河北省定州中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2026届高三年级上学期开学考试 数 学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|x=2n,n∈Z},B={x|-4<x<6},则A∩B= A.{-2,0,2,4} B.{0,2,4} C.{0,2,4,6} D.{-4,-2,0,2,4,6} 2.在复平面内，复数z对应的点为(1，-2)，则 的虚部是 B. D. 3.顶点在原点，对称轴为y轴，并且经过点 M(-1，2)的抛物线方程为 4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 则b= A. B. C.1 D.2 5.小李是一名健身运动爱好者，如图所示的统计图记录了他过去一个月(30天)每天花在健身运动上的时间(单位：分钟)，记这组数据的众数为 M，中位数为 N，平均数为 P，则 A. N<M<P B. P<N<M C. M<P<N D. M<N<P 6.已知偶函数f(x)的定义域为R,且当x>0时,f(x)=-3ˣ+m,若f(-2)=-7,则f(3)= A.-11 B.-15 C.-25 D.-29 【第1页(共4页)】 学科网（北京）股份有限公司 7.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若 则 A.-1 B.0 C.1 D.2 8.已知两平行平面α与β之间的距离为3，过平面α与β之间的一点O作两条直线与m，其中⊥α，m与α所成角为.以为轴将m 旋转一周，并用α，β截取得到两个同顶点O的圆锥，设这两个圆锥的体积分别为V₁、V₂,则 的最小值为 A. C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若a,b∈R,则 10.若双曲线C的两条渐近线的方程为y=±x，则 A. C的离心率为 B. C的焦点在x轴上 C.若C上的点到两渐近线距离之和的最小值为4，则C的实轴长为 D.若双曲线 绕原点沿逆时针方向旋转后恰好得到C，则C的方程为 11.已知定义在 R上的函数 f(x)满足： 且f(1)≠1,则 A. f(1)=2 B. f(x)可能是偶函数 C. f(x)的图象不可能关于点(0,1)对称 D.若∀x∈(1,+∞),f(x)>2,则f(x)在(0,+∞)上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若向量a=(1,m),b=(2,-1),且a⊥b,则 cos<a-b,b>= . 13.已知点A,B是圆上的两个动点，O为原点，点 A，B，O共线，点 D为AB 的中点，则点 D 的轨迹长度为 . 14.已知函数 恰有两个极值点，则实数a的取值范围是 . 【第2页(共4页)】 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数 (1)求; (2)设函数 求g(x)的值域和单调区间. 16.(本小题满分15 分) 如图，在四面体ABCD中， 与 都是等边三角形， (1)求证: (2)若E为AD 的中点，求平面BCD与平面BCE 夹角的余弦值. 17.(本小题满分15分) 已知椭圆E 的左、右焦点分别为 且 椭圆E的离心率为 (1)求椭圆E的方程； (2)已知直线过点F₁，且与椭圆E交于点A，B，求证： 是定值. 【第3页(共4 页)】 学科网（北京）股份有限公司 18.(本小题满分17分) 已知函数 (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2y+3=0平行,求f(x)的单调区间; (2)当x≥1时,f(x)≥0,求a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 2024年10月16 日，为纪念我国第一颗原子弹爆炸 60 周年，某中学高三年级举行“两弹一星”知识挑战赛，全年级共1000名学生，其中高三(1)班有n(n≥40)名学生.挑战赛分为初赛和决赛，都是以班级为单位，初赛每名学生都参加，每名学生只有 1次答题机会，全班答对人数超过80%进入决赛；决赛按照班级学号从小到大依次答题，若答对，则下一个人答题，直到有人答错或班级所有人答完，此班结束比赛. (1)学校根据初赛中学生答题情况绘制了如下列联表，完成表中数据，并根据小概率值( 的独立性检验，能否认为学生答对题目与选科类型有关联? 选科类型 答对 答错 总计 物理类学生 350 历史类学生 50 300 总计 1 000 (2)已知高三(1)班在初赛中每个学生答对的概率均为p(0<p<1)，各人是否答对相互独立，若初赛中高三(1)班恰有m(0<m<n)人答对的概率记为f(p)，求证：当f(p)取得最大值时， (3)若高三(1)班进入决赛，且决赛中每个学生答错的概率均为q(0<q<1)，各人是否答对相互独立，记决赛中高三(1)班答题的人数为 X，求证： 附： 其中n=a+b+c+d. α 0.01 0.005 0.001 x。 