高效同步练习12.4.1 互逆命题与互逆定理&12.4.2线段垂直平分线-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（华东师大版2024）

高效同步练习12.3.1等腰三角形的性质 1.D 2.C【解析】设等腰三角形的底角为x,顶角为30°+x,根据题 意，得2x+30°+x=180°，解得x=50°.故选C. 3.C4.等腰三角形三线合一 5.35°6.25°7.C 8.C【解析】y△ABC是等边三角形，∠ACB=60. ∠ACB=∠CGD+∠CDG,.∴.∠CGD+∠CDG=60°.".'CG=CD, ∴.∠CGD=LCDG=30.∠CDG=∠DFE+∠E,∴∠DFE+ ∠E=30°.DF=DE,∴.∠E=∠DFE=15°.故选C 9.解：(1)△ABE,△DEC都是等边三角形，.∠AEB= LDEC=∠AED=6O°，EA=EB,EC=ED.∴LDBE+∠EDB= 60°，∠BED=∠AEC=120°，∴.△DBE≌△CAE(SAS), ∠ECA=∠EDB,∴，∠DBE+∠ECA=6O°，.：∠AFB=∠DBE+ ∠ECA,∠AFB=60°： (2)①②③ 10.60°或1209 11.19或23【解析】当5为底时，其他两边都为9,59、9可以 构成三角形，周长为23：当5为腰时，其他两边为5和9,5 5、9可以构成三角形，周长为19.综上所述，它的周长是19 或23。 12.A【解析】OC=CD=DE,LAOB=LODC,∠DCE= ∠DEC,.∠DEC=∠AOB+∠ODC=2∠AOB,:.∠BDE 102°=∠AOB+∠DEC=3∠AOB,.∴∠AOB=34°，故选A. 13.B14.B 15.C【解析】小：△ABC是等边三角形，.∠ABD=∠C,AB= (AB=BC BC,在△ABD与△BCE中，∠ABD=∠C,,△ABD≌ BD=CE △BCE(SAS),∴.∠BAD=∠CBE,,∠ABE+∠EBC=60°」 ∴+∠ABE+∠BAD=60°，，∠APE=∠ABE+∠BAD=6O°， ∠APE=60°.故选C 16.解：(1)60° (2)证明：AB=AC,∴.∠B=∠C,由旋转的特点可知，AC AE,∠E=∠C,∴.AB=AE,∠B=∠E.∠BMC=∠DAE,∴. ∠BAC-∠MAV=∠DAE-∠MAN,即∠BAM=∠EAN,在 (AB=AE △BAM和△EAN中， ∠BAM=∠EAN,∴.△BAM≌△EAN ∠B=∠E (ASA),∴，AM=AN: (3)30°或75【解析】①如图1，当DM-0M时，∠M0D= ∠D=30°，∠B=∠D,∠AMB=∠DM0,∴∠BAD= ∠M0D=30°，∴.a=30°，如图2，当DM=D0时，∠DM0= ∠D0M=180°，∠D=75,a=∠D0M=75,知图3.当 OM=OD时，∠OMD=∠D=30°，.a=∠D0M=120°，此时 AD和AC重合，这种情形不存在.综上所述：a=30°或75 B D 图1 图2D 图3 高效同步练习12.3.2等腰三角形的判定 1.B2.A3.D 4.(1)证明：AB=AC,∴∠B=∠C,在△BDE和△CEF中， BD=CE ∠B=∠C,.△BDE≌△CEF(SAS),.DE=EF,.,△DEF BE=CF 是等腰三角形： 同步炼习，精炼高效抓考 (2)解：，△BDE≌CEF,∴.∠BDE=∠CEF,∴，∠BED+ ∠CEF=∠BED+∠BDE.∠B+(∠BED+∠BDE)=18O° ∠DEF+(∠BED+∠CEF)=18OP,∴.∠B=∠DEF.:∠A 1 50°，MB=AC,∠B=2×(180-50)=65°，∠DEF=659 5.186.60° 7.证明：D是AC中点，DE⊥AB,DF⊥BC,AD=CD,∠AED =LcFD=0在△D和△GD中，化P △AED≌Rt△CFD(HL).∴，∠A=∠C.,AB=AC,.∠B= ∠C,∴∠A=∠B=∠C..,△ABC为等边三角形. 