x， 又∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2x+2x+x＝5x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠A＝∠B＝2x＝72°，∠C＝x＝36°， ∴△ABC不是直角三角形； ⑤由条件可知，， 又∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴， ∴， ∴△ABC不是直角三角形； 综上，能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③，共3个. 【举一反三2】如图，已知直线a∥b，△ABC的顶点A在直线a上，∠BAC＝55°，若∠2＝35°，∠1=70°，则△ABC为     　三角形（填写“直角”“锐角”“钝角”）． 【答案】直角． 【解析】解：如图，过点C做DE∥a. ∵a∥b，DE∥a. ∴DE∥b. ∴∠3＝∠2＝35°，∠4＝∠5， ∵∠5=180°-∠1-∠BAC＝180°-70°-55°=55°， ∵∠ACB=∠3+∠4＝35°+55°=90°， ∴△ABC直角三角形， 故答案为：直角． 【举一反三3】在△ABC中，∠A+∠B＝90°，那么△ABC是　   　（填“直角三角形”，“钝角三角形”或“锐角三角形”）． 【答案】直角三角形 【解析】∵∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣90°＝90°， ∴△ABC是直角三角形. 【举一反三4】如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，△ABC的外角∠BAG的平分线AF交CD的延长线于点F，AF的反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B＝40°，∠E=25°.求证：△ABC为直角三角形． 【答案】解：∵∠B＝40°，∠E＝25°， ∴∠BAE＝180°-40°-25°＝115°， ∴∠BAF=180°-∠BAE=180°-115°=65° ∵AF平分∠BAG， ∴∠GAF＝∠BAF＝65°， ∴∠CAE=∠GAF=65° ∵∠E=25° ∴在△ACE中，∠ACE＝180°-65°﹣25°＝90°． ∴∠ACB=90° ∴△ABC为直角三角形. 【举一反三5】如图，在中，，是的高． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)和有什么数量关系？并说明理由． 【答案】解：（1） ，是高， ， 图中有个直角三角形，分别是，，. （2） ，，是直角三角形，且是直角， ，， ． 【题型8】直角三角形的两个锐角互余 【典型例题】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数是（　　） A.60° B.65° C.70° D.75° 【答案】D 【解析】解：在图中标上∠2，∠3，∠4，如图所示． ∵45°+∠2＝90°，30°+∠3＝90°， ∴∠2＝45°，∠3＝60°， ∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°． ∵直尺的对边平行， ∴∠1＝∠4＝75°． 故选：D． 【举一反三1】根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 A.∠B=50°，∠C=40° B.∠B=∠C=45° C.∠A，∠B，∠C的度数比为5∶3∶2 D.∠A-∠B=90° 【答案】D 【解析】A项，是直角三角形，因为∠B+∠C=90°，根据有两个角互余的三角形是直角三角形，可知△ABC是直角三角形； B项，是直角三角形，因为∠B+∠C=90°，根据有两个角互余的三角形是直角三角形，可知△ABC是直角三角形； C项，是直角三角形，因为∠A∶∠B∶∠C=5∶3∶2，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=90°，故△ABC是直角三角形； D项，由∠A-∠B=90°无法判断哪个角是直角. 【举一反三2】在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝4∠A，则∠A的度数为（　　） A.21° B.18° C.15° D.11.25° 【答案】B 【解析】在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠B＝4∠A， ∴∠A+∠B＝∠A+4∠A＝90°， ∴∠A＝18°. 【举一反三3】如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若∠ACD＝35°，则∠ABC的度数是　   　． 【答案】35° 【解析】解：∵CD⊥AB于点D， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ABC+∠BCD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠ABC＝∠ACD＝35°， 故答案为：35°． 【举一反三4】在直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠A＝2∠C，则∠C的度数为　 　． 【答案】30° 【解析】∵∠B＝90°，∠A＝2∠C， ∴∠A+∠C＝90°， ∴3∠C＝90° ∴∠C＝30°. 【举一反三5】如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠EDF的度数． 【答案】解：∵∠AFD＝152°， ∴∠DFC＝28°， ∴∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB， ∴∠EDB＝∠DFC＝28°， ∴∠EDF＝180°﹣∠EDB﹣∠FDC＝180°﹣90°﹣28°＝62°． 【题型9】三角形外角的概念 【典型例题】如图，点D在BC的延长线上，连接AD，则∠EAD是 A.△ABC的外角 B.△ACD的外角 C.△ABD的外角 D.以上都不对 【答案】C 【解析】∵∠EAD是由△ABD的边AD与边BA的延长线组成的角， ∴∠EAD是△ABD的外角. 【举一反三1】如图，则下列各角中，是三角形外角的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 又∵∠AFC是中的一边AF与另一边EF的延长线组成的角； ∴∠AFC是三角形的外角. 