6.635 7.879 10.828 【第4页(共4页)】 学科网（北京）股份有限公司 数学参考答案 1. A 由题意,得A∩B={x|x=2n,n∈Z}∩{x|-4<x<6}={-2,0,2,4}.故选A. 2. D因为在复平面内，复数z对应的点为(1，-2)，所以 所以 的虚部是 .故选D. 3. C由题意设抛物线的方程为 因为M(-1,2)在抛物线上,所以1=2a,解得 即所求抛物线方程为 故选 C. 4. A 因为 由正余弦定理得 化简得 故选 A. 5. D由统计图可得，众数M=50；处在中间位置的两个数据为50，60，所以中位数 平均数P=所以M<N<P.故选 D. 6. C 因为 f(x)是偶函数,且当x>0时, 所以 解得m=2,所以f(3) 故选 C. 7. B 法1:因为 所以 又{an}为等差数列，所以 所以 即as=0,所以 故选 B. 法2：因为 成等差数列，所以 因为 所以 故选B. 法3:设{an}的公差为d,因为. 所以 整理得 所以 故选 B. 8. B两个圆锥的轴截面如图所示，O₁，O₂分别为两圆锥的底面圆的圆心，设半径分别为r₁，r₂， ，直线DE，BC分别为两圆锥的轴截面与α，β的交线.因为α与β之间的距，易知l与m的夹角为 所以离为3，所以设 由圆锥的性质知,OB=OC,OD=OE,所以△ODE,△OBC为等边三角形,所以 所以 同理 所以 令 所以当 时,f'(h)<0,当 时,f'(h)>0,所以 f(h)在(0, )上单调递减，在( 上单调递增，所以 所以 ₂的最小值为 .故选 B. 9. ACD 用-b替代 中的b，得到 故 A正确;取a=b=-2,则 此时 ，故B错误； ，故C正确；因为 所以 即 故D正确.故选 ACD. 10. AC 双曲线C的两条渐近线方程为y=±x，则C为等轴双曲线，其离心率为 ，故A正确；等轴双曲线 符合题意，但焦点在y轴上，故B错误；设C的方程为 若点 P(x，y)在C上，则P 到两渐近线距离之积为 所以C上的点到两渐近线距离之和的最小值为 C的实轴长为 故C正确；易得双曲线 关于直线y=x对称，且 与直线y=x有公共点，所以双曲线的实轴在直线y=x上，所以双曲线 与直线y=x的交点 )为双曲线 的顶点，顶点到原点的距离为4，所以C的半实轴长为4，旋转后实轴在 y轴上，故C的方程为 故 D错误.故选 AC. 11. ABD 法1:因为( 令 ,得f(1)=f(1)f(1)-f(1)-f(1)+2,即[[f(1)-1][f(1)-2]=0,因为f(1)≠1,所以f(1)=2,故A正确; 满足已知条件，故B正确； 满足已知条件，且其图象关于点(0，1)对称，故C错误；当0<x<1时， 则 >2.由 f(1)=2,得 所以 又∀x∈(1,+∞),f(x)>2,所以当x>0时,f(x)>1.设g(x)=f(x)-1,则当x∈(1,+∞)时,g(x)>1,且 =g(x₁)g(x₂),若. ,则存在t>1,使得. 所以 ,当t>1时,g(t)>1;因为x₂>0,所以. 所以. 所以 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,故D正确.故选 ABD. 法2：构造函数 ，对选项进行验证. 因为a⊥b,所以a·b=2-m=0,m=2,a-b=(-1,3),所以 13. 由题意知C(0,4),CD⊥OD,点D的轨迹是以OC为直径的圆.E: 在圆C内的部分，两圆的半径均为2，两圆交点分别为 则 所以点 D的轨迹长度为 14.(-∞,-2e) 因为 所以 显然a≠0，方程 有两个不同实根，设 则 易得g(x)在 上单调递减，在 上单调递增,g(x) min 当x<0时,g(x)<0,当x→-∞时,g(x)→0,当x→+∞时,,g(x)→+∞,所以 所以a<-2e.当a<-2e时，f'(x)有两个变号零点(在零点的左右附近导函数值变号)，符合题意.故a的取值范围为(-∞,-2e). 15.解:(1)由题知 又0≤φ<π,)所以\varphi = \frac{\pi}{3}. 4分 (2)由(1)可知: 所以 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分 令 解得 令 解得 所以函数 g(x)的单调递减区间为 单调递增区间为 分 16.(1)证明:取AC的中点O,连接OB,OD, 因为△ABC与△ACD都是等边三角形,O为AC的中点,所以OB⊥AC,OD⊥AC, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分 又OB∩OD=O,OB,OD⊂平面OBD,所以AC⊥平面OBD, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分 又BD⊂平面OBD,故AC⊥BD. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$