8.D 9.B【解析】小：等边三角形ABC的周长为6，BC=2E,F是 边BC上的三等分点，∴BC=3EF=2ED∥AB,FD∥AC, ∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，·△DEF是等边三角形， 六Cam=3EF=2故选B. 10.C 11.10【解析】.·CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,∴∠ECB= ∠ECM,∠MCF=∠FCD.'EFBC,.∠ECB=∠MEC,∠FCD =∠F,∴，∠ECM=∠MEC,∠MCF=∠F,∴.EM=CM,CM=MF CM=5,∴，EF=10 12.(1)证明：，△ABD、△BCE都是等边三角形，∴AB=BD, BC=BE,∠ABD=∠CBE,.∠ABD+∠DBE=∠DBE+ ∠CBE,即∠ABE=∠DBC,.在△ABE和△DBC中 (AB=DB ∠ABE=∠DBC,∴.△ABE≌△DBC(SAS).,∴.AE=CD: BE=BC (2)解：△MBN是等边三角形.理由：：△ABE≌△DBC, ∠BAE=∠BDC.AE=CD,M、N分别是AE、CD的中点， AM=DN,又：AB=DB,△ABM≌△DBN(SAS).÷BM= BN,∠ABM=∠DBN,,∴.∠DBM+∠DBN=∠DBM+∠ABM= ∠ABD=60°.∴.△MBN是等边三角形. 13.解：(1)C (2)乙的方法正确. 证明：延长AD至E,使DE=AD,连结BE,在△ACD和 (AD=DE △EBD中，∠ADC=∠EDB,∴.△ACD≌△EBD(SAS),. CD=DB ∠CAD=∠E,AC=BE.AD平分∠CAB,∠CAD= LBMD,∠BAD=∠E,∴AB=BE,∴AC=AB.△ABC为 等腰三角形. 高效同步练习12.4.1互逆命题与互逆定理 1.C2.B3.C 4.真如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 假 5.B6.B7.A 8.解：逆命题：一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是 等腰三角形. 已知：△ABC中，BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,且BD =CE. 求证：△ABC是等腰三角形. 证明：，BD⊥AC,CE⊥AB,,∠BDC=∠CEB=90°，在Rt △BCD和Rt△CBE中，BC-C5,RtABCD≌R ACBE (HL),∠BCD=∠CBE,∴.AB=AC,即△ABC是等腰三 角形. 高效同步练习12.4.2线段垂直平分线 1.D2.19 3.解：(1)AD⊥BC,∠ADC=∠ADB=90°，EF垂直平分 AD,∴AF=DF,∴.∠ADF=∠DAC=30°，.∠FDC=90°-30 B川八年级数学上册 75 =60°： (2)∠AED=2∠B,理由：AD⊥BC,EF⊥AD∴EF∥BC,∴. ∠AEF=∠B.EF垂直平分AD,.∴.AE=DE,.∠AEF= ∠DEF,∴.∠B=∠AEF=∠DEF,∴.∠AED=2∠B. 4.D5.D6.B7.A8.13 9.8【解析】连结AD.:△ABC是等腰三角形，点D是BC边 中点，.AD⊥BC,二SA4=2BC·AD=2×4XAD= 2 得AD=6.EF是线段AB的垂直平分线，，点B关于直线 EF的对称点为点A,,AD的长为BM+MD的最小值， △BDM的周长最短=(BM+MD)+BD=AD+2BC=8 10.解：D是线段AB垂直平分线上的点，÷AD=BD,∠B= ∠DAB,,∠DAE与∠DAC的度数比为2：1，，设∠DAC= x,则∠B=∠DAB=2x,∠C=90°，∴x+2x+2x=90°，∴x= 18°，即∠B=36 11.解：(1)I垂直平分AB,.DB=DA,同理EA=EC,∴.BC= BD+DE+EC=DA+DE+EA=10: (2)点0在边BC的垂直平分线上，理由：连结A0,B0,CO :{,与L2是AB,AC的垂直平分线，∴A0=B0,C0=A0, OB=OC,∴.点O在边BC的垂直平分线上. 高效同步练习2.4.3角平分线 1.A 2.D【解析】：AD是∠BC的平分线，DE⊥AB,∠C=90°， ∠C=∠AED=90°，CD=DE,在RI△ACD和RI△AED中， CD=DER△ACD≌R△AED(L),AE=AC,:AC= (AD=AD BC,∴.AE=BC.∴△DBE的周长=DE+EB+DB=CD+DB+EB =BC+EB=AE+EB=AB=1O.故选D. 3.4:5:64.A5.90°6.A7.4 8.(1)证明：过点D作DN⊥BA,DK⊥AC,DM⊥BC,垂足分别 为点N、K、M.,·BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA,DN⊥BA: DK⊥AC,DM⊥BC,,DM=DN=DK,,AD平分∠GAC: (2)解：，·AB=AD,,∠ABD=∠ADB.:BD平分∠ABC,AD 平分∠GAC,∠ABD=∠CBD,∠GAD=∠CAD,∴.∠ADB= ∠CBD,∴AD∥BC,∴.∠GAD=∠ABC,∠CAD=∠ACB,. ∠ABC=∠ACB,.,AB=AC,即△ABC是等腰三角形. 数学活动 【探究I】∠DDF 【探究2】解：△ABC与△DEF为等腰三角形，AB=AC,DE= DF.∴.∠B=∠C,∠E=∠F,∠B=∠E,.∠C=∠F:BC= EF,∴，△ABC≌△DEF(ASA). 【拓展探究】证明：连结AC,A'C,:AB=A'B,BC=BC',∠ABC =∠A'BC,△ABC≌△A'BC(SAS),AC=A'C,AD= A'D',CD=CD',∴.△ADC≌△A'D'C(SSS),∴.四边形ABCD 与四边形A'B'CD是全等四边形. 追梦第12章章末复习全等三角形 1.C2.C 3.A【解析】.：∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=134°，∴.∠DFC =46°..DE⊥AB,DF⊥BC,.∠BED=∠CDF=90°..在R △BDE与RL△CFD中，BE=CD,BD=CF,∴.Rt△BDE≌R △CFD(HL),,∴.∠BDE=∠CFD=46°.，∠EDF+∠BDE= 90°，∠EDF=44°.故选A. 4.C5.B 6.D【解析】由题意可知，AP是EC的垂直平分线，AD⊥ BC,DE=CD,.∠ADE=∠ADC,AD=AD,÷,△ADE≌ △ADC(SAS),∴.∠EAD=∠CAD,∠C=∠AED,∴∠EAC= 2∠CMD.,∠C=2∠CMD,.∠C=∠EAC=∠AED,∴.△AEC 是等边三角形，∴∠C=∠EMC=∠AED=60°，在△ABC中 ∠B=45°，∠C=60°，∴.∠BAC=180°-45°-60°=75°，. 76 间步炼习，精炼高效抓考 ∠BAE=75°-60°=15°，故选D. 7.BE=DC(答案不唯一) 8.7【解析】：△ABD≌△EBC,.BC=BD=12,AB=EB=5, DE=DB-BE=12-5=7. 9.(1)证明：AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD,∴.∠EAC= LCAF,∠E=∠CFA=90°，又：AC=AC,△ACE≌△ACF (AAS),∴.CE=CF,,∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠EBC= I80°，.∠EBC=∠D.在△CBE与△CDF中， I∠EBC=∠D ∠CEB=∠CFD=90°，∴.△CBE≌△CDF(AAS); CE=CF (2)解：.△ACE≌△ACF,△CBE≌△CDF,.AE=AF,BE= DF...AB+DF=AB+BE=AE=AF,.AB=3,DF=2...AF=3+ 2=5. 10.解：(1)∠AOB的角平分线和线段MN的垂直平分线及点P 如图所示 (2)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等角平 分线上的点到角两边的距离相等 在△PGM与△PD中，GR△CWa △PDN(HIL),∴，MC=ND. 11.解：(1)△AOD是直角三角形，理由：△0CD是等边三角 形，，OC=CD,△ABC是等边三角形，.BC=AC. ∠ACB=∠0CD=60°，÷∠BC0=∠ACD,在△BOC与 (OC=CD △ACD中， ∠BCO=∠ACD.,△BOC≌△ADC(SAS), BC=AC .∠B0C=∠ADC=150°，：∠0DC=60°，∠AD0=150°- 60°=90°，.△AD0是直角三角形： (2):∠B0C=∠ADC=a,∠A0B=110°，∠C0D=60°， ∠A0D=360°-∠A0B-∠B0C-∠C0D=190°-a.∠AD0= ∠ADC-∠CD0=a-60°，∠OAD=180°-∠AOD-∠AD0 =50 ①当A0=AD时，∠A0D=LAD0,∠A0D=190°-a=2 (180°-∠0AD),∴.=125°：②当0A=0D时，∠OAD= ∠AD0,.∠AD0=a-60°=50°，.a=110°：③当0D=AD 时，∠0AD=∠A0D,.∠A0D=190°-a=50°，.a=140 .当a为110°，125°，140时，三角形A0D是等腰三角形. 12.解：(1)该项目学习小组能知道该片水域的宽度AB,理由： BA⊥AD,ED⊥AD,∴.∠BAC=∠EDC=90°，在△ABC和 ∠BAC=∠EDC △DEC中，〈AC=CD ,÷△ABC≌△DEC(ASA), N∠ACB=∠DCE DE=AB=5m,,水域的宽度为5m: (2)我认为在实地测量时，水域两岸可能不是规则的直线， 所以测量时垂直不易把握，测量数据有误差 高效同步练习13.1.1直角三角形三边的关系 第1课时直角三角形三边的关系 L解：(1)a+bc(2)(a+b)2 2abx4+e B川八年级数学上册高效同步练习12.4.1 知识点①互逆命题 1.(3分)已知命题“能被2整除的数是偶数”， 则其逆命题为() A.能被2整除的数不是偶数 B.不能被2整除的数是偶数 C.偶数是能被2整除的数 D.偶数不是能被2整除的数 2.(3分)对于命题“若a2>b2,则a>b”下面四组 关于a、b的值中，能说明这个命题的逆命题是 假命题的是( A.a=3,b=2 B.a=-1,b=-2 C.a=3,b=1 D.a=1,b=0 3.(3分)下列命题中，其逆命题为假命题的 2 是() A.两直线平行，内错角相等 B.相等的角是对顶角 C.所有的直角都是相等的 D.若a=b,则a-1=b-1 4.(3分)已知命题“如果两个三角形全等，那么 这两个三角形的面积相等.”是 命题 (填“真”或“假”).写出它的逆命题 ,该命题是 命 题（填“真”或“假”）. 知识点②互逆定理 5.（3分)下列定理没有逆定理的是( A.两直线平行，内错角相等 B.全等三角形的对应角相等 C.直角三角形两锐角互余 D.等腰三角形两底角相等 42 15分钟司步第习，精旅高效抓 互逆命题与互逆定理 6.(3分)下列定理中，有逆定理的个数是() ①有两边相等的三角形是等腰三角形：②若三 角形的三个内角∠A,∠B,∠C满足∠A+∠B= ∠C,则满足该三角形的是直角三角形：③全等 三角形的对应角相等：④若a=b,则a2=b2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.(3分)下列说法正确的是() ①每个定理都有逆定理：②每个命题都有逆 命题：③假命题没有逆命题；④真命题的逆命 题是真命题 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.(9分)（晋城模拟）写出命题：“等腰三角形两 腰上的高相等”的逆命题，并证明其逆命题是 定理.（要求写出已知，求证和证明过程） 考点ZB阳八年领数学上册 高效同步练习12.4. 知识点①线段垂直平分线的性质定理 1.(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂 直平分线交AB于D,交BC于E,连结AE,若 CE=5,AC=12,且△ACE的周长为30，则BE 的长是() A.5 B.10 C.12 D.13 第1题图 第2题图 2.学科内融合(3分)如图，在△ABC中，∠C= 52°，按以下步骤作图：①分别以点B,C为圆 心，大于，BC的长为半径画弧，两弧相交于点 E和F;②作直线EF,分别交AC,BC于点D, M:③连结BD,以点D为圆心，DM长为半径 画弧，交BD于点G,连结GM,则∠GMB的度 数为 3.(9分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高 线，AD的垂直平分线分别交AB,AC于点 E,F. (1)若∠DAC=30°，求∠FDC的度数； (2)试判断∠B与∠AED的数量关系，并说明 理由. 25分钟可步练习，精旅高效抓 2 线段垂直平分线 知识点②线段垂直平分线的判定定理 4.生活情境·高铁建设(3分)近年来，高速铁路 的规划与建设成为各地政府争取的重要项 目，如图，A,B,C三地都想将高铁站的修建项 目落户在当地，但是，国资委为了使A,B,C三 地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将 高铁站修建在到A,B,C三地距离都相等的地 方，则高铁站应建在( A.三条高的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 第1亿章 第4题图 第5题图 5.(3分)（邓州月考）如图，直线P0与AB交于 点O,PA=PB,下列结论中正确的是() A.AO=BO B.PO⊥AB C.PO是AB的垂直平分线 D.P点在AB的垂直平分线上 6.学习情境·问题讨论(3分)如图，直线1与线 段AB交于点O,点P在直线I上，且PA=PB. 小明说：“直线1是AB的垂直平分线.”小亮 说：“需再添加一个条件，小明的结论才正 确.”下列判断错误的是() A.小亮说得对，可添条件为“AO=B0” B.小亮说得对，可添条件为“∠A=∠B" C.小亮说得对，可添条件为“P0⊥AB” D.小亮说得对，可添条件为“P0平分∠APB” 考点ZB阳八年领数学上册 43 第6题图 第7题图 7.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC,点O是 △ABC内一点，连结OB、OC,连结A0并延长 交BC于点D,若OB=OC,BC=8,则CD的长 为() A.4B.5 C.2 D.6 8.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直 平分线分别交AB,AC于点D,E,△BCE的周长 是8，AB-BC=2,则△ABC的周长是 B 第 第8题图 第9题图 9.(3分)如图所示，在△ABC中，AB=AC,直线 EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M 是EF上一个动点，△ABC的面积为12，BC= 4,则△BDM周长的最小值是 10.(7分)（内乡月考）如图所示，在△ABC中， ∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于点 D,交AB于点E,∠DAE与∠DAC的度数比 为2：1，求∠B的度数 44 25分钟可步练习，精旅高效抓 【注意】线段垂直平分线的性质定理可以用来证明 线段相等，线段垂直平分线的判定定理不仅可以用 来证明线段相等（点是线段的中，点），还可以用来证 明两直线垂直 11.(8分)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线 L1交AB于点M,交BC于点D,AC的垂直平 分线l2交AC于点N,交BC于点E,,与2 相交于点O,△ADE的周长为10.请你解答 下列问题： (1)求BC的长； (2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线 上，并说明理由 考点ZB阳八年领数学上册