【举一反三2】如图，在中，D为上一点，图中标有，则的外角为      ；的外角为      ； 【答案】 【解析】∵三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角， 又∵∠4是中的一边AD与另一边BD的延长线组成的角；∠ADB是中的一边AD与另一边CD的延长线组成的角； ∴的外角为；的外角为. 【举一反三3】如图，以∠AOD为外角的三角形是　　　　. 【答案】△AOB和△COD 【举一反三4】如图，AD是△ABC的角平分线，B、C、E共线，则∠β、∠γ分别是哪个三角形的外角？ 【答案】△ABD；△ABC、△ADC. 【解析】解：根据三角形外角的定义可知，∠β是△ABD的外角；∠γ是△ACD的外角，也是△ABC的外角. 故答案为：△ABD；△ABC、△ADC.． 【举一反三5】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠A与∠BOC有什么数量关系？并说明理由； （2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？并说明理由． （3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） 【答案】（1）解：∠A＝2∠BOC﹣180°，理由如下： ∵O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， 在△ABC中，∠A+2∠OBC+2∠OCB＝180°， ∴∠A+2（∠OBC+∠OCB）＝180°， 在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC， ∴∠A+2（180°﹣∠BOC）＝180°， ∴∠A＝2∠BOC﹣180°； （2）解：∠A＝2∠BOC，理由如下： ∵O是∠ABC和∠ACD的平分线的交点， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACD＝2∠OCD， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC＝∠A+2∠OBC，∠OCD＝∠BOC+∠OBC， ∴2（∠BOC+∠OCB）＝∠A+2∠OBC． ∴∠A＝2∠BOC． （3）解：∠A＝180°﹣2∠BOC，理由如下： ∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线的交点， ∴∠CBD＝2∠OBC，∠BEC＝2∠OCB， ∴∠ABC＝180°﹣∠CBD＝180°﹣2∠CBO，∠ACB＝180°﹣∠BCE＝180°﹣2∠BCD， ∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣2（∠CBO+∠BCO）， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴2（∠CBO+∠BCO）＝∠A+180°， 在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC， ∴2（180°﹣∠BOC）＝∠A+180°， ∴∠A＝180°﹣2∠BOC． 【题型10】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 【典型例题】如图，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A的度数为（　　） A.30° B.50° C.60° D.70° 【答案】C 【解析】∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝2×20°＝40°， ∠ACM＝2∠ACP＝2×50°＝100°， ∵∠ACM是△ABC的外角， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝100°﹣40°＝60°． 【举一反三1】如图，AB和CD相交于点O，则下列结论不正确的是(　　) A.∠1=∠2 B.∠1=∠B C.∠2>∠D D.∠A+∠D=∠B+∠C 【答案】B 【解析】∵∠1与∠2互为对顶角，∴∠1=∠2，故选项A不符合题意； ∵∠1=∠B+∠C，∴∠1>∠B，故选项B符合题意； ∵∠2=∠D+∠A，∴∠2>∠D，故选项C不符合题意； ∵∠A+∠D=∠1，∠B+∠C=∠1，∴∠A+∠D=∠B+∠C，故选项D不符合题意. 【举一反三2】如图，在中，，，，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵，， ， ， . 【举一反三3】如图，中的外角的平分线与的平分线相交于点P，，则的度数是      ． 【答案】 【解析】解：如图，∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴. 【举一反三4】如图所示，已知直线，，，则的度数为         ． 【答案】48° 【解析】∵，， ∴， ∵， ∴． 【举一反三5】已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2． 【答案】证明：∵∠1是△ABC的一个外角， ∴∠1＞∠3， ∵∠3是△DEC的一个外角， ∴∠3＞∠2， ∴∠1＞∠2． 【题型11】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 【典型例题】已知，将直角三角尺按如图所示放置得到，，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：延长，交直线于点，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【举一反三1】数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：如图所示， 和是一副三角板叠放， ∴，，， 是的一个外角， ∴． 【举一反三2】我们将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则        ． 【答案】 【解析】解：如图， 由图可得， ∴， ∴，， ∴． 【举一反三3】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 　      ． 【答案】105°． 【解析】解：如图， ∵∠3＝90°﹣60°＝30°，∠4＝90°﹣45°＝45°， ∴∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°， ∴∠1＝∠2＝105°， 故答案为：105°． 【举一反三4】如图，把一副三角板如图1摆放，，点C在边上，将图中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向匀速旋转一周，在旋转的过程中，旋转的时间为秒． (1)如图2，求当t为多少秒时，；（注：要写出求解过程） (2)如图3，当___________秒时，；（注：直接写出结果） 【答案】解：（1）如图，记的交点为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）如图，延长交于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴. 【举一反三5】如图，将一副三角尺中的直角顶点叠放在一起．，，，当且点E在直线的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，求的度数．（画出符合条件的图形，并直接写出相应的的度数．）    【答案】解：依题意，分五种情况： 当时，如图1， ， ， ； 当时，如图2， ； 当时，如图3， ； 当时，如图4， ， ， ； 当时， 如图5，延长交于点， ， 是的一个外角， . 综上所述,的度数为或或或或． 【题型12】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 【典型例题】如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，，，则的大小为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵，，， ∴， ∵， ∴. 【举一反三1】如图是一款手推车的示意图，其中，，，则∠3度数为（    ）    A.104° B.127° C.137° D.154° 【答案】B 【解析】解：如图：    ∵， ∴, ∵, ∴ ∴. 故选: . 【举一反三2】如图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，已知，则图2中的度数为      ． 【答案】． 【解析】解：∵， ∴. 【举一反三3】如图1，将扳手中某些部位抽象成点，并画出如图2所示的平面图形，其中， ，若，，，则       ． 【答案】28 【解析】解：如图，延长交于点K，延长交于点M，延长交于点N， ∵，，∴， ∵，∴， ∵，，， ∴， ∵，∴． 【举一反三4】实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．    (1)如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且则______， ______； (2)在（1）中，若，则______；若，则______； (3)由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a，b的夹角______时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由． 【答案】解：（1）入射角和反射角相等 即， 根据邻补角的定义 根据 根据三角形内角和为，可知 ． （2） 同理可得当时， ， ， ∴． （3）由（1）、（2）猜想，当两平面镜的夹角时，总有． 证明：， ， ， ， ， ， ．        学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3 三角形的内角与外角 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】三角形内角和定理的证明 1 【题型2】利用三角形内角和定理求角度 4 【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题 5 【题型4】折叠中的三角形内角和问题 6 【题型5】三角形内角和定理的应用 8 【题型6】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 9 【题型7】直角三角形定义 10 【题型8】直角三角形的两个锐角互余 11 【题型9】三角形外角的概念 12 【题型10】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 14 【题型11】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 15 【题型12】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 16 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【题型1】三角形内角和定理的证明 【典型例题】 “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（     ） A. B. C. D. 【举一反三1】定理：三角形的内角和是180°． 已知：是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（　　） A.①② B.②③ C.②④ D.①③ 【举一反三2】下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） A.★处填2 B.■处填1 C.①内错角相等，两直线平行 D.②平角定义 【举一反三3】下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） A.★处填2 B.■处填1 C.①内错角相等，两直线平行 D.②平角定义 【举一反三4】 “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（     ） A. B. C. D. 【举一反三5】在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小虎给出了下列证法． 证明：在中，作（如图）， ∵（已知） ∴（直角定义） ∴，（直角三角形两锐角互余） ∴（等式的性质） ∴． 请你判断上述小虎同学的证法是否正确，如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法． 【举一反三6】在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，有如下两种实验方法．    