专题 特殊三角形中常用辅助线的作法&追梦第15章 章末复习 轴对称图形与等腰三角形-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（沪科版2024）

专题特殊三角形 类型一利用等腰三角形的“三线合一”作辅 助线 技巧点拔：遇到等腰三角形时，常利用“三线 合一”这一性质，如果图中没有这条线，可将 其构造出来以辅助解决问题 L1.(4分)如图，D为△ABC内一点，CD平分 ∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若BD=1,BC= 3,则AC的长为( A.5 B.4 C.3 D.2 2.(8分)如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC =DE,∠ABC=∠AED,点F是CD的中点，求 证：AF⊥CD. 3.(8分)如图，△ABC中，AC=2AB,AD平分 ∠BAC交BC于点D,E是AD上一点，且EA= EC,求证：EB⊥AB. 第1巧章 66 15分钟同步练习，精炼高效抓 中常用辅助线的作法 类型二)巧用特殊角构造含30°角的直角三角形 技巧点拔：遇到含有30°或60°或120°或 150°角的三角形时，要善于联想到含30°角 的直角三角形，然后构造出符合这种直角三 角形模型特征的辅助线 方法1：作垂线构造直角三角形 4.(5分)如图，在△ABC中，AB=AC=4cm,∠B =∠C=15°.则△ABC的面积为 A 4 4 B15 15C 方法2：延长两边构造直角三角形 5.(8分)如图，四边形ABCD中，∠C=30°，∠B =90°，∠ADC=120°，若AB=2,CD=8,求AD 的长 B 考点ZBK八年级数学上册 追梦第15章章末复习 一、选择题（每小题4分，共16分） 1.文化情境·传统文化纹样是我国古代艺术中 的瑰宝.下列四幅纹样图形是轴对称图形的 是( c回回 2,生活情境·跷跷板如图是一个跷跷板的示意 图，立柱OC与地面垂直(OC⊥AC于点C),跷 跷板的一头A着地时∠OAC=30°，点A,C,B 在同一水平线上，若OC=1m时，则OA的长 度为( A.0.5m B.1m C.1.5m D.2m 3.如图，AD,CE分别是△ABC的中线和角平分 线，若AB=AC,∠CAD=20°，则∠ACE的度数 是() A.20 B.35° C.40° D.70° 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=4,△ABC的 面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC, AB边于E,F点.若点D为BC边的中点，点M 为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值 为() A.6 B.8 C.9 D.10 25分钟同步练习，精炼高效损 袖对称图形与等腰三角形 二、填空题（每小题5分，共20分） 5.在平面直角坐标系中，若点A(3,m)和点B (n,2)关于x轴对称，则m+n= 6.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的 高，点E,F是AD的三等分点，若△BEF的面 积为12，则图中阴影面积为 M D B D 第6题图 第7题图 7.学习情境·过程性学习如图，在△ABC中，以 点A为圆心，AC的长为半径画圆弧交BC于 点D,再分别以点B和点D为圆心，大于D 的长为半径画圆弧，两弧分别交于点M和点 N,连接MN交AB于点E.若△ADE的周长为 21,AC=9,则AB的长为 8.学习情境·动点探究（永州二模）如图，已知 AB=A B,A B=AA2,A2B2=A2A3,A3B3=A344, …,若∠A=70°，则∠An-1AnBn-1的度数 为 B B B A.A,AA. 三、解答题（本大题共4小题，满分38分） 9.(8分)格点△ABC的三个顶点的坐标分别为 A(0,3),B(3,-2),C(4,3) 第5章 (1)请在图中画出适当的平面直角坐标系： (2)请画出△ABC关于纵轴对称的△A1B,C1; (3)在横轴上找一点P,使PA+PC最短，并在 考点BK八年领数学上册 67 图中标出点P的位置 10.(8分)如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C =40° (1)尺规作图： ①作边AB的垂直平分线交BC于点D; ②连接AD,作∠CAD的平分线交BC于点 E;(要求：保留作图痕迹，不写作法)》 (2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数. B 11.(10分)如图，在等边三角形ABC中，点D,E 分别在边BC,AC上，且DE∥AB,过点E作 EF⊥DE,交BC的延长线于点F (1)求∠F的度数； (2)若CD=2,求DF的长. 第1巧章 68 25分钟同步练习，精练高效圳 12.(12分)数学课上，李老师出示了如下框中的 题目. 在等边三角形 ABC中，点E在AB 上，点D在CB的延 长线上，且ED=EC,D 如图，试确定线段AE与DB的大小关系， 并说明理由， 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE 与DB的大小关系.请你直接写出结论： AE DB(填“>”“<”或“=”). (2)特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB(填“>”“<”或“=”) 理由如下： 如图2，过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请 你完成以下解答过程) (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点 D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边 长为1，AE=2,求CD的长.（请你直接写出 结果)》 图1 图2 考点BK人年领数学上册+2Bc.0D+2AC·0F=7×2x(AB+BC+AC)=12 13.(1)解：如图，DE即为所求 B (2)证明：.DE⊥BC,.∠DEB=∠DEC=90°，.∠B+∠BDE =90°，∠C+∠CFE=90°，，∠B=∠C,∴，∠BDE=∠CFE.: ∠CFE=∠AFD,LBDE=∠AFD. 高效同步练习15,4等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质定理1及推论 1.D 2.C【解析】设等腰三角形的底角为x,顶角为30°+x,根据题 意，得2x+30°+x=180°，解得x=50°，故选C. 3.A4.C5.A6.70或55 7.A 8.B【解析】延长ED交AC于点F,△ABC是等腰三角形. ∠ABC=120°，AB∥DE,∴，∠BAC=∠DFC=30°.，∠CDE= ∠DFC+∠FCD,∠CDE=78°，∴.∠FCD=78°-30°=48°， ∠ACD=48°.故选B. 9.证明：：AD是BC的垂直平分线，，AB=AC,BD=CD,∴，∠ABC =∠ACB,∠DBC=∠DCB,..∠ABD=∠ACD. 第2课时等腰三角形的性质定理2 1.C 2.C【解析】'AC=BC,∠A=40°，∴.∠B=∠A=40°，∴.∠ACB= 180°-40°-40°=100°.，AC=BC,点D是AB边上的中点 ·∠ACD=1 LACB=50DE∥AC,.LCDE=∠ACD=50°， 故选C. 3.轴对称对称轴4.等樱三角形的三线合一 5.解：.BE=AE,,∠BAD=∠ABE=25°.，AB=AC,点D为BC 边的中点，AD平分∠BAC,∴，∠BAC=2∠BAD=S0 6.B7.558.4 9.解：(1)连接AE.EF垂直平分AB,∴，AE=BE.BE=AC AE=AC.D是EC的中点，.AD⊥BC. (2)设∠B=x°.：AE=BE,.∠BAE=∠B=x°，∠AEC=2x ,AE=AC,∴.∠C=∠AEC=2x°，3x+75°=180°，解得x=35., ∠B=350. 第3课时等腰三角形的判定 1.B2.C 3.B【解析】·等边三角形ABC的周长为6，，BC=2E,F是 边BC上的三等分点，.BC=3EF=2.ED∥AB,FD∥AC, ∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，.△DEF是等边三角 形，.CAwr=3BF=2故选B. 4.185.A 6.解：(1)25115小 (2)当DC=2时，△ABD≌△DCE,理由下：，∠ADC=∠B+ ∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠CDE,∠B=∠ADE=4O0°，∠BAD= ∠CDE,且AB=CD=2,∠B=∠C=40°，.△ABD≌△DCE (ASA). (3)△ADE的形状可以是等腰三角形，∠BDA=110°或80°. 【解析】若AD=DE时，，AD=DE,∠ADE=4O°，∴∠DEA= ∠DAE=70°，∠DEA=∠C+∠EDC.,∠EDC=30°，.∠BDA =180°-∠ADE-∠EDC=180-40°-30°=110°：若AE=DE时. AE=DE,∠ADE=40°，∠DAE=40°，∴.∠AED=100°. ∠DEA=∠C+∠EDC,.∠EDC=60°，-∴.∠BDA=18O°-∠ADE ∠EDC=180°-40°-60°=80°.若AD=AE时.∠ADE=40° ∠AED=4O°，此时点D与点B重合，不符合题意，舍去.综上所 述：当∠BDA=80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三 角形， 第4课时含30角的直角三角形的性质定理 1.C2.C3.D4.2 5.解：，AB=AC,∠BAC=120°，∴，∠B=∠C=30°，AE⊥AB,AE =3cm,∴.BE=2AE=6Cm,∠EAC=30°，∴，∠C=∠EAC=30°，∴ AE=EC,BC=BE+EC=6+3=9(cm). 6.B【解析】由题意可知DE叠直平分BC,∴，BE=EC=2,∠B= ∠ECD=30°，∠BDE=∠CDE=90°.CE平分∠ACB,∴.LACB =2LECD=60°，∠A=90°，LACE=30°，.AE=7CE=1.故 78 同步练习，情炼高效抓考 远B. 7.B【解析】：AB=AC,∠BAC=120°，，∠B=∠C=30°.，DE 1AB,DF1AC,叠是为E,F,4DE=2BD,DF=DC,DE+ 2 F=D:7DC=(BD0C)=8C=4am故选B 8.(1)证明：，△ABC为等边三角形，.∠C=∠CAB=∠ABC= 60°，AB=AC.在△ABE和△CAD中，AB=CA,∠BAE=∠C,AE= CD.∴.△ABE≌△CAD(SAS),∴.BE=AD. (2)解：由(1)△ABE≌△C4D,∴.AD=BE,∠ABP=∠DAE LBPQ=∠ABP+LBAD=LBAC=6O.BQ⊥AD,∴LBQP =90°，∠PBQ=30°，BP=2PQ=6.PE=1,∴AD=BE=6+ 1=7. 专题利用轴对称解决最值问题 1.C2.B 3.解：(1)CB'CBAB'三角形中任意两边的和大于第三边 (2)6 专题等腰三角形中的数学思想 1.解：(1)由折登的性质可知，DA=DB,∴，△ACD的周长为DA+ DC+AC=DB+DC+AC=BC+AC=14cm; (2)设∠CAD=x,则∠BAD=2x.,DA=DB,六.∠B=∠BAD= 2x,在Rt△ABC中，∠B+∠BAC=90°，即2x+2x+x=90°，x= 18°，∠B=2x=36° 2.解：设∠EBD=x°.BE=DE,∠EDB=LEBD=x°，LEBD +∠EDB+∠BED=180°，∠BED+∠AED=180°，AD=DE,,∠A =∠AED=2x.,∠A+∠ABD+∠ADB=180°，∠BDC+∠ADB= 18O°，.∠BDC=∠A+LABD=3x,BD=BC,·∠BDC=∠C =3x°，，AB=AC,∴.∠ABC=∠C=3x°.在△ABC中，2x+3x+3x =180,解得x=22.5,.∠A=2x°=45° 3.D 4.D【解析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为8时.：等腰 △ABC的周长为20，，它的底边长为20-8-8=4，∴.它的“优 美比”=4、1 82:当等腰三角形的底边长为8时.：等腰△ABC 的网长为20它的腰长为号×(20-8)=6它的“优美比： 为84 名子综上所速：它的“化关比"为号或分玫选D, 5.B【解析】本题可分两种情况：①当70°为等腰三角形的底角 时，1顶角为180°-2×70°=40°：270°为等腰三角形的顶角：因此 这个等腰三角形的顶角为40或70°.故选B 【变式】B【解析】当L4为项商，∠B=180L4 2 180°-80° =50°：当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B=180°- 2 80°-80°=20°：当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B ∠A=80°.熔上所述，∠B的度数为50°或20°或80°.故选B. 6.82 专题特殊三角形中常用辅助线的作法 1.A AB=AE, 2.证明：连接AC,AD,在△ABC和△AED中， ∠ABC=∠AED., BC=DE, △ABC≌△AED(SAS).∴.AC=AD.点F是CD的中点，∴.AF ⊥CD. 3证明：作EF LAC于点F,EA=EC,AF=FC=2AC.“AC= 2AB,∴AF=AB.AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD.在△BAE (AB=AF 和△FAE中， ∠BAD=∠CAD,.△ABE≌△AFE(SAS), AE=AE ∠ABE=∠AFE=90°.∴.EB⊥AB. 4.4cm 5.解：延长BA、CD交于点M.,:∠ADC=120,+.∠ADM=60°.： ∠C=30°，∠B=90°，.∴.∠BMC=60°，∴.△ADM是等边三角形. 设AD=AM=DM=x,.CM=8+x,BM=2+x在Rt△BCM中 ∠C=30°，.CM=2BM,∴.8+x=2(2+x),解得x=4,.4D=4: 追梦第5章章末复习轴对称图形与等腰三角形 1.B2.D3.B4.C ZBK八年级数学上册 5.16.367.12 &70 【解折：在△ABM,中，∠A=70°，AB=A,B,∠BA,A= 70°，A14=AB,∠BM1A是△AA2B1的外角，.∠B,AA1= ∠BA1A 2=359,月理可得，LB,A4=17.5,LBA,4=2× 17.5°-35 70 六LAAB2 9.解：(1)建立平面直角坐标系如图所示： (2)如图，△A,B,C,即为所求： (3)如图，点P即为所求： 10.解：(1)①如图，直线FD即为所求； ②射线AE即为所求： (2)DF垂直平分线段AB,DB=DA,,∠DAB=∠B=30°， ∠C=40°，，∠BAC=110°，∠CAD=110°-30°=80°， AE平分LDAC,∠DAE= 2∠DAC=40, 11.解：(1)：△ABC是等边三角形.∠A=∠B=∠ACB=60°.： DE∥AB,∴.∠B=∠EDC=6O°，∠A=∠CED=60°，，EF⊥ED, ∴.∠DEF=90°，.∠F=30° (2)由(1)可知∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，，△DCE是等 边三角形，，CE=DC=DE=2.又，在RI△DEF中，∠F=30°， ∴.DF=2DE=4. 12.解：(1)= (2)= 理由如下：过点E作EF∥BC,交AC于点F.在等边△ABC中 ∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC..EF∥BC, ∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∠AEF=∠AFE=∠BAC 6O°，∴.AE=AF=EF,∴.AB-AE=AC-AF,即BE=CFED= EC,∴.∠EDB=∠ECB.:'∠ABC=∠EDB+∠BED,∠ACB= ∠ECB+∠FCE.∴.∠BED=∠FCE.在△DBE和△EFC中」 ED=CE ∠DEB=∠ECF,.△DBE≌△EFC(SAS).,DB=EF.,AE EB=CF =BD: (3)CD的长是3或L.【解析】①如图1，过点E作EF⊥CD 于点FAB=AC=1,AE=2,B是AE的中点.：△ABC是 等边三角形，.AB=AC=BC=1,∠ABC=60°，∠DBE= LABC-60,BE-1.ZAEF=30.BF-2 BE-- C5 3 2*1 ED=EC,EF⊥CD,CD=2CF=3:②如图2， 过A作AN⊥BC于N,过E作EM⊥CD于M.,AB=BC=1, AB=2BE=3.∠ABC=60°LBEM=30BW=28E 3 2CM=BM-BC=2EC=ED,EM CD..CD=2CM =1.综上，CD的长是3或1. 图2 同步炼习，情炼高效抓考 K八年级数学上册 79