专题 利用轴对称解决最值问题&专题 等腰三角形中的数学思想-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（沪科版2024）

+2Bc.0D+2AC·0F=7×2x(AB+BC+AC)=12 13.(1)解：如图，DE即为所求 B (2)证明：.DE⊥BC,.∠DEB=∠DEC=90°，.∠B+∠BDE =90°，∠C+∠CFE=90°，，∠B=∠C,∴，∠BDE=∠CFE.: ∠CFE=∠AFD,LBDE=∠AFD. 高效同步练习15,4等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质定理1及推论 1.D 2.C【解析】设等腰三角形的底角为x,顶角为30°+x,根据题 意，得2x+30°+x=180°，解得x=50°，故选C. 3.A4.C5.A6.70或55 7.A 8.B【解析】延长ED交AC于点F,△ABC是等腰三角形. ∠ABC=120°，AB∥DE,∴，∠BAC=∠DFC=30°.，∠CDE= ∠DFC+∠FCD,∠CDE=78°，∴.∠FCD=78°-30°=48°， ∠ACD=48°.故选B. 9.证明：：AD是BC的垂直平分线，，AB=AC,BD=CD,∴，∠ABC =∠ACB,∠DBC=∠DCB,..∠ABD=∠ACD. 第2课时等腰三角形的性质定理2 1.C 2.C【解析】'AC=BC,∠A=40°，∴.∠B=∠A=40°，∴.∠ACB= 180°-40°-40°=100°.，AC=BC,点D是AB边上的中点 ·∠ACD=1 LACB=50DE∥AC,.LCDE=∠ACD=50°， 故选C. 3.轴对称对称轴4.等樱三角形的三线合一 5.解：.BE=AE,,∠BAD=∠ABE=25°.，AB=AC,点D为BC 边的中点，AD平分∠BAC,∴，∠BAC=2∠BAD=S0 6.B7.558.4 9.解：(1)连接AE.EF垂直平分AB,∴，AE=BE.BE=AC AE=AC.D是EC的中点，.AD⊥BC. (2)设∠B=x°.：AE=BE,.∠BAE=∠B=x°，∠AEC=2x ,AE=AC,∴.∠C=∠AEC=2x°，3x+75°=180°，解得x=35., ∠B=350. 第3课时等腰三角形的判定 1.B2.C 3.B【解析】·等边三角形ABC的周长为6，，BC=2E,F是 边BC上的三等分点，.BC=3EF=2.ED∥AB,FD∥AC, ∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，.△DEF是等边三角 形，.CAwr=3BF=2故选B. 4.185.A 6.解：(1)25115小 (2)当DC=2时，△ABD≌△DCE,理由下：，∠ADC=∠B+ ∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠CDE,∠B=∠ADE=4O0°，∠BAD= ∠CDE,且AB=CD=2,∠B=∠C=40°，.△ABD≌△DCE (ASA). (3)△ADE的形状可以是等腰三角形，∠BDA=110°或80°. 【解析】若AD=DE时，，AD=DE,∠ADE=4O°，∴∠DEA= ∠DAE=70°，∠DEA=∠C+∠EDC.,∠EDC=30°，.∠BDA =180°-∠ADE-∠EDC=180-40°-30°=110°：若AE=DE时. AE=DE,∠ADE=40°，∠DAE=40°，∴.∠AED=100°. ∠DEA=∠C+∠EDC,.∠EDC=60°，-∴.∠BDA=18O°-∠ADE ∠EDC=180°-40°-60°=80°.若AD=AE时.∠ADE=40° ∠AED=4O°，此时点D与点B重合，不符合题意，舍去.综上所 述：当∠BDA=80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三 角形， 第4课时含30角的直角三角形的性质定理 1.C2.C3.D4.2 5.解：，AB=AC,∠BAC=120°，∴，∠B=∠C=30°，AE⊥AB,AE =3cm,∴.BE=2AE=6Cm,∠EAC=30°，∴，∠C=∠EAC=30°，∴ AE=EC,BC=BE+EC=6+3=9(cm). 