精品解析：黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

2024-2025学年度第二学期开学考试 高一数学学科试卷 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数为奇函数，且当时，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若幂函数在上单调递增，则函数且过定点（ ） A. B. C. D. 7. 生物学家采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，并经过研究得到体重和脉搏率的对数型关系：（其中是脉搏率（心跳次数/min），体重为，为正的常数），则体重为的豚鼠和体重为的小兔子的脉搏率之比为（ ） A. B. C. 2 D. 8 8. 已知是定义在R上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数在上不单调，则实数a的取值可能是（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 10. 以下结论正确的是（ ） A. 函数的最小值是2 B. 若a，且，则 C. 若，则的最小值为3 D. 函数的最大值为0 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 当函数的图象关于点成中心对称时， C. 当时，在上单调递减 D. 设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2024个交点，记为，则的值为0 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则这个扇形的面积为 ___________． 13. 已知，则的值是________． 14. 已知函数的最大值为M，最小值为m，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合和，若，，分别求实数的值. 16. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 17. 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值. 18. 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H(x)＝其中x是仪器的月产量. （1）将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)； （2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润) 19. 设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）时，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期开学考试 高一数学学科试卷 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合A和B，再根据交集的定义求解． 【详解】由题得，， 所以. 故选：A. 2. 已知函数为奇函数，且当时，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得的值，利用奇函数的性质可求得的值. 【详解】已知函数为奇函数，且当时，， 则. 故选：A. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，然后根据充分条件必要条件的概念得到答案. 【详解】因为，所以，因为，所以. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以0和1为中间值比较即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得，然后利用诱导公式计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以 ， 故选：D. 6. 若幂函数在上单调递增，则函数且过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质求出的值，再结合指数函数的性质进行求解即可. 【详解】因为是幂函数， 所以或，又因为该幂函数在上单调递增， 所以，即，因为，所以函数过定点， 故选：D 7. 生物学家采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，并经过研究得到体重和脉搏率的对数型关系：（其中是脉搏率（心跳次数/min），体重为，为正的常数），则体重为的豚鼠和体重为的小兔子的脉搏率之比为（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将，分别代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，当时，则脉搏为，即，则； 当时，则脉搏为，即，则； 所以，即 故选:C 8. 已知是定义在R上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得的取值范围. 【详解】设，则，， 令，则，所以，函数在上为增函数， 对任意的，， 所以，函数为上的偶函数，且， 由可得，即， 即，所以，，即，解得. 故选：A 【点睛】方法点睛：形如的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数在上不单调，则实数a的取值可能是（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】由条件结合二次函数的性质列不等式确定a的范围即可. 【详解】因为函数在上不单调， 所以， 所以， 所以， 故选：BC. 10. 以下结论正确的是（ ） A. 函数的最小值是2 B. 若a，且，则 C. 若，则的最小值为3 D. 函数的最大值为0 【答案】BD 【解析】 【分析】由基本不等式知识对选项逐一判断 【详解】对于A，当时，，故A错误， 对于B，由基本不等式知当，则，故B正确， 对于C，令，方程无解，则等号不成立，故C错误， 对于D，当时，，当时等号成立，故函数的最大值为0，故D正确， 故选：BD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 当函数的图象关于点成中心对称时， C. 当时，在上单调递减 D. 设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2024个交点，记为，则的值为0 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分母不为0，即可求函数的定义域，判断A；首先分离常数，根据函数的特征和性质，即可判断BC；根据两个函数的对称性相同，可判断出两个函数图象交点的对称性，即可求解，并判断D. 【详解】A：要使函数有意义，则，即，∴的定义域为，所以选项A正确； B：∵， ∴的图象关于点成中心对称，当函数的图象关于点成中心对称时，，所以选项B不正确； C：由选项B知，当时，，∴在单调递减，,所以选项C正确； D：∵，，∴的图象关于对称，又函数的图象关于对称，∴与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，，所以选项D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：本题重点考察了函数（其中）的性质，首先要将函数分离常数，即可快速判断函数的对称中心和单调性. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则这个扇形的面积为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】结合弧长求出扇形的半径，利用扇形的面积公式，即可求解． 【详解】设扇形的半径为r，扇形的圆心角为，即， 则，解得， 故这个扇形的面积为． 故答案为：． 13. 已知，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】令，代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果． 【详解】令，则，， 则． 故答案为： 14. 已知函数的最大值为M，最小值为m，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先构造函数，并证明是奇函数，并根据奇函数的性质，即可求解. 【详解】设，则的定义域为， 则， ∴，是奇函数，因此. 又，， ∴，． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，并判断函数的奇偶性的性质，从而可以求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合和，若，，分别求实数的值. 【答案】. 【解析】 【分析】根据，结合韦达定理即可得到答案. 【详解】因为，，则3是方程， 根据韦达定理得另一根为，则，所以， 所以，故是一元二次方程的两个实数根， 所以，即， 所以． 综上知. 16. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）利用对数运算性质化简求解即可． 【小问1详解】 原式 ． 【小问2详解】 原式 ． 17. 已知函数. （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围. 【详解】（Ⅰ）， 所以的最小正周期为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知. 因为，所以. 要使得在上的最大值为， 即在上的最大值为1. 所以，即. 所以的最小值为. 点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负. 18. 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H(x)＝其中x是仪器的月产量. （1）将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)； （2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润) 【答案】（1）；（2）每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元. 【解析】 【分析】（1）因为利润=收益—成本，这样就可以直接写出函数表达式； （2）分段函数求最大值，两者大者为所求利润的最大值. 【详解】(1)设每月产量为台，则总成本为.又， (2)当时，，所以当时，有最大值12 500； 当时，是减函数，. 所以当时，f(x)取最大值，最大值为12 500. 所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12 500元. 19. 设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）时，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件得到，利用对数函数的单调性即可得解； （2）依题意将问题转化为，设，转化为，利用对勾函数的单调性求得其最值，从而得解. 【小问1详解】 当时，函数， 由，得，则，解得或， 即当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 因为，所以在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 因为函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1， 可得，即， 即，所以， 设，因为，则，， 可得， 当时，， 当 时，可得， 因为在区间上单调递减，可得， 所以，则， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $