专题 构造全等三角形的常用方法-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（沪科版2024）

△AFE(ASA),..FG=FE. (3)解：(1)中结论成立.(2)中结论不成立 专题全等三角形中的常见模型 1.证明：，：DA=EB.∴.DA+AE=EB+AE,即DE=AB.在△DEF和 (DE=AB △ABC中 ∠DEF=∠B,∴.△DEF≌△ABC(SAS),∠F EF=BC ▣∠C. 2.(1)证明：AB=AC,BE=CD,.∴AB-BE=AC-CD,即AE=AD. (AD=AE 在△ABD和△ACE中，∠A=LA,.△ABD≌△ACE(SAS),. AB=AC ∠B=∠C: (2)解：图中的全等三角形有△ABD≌△ACE,△AEO≌△ADO. △BEO≌△CD0,△ABO≌△ACO. 3.证明：AB∥CD,AECF,∴，∠B=∠D,∠AEB=∠CFD.,BF= DE,∴BF+FE=DE+FE,即BE=DF.在△ABE和△CDF中 (∠B=∠D BE=DF ,∴，△ABE≌△CDF(ASA),∴.AB=CD ∠AEB=∠CFD 4.(1)证明：：∠DAE=∠BAC,∴.∠BAD=∠CAE.在△ABD和 (AB=AC △ACE中】 ∠BAD=∠CAE,∴，△BAD≌△CAE(SAS), AD=AE ∠ACE=∠ABD.:∠B4C+∠ABD+∠ACB=180°，∴∠BAC+ ∠ACB+∠ACE=∠BAC+∠DCE=18O°： (2)解：∠BAC=∠DCE.理由如下：·∠BAC=∠DAE,∴.∠BAD (AB=AC =∠CME.在△ABD和△ACE中」 ∠BAD=∠CAE,.△ABD≌ LAD=AE △ACE(SAS),∴·∠ACE=∠ABD.∠BAC+∠ABD+∠ACB= 18O°，∠ACE+∠ACB+∠DCE=18O°，∴.∠BAC=∠DCE. 5.解：(1).∠BAC=∠DAE=90°，∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+ ∠CAD,即∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中 (AB=AC ∠BAD=∠CME,∴.△BAD≌△CME(SAS): AD=AE (2)BD⊥CE,理由如下：，：△BAD≌△CAE,,∠ACE=∠ABD, :∠AGB=∠CGD,∠BAC+∠ABD+∠AGB=18O°，∠ACE+ ∠CGD+∠CDG=180°，.∠CDG=∠B4C=90°，.BD⊥CE. 6.解：(1)'BE⊥CE,AD⊥CE,∴.∠E=∠ADC=90°，∴.∠EBC+ ∠BGE=90°.，'∠ACB=∠BGE+∠ACD=90°，.∠EBC= '∠E=∠ADC ∠DCA.在△CEB和△ADC中， ∠EBC=∠DCA,∴.△CEB≌ BC=CA △ADC(AAS).∴，BE=DC,CE=AD=2.5cm,DE=1,7cm, DC=2.5-1.7=0.8(cm),∴.BE=0.8cm: (2)AD+BE=DE (3)(2)中的猜想还成立，理由：：∠BCE+∠ACB+∠ACD= 180°，LDAC+∠ADC+LACD=180°，∠ADC=∠BCA,,∠BCE ∠BCE=∠CAD =∠CAD.在△CEB和△ADC中 ∠BEC=∠CDA,△CEB≌ CB=AC △ADC(AAS),∴.BE=CD,EC=AD.∴，DE=EC+CD=AD+BE. 专题构造全等三角形的常用方法 L.解：延长AE至F,使AE=EF,连接BF,在△AED与△FEB中， (AE=FE ∠AED=∠FEB,.∴，△AED≌△FEB(SAS).∴.DA=BF,∠ADE DE=BE =∠FBE.·∠ABF=∠ABD+∠FBE,.∠ABF=∠ABD+∠ADB =∠ABD+∠BAD,,∠ABF+∠ADB=180°，又，·∠ADC+∠ADB =180°，·∠ABF=∠ADC.在△ABF与△CDA中， (AB=CD ∠ABF=∠CDA,∴.△ABF≌△CDA(SAS),÷.AC=AF,:AF= BF=DA 2AE,∴.AC=2AE. 2.解：(1)SAS CE AB+BD=AC (2)AC=AB+BD,理由如下：延长AB到点E,使BE=BD,连接 DE.AD是△ABC的角平分线.，∠EAD=∠DAC.∠ABC+ 76 同步练习，情炼高效抓考 ∠EBD=18O°，∠EBD+∠E+∠BDE=180°，.∴.∠ABC=∠E+ ∠BDE,∠BDE=∠E,,∠ABC=2∠E.∠ABC=2∠C I∠E=∠C .∠E=∠C,在△AED和△ACD中， ∠EAD=∠CAD,.△AED LAD=AD ≌△ACD(AAS),,AE=AC.,AE=AB+BE,∴，AC=AB+BD 3.解：在BC上截取BF=AB,连接EF:∠ABC,∠BCD的平分线 交AD于点E,∴.∠ABE=∠FBE,∠BCE=∠DCE.在△ABE和 (AB=FB △FBE中， ∠ABE=∠FBE,.△ABE≌△FBE(SAS), BE=BE ∠BAE=∠BFE.:AB∥CD,∴，∠BAE+∠CDE=18O°，∴.∠BFE+ ∠CDE=18O°，LBFE+∠CFE=180°，·LCFE=∠CDE.在 I∠CFE=∠CDE △FCE和△DCE中， ∠FCE=∠DCE,.△FCE≌△DCE CE=CE (AAS),∴，CF=CD,∴，BC=BF+CF=AB+CD. 4.解：(I)EF=BE+FD (2)成立：理由如下：延长EB到G,使BG=DF,连接AG :∠ABC+∠D=180°，∠ABG+∠ABC=180°，∴，∠ABG=∠D,在 (BG=DF △ABG和△ADF中，{∠ABC=∠D,.,△ABG≌△ADF(SAS). AB=AD ,AG=AF,∠BAG=∠DAF.∠EAF=- 2 ∠BAD,,∠DAF+ 1 ∠BAE=∠BAG+∠BAE= -∠BAD=∠EAF,∴.∠CAE=∠EAF, AC=AF 在△AEG和△AEF中 ∠EAG=∠EAF,,.△AEG≌△AEF AE=AE (SAS)...EG=EF..EG=BE+BG=BE+DF,..EF=BE+FD; (3)△DEF的周长为10. 追梦第14章章末复习全等三角形 1.B 2.B【解析】由题可知∠B■50°，∠CAE=10°.：△ABE≌ △ACD,∴∠BAE=∠CMD,∠B=∠C=S0°，∴.∠BAC=18O°- 50°-50°=80°.∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠CAD=∠CAE+ ∠DAE,,∠BAD=∠CAE=10°，∴.∠CAD=80°-10°=70°故 选B. 3.B4.D (BE=CD 5.A【解析】在△BDE和△CFD中，{∠B=∠C,△BDE≌ BD=CF △CFD(SAS),,∠BED=∠CDF,':∠EDC=∠B+∠BED= ∠EDF+∠FDC,,∠B=∠EDF=a,,∠B=∠C=a,.2a+∠A= 180°.故速A 6.三角形的稳定性 7.1<AD<5【解析】廷长AD到E,使DE=AD,连接BE.在△EBD (BD=CD 与△ACD中，∠BDE=∠CDA,∴，△EBD≌△ACD(SAS),.BE DE=DA =AC.AB=6,AC=4,+∴，2<AE<10,∴.1<AD<5 8.2 9.5【解析】过点A'作A'F⊥BD于，点F.·A'B⊥AB,AC⊥BD」 ∴.∠FBA'+∠FBA=∠CAB+∠FBA=90°，∴.∠FBA'=∠CAB,在 I∠BFA'=∠ACB △BFA'与△ACB中 ∠FBA'=∠CAB,,△BFA'≌△ACB BA'=AB (AAS),∴.AC=BF=5cm,∴.DF=BD-BF=5cm. 10.证明：，：AD平分∠EAC,∴.∠DAE=∠DAC,在△ADE和△ADC (AE=AC 中，{∠DAE=∠DAC,△ADE≌△ADC(SAS),∠E=∠C. AD=AD ,∠B=∠C,,∠E=∠B. 11.解：根据题意得：法线垂直于平面镜，且∠i=∠r,∠ABG= I∠FCB=∠GAB ∠FBC,在△FCB和△GAB中，BC=BA ,,△FCB≌ I∠FBC=∠GBA △GAB(ASA),∴.AG=CF=1.5m. ZBK八年级数学上册专题 构造全等 类型一利用“倍长中线法”构造全等三角形 模型B 展示 图1 图2 图3 先将三角形的中线延长一倍，构造出全 等三角形(“8”字型)，再利用全等三角 形的知识解题 方法 (1)如图1，已知D为BC的中点，延长 指导 AD到，点E,使DE=AD,连接BE: (2)如图2，已知D为BC的中点，延长 MD到点E,使DE=MD,连接CE: (3)如图3，已知E为DC的中点，延长 FE交BC的延长线于点G,使EF=EG. 1.(8分)如图，已知：CD=AB,∠BAD=∠BDA, AE是△ABD的中线，试说明：AC=2AE, 类型二利用“角平分线”构造全等三角形 因为角平分线本身已经具备全等三角形的三个 条件中的两个（角相等和公共边相等），故在处 理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三 角形：(1)在角的两边战取两条相等的线段：(2) 过角平分线上的一点作角的垂线段， 25分种同步练可，精棒高效圳 三角形的常用方法 2.(10分)如图1，AD是△ABC的角平分线，∠B =2∠C,试探究线段AB,BD,AC之间的数量 关系.小明的解题思路如下： ①如图2，在AC上取一点E,使AE=AB,连 接DE. 由AB=AE,AD平分∠BAE,AD是公共边，可 得△ABD≌△AED(理由： 则∠B=∠AED,BD=DE 由∠B=2∠C,则∠AED=2∠C.又因为∠AED =180°-∠DEC=180°-(180°-∠EDC-∠C)= ∠EDC+∠C,所以∠EDC=∠C. 过点E作EF⊥CD,则∠EFD=∠EFC.又因为 EF=EF,所以△EFD≌△EFC(AAS),则DE= 又由BD=DE,得BD=EC. ④根据上述的推理可知AB,BD,AC之间的数 量关系为 (1)请你补全小明的解题思路： (2)小明又想尝试其他方法：延长AB到点E, 连接DE,使∠E=∠BDE.请你帮助小明，完成 解答过程. D B D 图1 图2 图3 第4章 奇点Bk人年线数学上册 49 类型三利用“截长补短法”构造全等三角形 【方法指导】(1)截长法：先在长线段上取一段。 使其等于其中一条短线段，再证明剩下的线段等 于另一条短线段：(2)补短法：①先延长其中一 条短线段，使延长部分等于另一条短线段，再证 明延长后的线段等于长线段：②先延长其中一条 短线段，使其等于长线段，再证明延长的部分等 于另一条短线段 3.(8分)如图，AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分 ∠BCD,点E在AD上，试说明：BC=AB+CD. 第4意 4.(12分)问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD= 120°，∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD 上的点，且∠EAF=60°，请探究图中线段BE. EF,FD之间的数量关系. (1)解决问题： 小明探究此问题的方法是：延长线段FD到点 G,使DG=BE,连接AG.先证明△ABE≌ △ADG,得AE=AG:再由条件可得∠EAF= ∠GAF,证明△AEF≌△AGF,进而可得线段 BE,EF,FD之间的数量关系是 ； 50 25分仲同岁练可，精棒离效抓 (2)拓展应用： 如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D =180°，E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF =)∠BAD,(I)中的线段BE,EF,FD之间的 数量关系是否还成立？请说明理由： (3)学以致用： 如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形. AB=BC=CD=AD,∠A=∠ABC=∠C=∠D= 90°，∠EBF=45°，直接写出△DEF的周长 图1 图2 图3 考点ZBK人年饭数学上册