6.B【解析】由题意可知DE叠直平分BC,∴，BE=EC=2,∠B= ∠ECD=30°，∠BDE=∠CDE=90°.CE平分∠ACB,∴.LACB =2LECD=60°，∠A=90°，LACE=30°，.AE=7CE=1.故 78 同步练习，情炼高效抓考 远B. 7.B【解析】：AB=AC,∠BAC=120°，，∠B=∠C=30°.，DE 1AB,DF1AC,叠是为E,F,4DE=2BD,DF=DC,DE+ 2 F=D:7DC=(BD0C)=8C=4am故选B 8.(1)证明：，△ABC为等边三角形，.∠C=∠CAB=∠ABC= 60°，AB=AC.在△ABE和△CAD中，AB=CA,∠BAE=∠C,AE= CD.∴.△ABE≌△CAD(SAS),∴.BE=AD. (2)解：由(1)△ABE≌△C4D,∴.AD=BE,∠ABP=∠DAE LBPQ=∠ABP+LBAD=LBAC=6O.BQ⊥AD,∴LBQP =90°，∠PBQ=30°，BP=2PQ=6.PE=1,∴AD=BE=6+ 1=7. 专题利用轴对称解决最值问题 1.C2.B 3.解：(1)CB'CBAB'三角形中任意两边的和大于第三边 (2)6 专题等腰三角形中的数学思想 1.解：(1)由折登的性质可知，DA=DB,∴，△ACD的周长为DA+ DC+AC=DB+DC+AC=BC+AC=14cm; (2)设∠CAD=x,则∠BAD=2x.,DA=DB,六.∠B=∠BAD= 2x,在Rt△ABC中，∠B+∠BAC=90°，即2x+2x+x=90°，x= 18°，∠B=2x=36° 2.解：设∠EBD=x°.BE=DE,∠EDB=LEBD=x°，LEBD +∠EDB+∠BED=180°，∠BED+∠AED=180°，AD=DE,,∠A =∠AED=2x.,∠A+∠ABD+∠ADB=180°，∠BDC+∠ADB= 18O°，.∠BDC=∠A+LABD=3x,BD=BC,·∠BDC=∠C =3x°，，AB=AC,∴.∠ABC=∠C=3x°.在△ABC中，2x+3x+3x =180,解得x=22.5,.∠A=2x°=45° 3.D 4.D【解析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为8时.：等腰 △ABC的周长为20，，它的底边长为20-8-8=4，∴.它的“优 美比”=4、1 82:当等腰三角形的底边长为8时.：等腰△ABC 的网长为20它的腰长为号×(20-8)=6它的“优美比： 为84 名子综上所速：它的“化关比"为号或分玫选D, 5.B【解析】本题可分两种情况：①当70°为等腰三角形的底角 时，1顶角为180°-2×70°=40°：270°为等腰三角形的顶角：因此 这个等腰三角形的顶角为40或70°.故选B 【变式】B【解析】当L4为项商，∠B=180L4 2 180°-80° =50°：当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B=180°- 2 80°-80°=20°：当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B ∠A=80°.熔上所述，∠B的度数为50°或20°或80°.故选B. 6.82 专题特殊三角形中常用辅助线的作法 1.A AB=AE, 2.证明：连接AC,AD,在△ABC和△AED中， ∠ABC=∠AED., BC=DE, △ABC≌△AED(SAS).∴.AC=AD.点F是CD的中点，∴.AF ⊥CD. 3证明：作EF LAC于点F,EA=EC,AF=FC=2AC.“AC= 2AB,∴AF=AB.AD平分∠BAC,∠BAD=∠CAD.在△BAE (AB=AF 和△FAE中， ∠BAD=∠CAD,.△ABE≌△AFE(SAS), AE=AE ∠ABE=∠AFE=90°.∴.EB⊥AB. 4.4cm 5.解：延长BA、CD交于点M.,:∠ADC=120,+.∠ADM=60°.： ∠C=30°，∠B=90°，.∴.∠BMC=60°，∴.△ADM是等边三角形. 设AD=AM=DM=x,.CM=8+x,BM=2+x在Rt△BCM中 ∠C=30°，.CM=2BM,∴.8+x=2(2+x),解得x=4,.4D=4: 追梦第5章章末复习轴对称图形与等腰三角形 1.B2.D3.B4.C ZBK八年级数学上册专题利用轴对称解决最值问题 类型一两点之间所有连线中，线段最短 3.跨学科试题·语文(8分)唐朝著名诗人李颀 如图，已知直线【和位于直线1两 的代表作品《古从军行》开头两句说：“白日登 侧的两点A,B,在直线1上求作一 山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含着一 点P,使PA+PB最小 个有趣的数学问题.如图1，诗中将士在观望 如图，已知直线1和位于直线【同 烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮 侧的两点A,B,在直线1上求作一 马后再到B点宿营.请问在何处饮马才能使 B ,点P,使PA+PB值最小(“将军饮 B 总路程最短？我们可以用轴对称的方法解决 马”问题) 这个问题 如图，已知点P是∠MON内的 P (1)如图2，作点B关于直线1的对称点B',连 点，在直线，2上分别求点M,N, 接AB与直线I交于点C,点C就是所求的 使△PMN的周长最小 位置. 理由：如图3，在直线1上另取不同于点C的 1.生活情境·铺设管道(4分)直线1是一条河， 任一点C',连接AC',BC,B'C, P,Q是两个村庄，欲在1上的某处修建一个水 因为点B,B关于直线I对称，点C,C在直线l 泵站，向P,Q两地供水，现有如下四种铺设方 上， 案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最 所以CB= C'B= 所以AC+CB=AC+CB'= 短的是( 在△ACB中，依据 可得AB'<AC+CB', 所以AC+CB<AC+CB', 即AC+CB最小. (2)迁移应用：如图4，△ABC是等边三角形， ∠ABC=∠CMN,N是AB的中点，AD是BC边 类型二垂线段最短 上的中线，AD=6,M是AD上的一个动点，连 2.(4分)如图，在△ABC中，AB=AC,AD,CE是 接BM,MN,则BM+MN的最小值是 △ABC的两条中线，点P是AD上一个动点， 则BP+EP的最小值等于线段( A.BC 图1 B.CE C.AD D.AC 64 15分钟同抄练习，精炼高效抓考点BK八年领数学上册 专题等腰三角形中的数学思想 类型一用方程思想求等腰三角形的角 类型二分类讨论在等腰三角形中的应用 1.(8分)如图，将直角△ABC沿某条直线折叠， 【易错提醒】当运用分类讨论思想解决问题时，弄清 使A与B重合，折痕为DE. 楚分类的依据是解决问题的关健如未给出图形 需要对图形进行分类讨论，如是锐角、纯角还是直 (1)如果AC=6cm,BC=8cm,试求△ACD的 角三角形，根据不同情况分别画出图形求解，否则 周长； 容易产生漏解，导致错误 (2)如果∠CAD:∠BAD=1:2,求∠B的度数 3.(4分)若一条长为31cm的细线能围成一边 长等于7cm的等腰三角形，则该等腰三角形 的腰长为( A.7 cm B.9 cm C.7cm或12cm D.12 cm 4.新定义(4分)等腰三角形的底边长与其腰 长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”. 若等腰△ABC的周长为20.其中一边长为8， 则它的“优美比”为( A分 4 2.(6分)如图，在△ABC中，D在AC上，E在AB 2 D对 上，且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE,求∠A 5.(4分)等腰三角形的一个内角是70°，则它顶 的度数 角的度数是( A.709 B.70或40° C.70°或50 D.40 变式(4分)已知在等腰△ABC中，∠A=80°， 则∠B的度数不可能是( A.20° B.30° C.50 D.80° 6.(5分)在等腰三角形中，一腰上的 中线将这个三角形的周长分为12 第5章 和6两部分，则该等腰三角形的腰 长为 底边长为 15分钟同步练习，精练高效抓考点ZBK八年级数学上册 65