小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下：    请你参考小明的思路，写出实验方法2的证明过程． 【题型2】利用三角形内角和定理求角度 【典型例题】如果一个三角形的两个内角分别为50°和30°，则这个三角形的形状是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判断 【举一反三1】已知∠A：∠B：∠C＝5：2：7，则△ABC的形状是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定形状 【举一反三2】在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，则∠A的度数为(　　) A.20° B.40° C.60° D.80° 【举一反三3】在△ABC中，∠C=90°，若∠A=3∠B-10°，则∠B的度数为　　　　.  【举一反三4】如图，在三角形ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C＝　 　°． 【举一反三5】新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数)，则△ABC称为“n倍角三角形”.例如，在△ABC中，若∠A=90°，∠B=60°，则∠C=30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A=3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”. (1)在△DEF中，若∠D=20°，∠E=60°，则△DEF为“　　　　倍角三角形”； (2)如图，在△ABC中，∠C=44°，∠BAC，∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“4倍角三角形”，请求出∠ABD的度数. 【题型3】与平行线有关的三角形内角和问题 【典型例题】如图，已知直线l1∥l2，AB⊥CD于点D，∠1=50°，则∠2的度数是 A.40° B.45° C.50° D.60° 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（　　） A.30° B.35° C.40° D.45° 【举一反三2】如图所示为一辆婴儿车的平面示意图，其中，，，则      ． 【举一反三3】如图，已知，，，，那么          ． 【举一反三4】如图，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，如果，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若是的平分线，，求的度数． 【题型4】折叠中的三角形内角和问题 【典型例题】如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在△ABC中，，沿图中虚线翻折，使得点落在上的点处，则等于　　 A. B. C. D. 【举一反三3】如图甲所示的三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为       ． 【举一反三4】探究： (1)如图①，与有什么关系？为什么？ (2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）； (3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______． 猜想三个角存在的等量关系为______． 【题型5】三角形内角和定理的应用 【典型例题】中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜高悬，恳水盆于其下，则见四邻矣”，如图①，其工作方法主要利用了光的反射原理．如图②，呈水平状态，为法线，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】潍坊红木嵌银漆器是山东潍坊特有的传统手工艺品，最早可追溯到战国时代在一些铜器上镶嵌金银丝花纹；如图为某嵌银厂制作的传统工艺红木嵌银靠背马扎，其侧面图如图所示，，与地面平行，，则（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，点B在点A的西南方向，点C在点A的南偏东方向，点C在B的北偏东方向，则        ．    【举一反三3】健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中平分．若，则的度数为     ． 【举一反三4】如图，一艘船停靠在码头处，测得海中灯塔在北偏东方向上，它从处出发向正东航行，到达处停止，且． (1)在处测得灯塔应在什么方向； (2)求从灯塔观测两处的视角的度数． 【题型6】与角平分线、高有关的三角形内角和问题 【典型例题】如图，在中，，，和分别是的高和角平分线，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，△ABC中，平分，．，．则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F，∠EFC＝50°，则∠A的度数为 　     　． 【举一反三3】如图，在中，平分，则的度数是            ． 【举一反三4】如图，平分，点在的延长线上，于点，，，请用含的代数式表示． 【题型7】直角三角形定义 【典型例题】满足下列条件的不是直角三角形的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②＝，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝2∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【举一反三2】如图，已知直线a∥b，△ABC的顶点A在直线a上，∠BAC＝55°，若∠2＝35°，∠1=70°，则△ABC为     　三角形（填写“直角”“锐角”“钝角”）． 【举一反三3】在△ABC中，∠A+∠B＝90°，那么△ABC是　   　（填“直角三角形”，“钝角三角形”或“锐角三角形”）． 【举一反三4】如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，△ABC的外角∠BAG的平分线AF交CD的延长线于点F，AF的反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B＝40°，∠E=25°.求证：△ABC为直角三角形． 【举一反三5】如图，在中，，是的高． (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)和有什么数量关系？并说明理由． 【题型8】直角三角形的两个锐角互余 【典型例题】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数是（　　） A.60° B.65° C.70° D.75° 【举一反三1】根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 A.∠B=50°，∠C=40° B.∠B=∠C=45° C.∠A，∠B，∠C的度数比为5∶3∶2 D.∠A-∠B=90° 【举一反三2】在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝4∠A，则∠A的度数为（　　） A.21° B.18° C.15° D.11.25° 【举一反三3】如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若∠ACD＝35°，则∠ABC的度数是　   　． 【举一反三4】在直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠A＝2∠C，则∠C的度数为　 　． 【举一反三5】如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠EDF的度数． 【题型9】三角形外角的概念 【典型例题】如图，点D在BC的延长线上，连接AD，则∠EAD是 A.△ABC的外角 B.△ACD的外角 C.△ABD的外角 D.以上都不对 【举一反三1】如图，则下列各角中，是三角形外角的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，在中，D为上一点，图中标有，则的外角为      ；的外角为      ； 【举一反三3】如图，以∠AOD为外角的三角形是　　　　. 【举一反三4】如图，AD是△ABC的角平分线，B、C、E共线，则∠β、∠γ分别是哪个三角形的外角？ 【举一反三5】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角探究片段，完成所提出的问题． （1）探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试分析∠A与∠BOC有什么数量关系？并说明理由； （2）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？并说明理由． （3）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） 【题型10】利用三角形外角的性质、内角和定理进行计算 【典型例题】如图，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A的度数为（　　） A.30° B.50° C.60° D.70° 【举一反三1】如图，AB和CD相交于点O，则下列结论不正确的是(　　) A.∠1=∠2 B.∠1=∠B C.∠2>∠D D.∠A+∠D=∠B+∠C 【举一反三2】如图，在中，，，，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，中的外角的平分线与的平分线相交于点P，，则的度数是      ． 【举一反三4】如图所示，已知直线，，，则的度数为         ． 【举一反三5】已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2． 【题型11】三角形外角性质、内角和定理与三角板的综合 【典型例题】已知，将直角三角尺按如图所示放置得到，，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三2】我们将一副三角尺按如图所示的位置摆放，则        ． 【举一反三3】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为 　      ． 【举一反三4】如图，把一副三角板如图1摆放，，点C在边上，将图中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向匀速旋转一周，在旋转的过程中，旋转的时间为秒． (1)如图2，求当t为多少秒时，；（注：要写出求解过程） (2)如图3，当___________秒时，；（注：直接写出结果） 【举一反三5】如图，将一副三角尺中的直角顶点叠放在一起．，，，当且点E在直线的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，求的度数．（画出符合条件的图形，并直接写出相应的的度数．）    【题型12】三角形外角性质、内角和定理的实际应用与跨学科应用 【典型例题】如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，，，则的大小为（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图是一款手推车的示意图，其中，，，则∠3度数为（    ）    A.104° B.127° C.137° D.154° 【举一反三2】如图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，已知，则图2中的度数为      ． 【举一反三3】如图1，将扳手中某些部位抽象成点，并画出如图2所示的平面图形，其中， ，若，，，则       ． 【举一反三4】实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．    (1)如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且则______， ______； (2)在（1）中，若，则______；若，则______； (3)由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a，b的夹角______时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $