精品解析：山东省启思大联考2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

秘密★启用前 试卷类型A 2026届高考启思教育高三暑假线上第一次模拟考试 数 学 试 题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号和座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求解集合 和集合，再根据交集的定义即可求出. 【详解】因为集合， ， 所以. 故选：A. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 3. 已知双曲线（ ，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式列方程，结合离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为， 所以， 所以，所以，双曲线C的离心率. 故选：C. 4. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合正弦函数的图象可得答案. 【详解】因为，所以， 由函数在区间恰有三个极值点、两个零点， 得，解得. 故选：C. 5. 设是奇函数且满足，当 时，，则（ ） A. -1.6 B. -1.2 C. 0.7 D. 0.84 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的周期，再结合周期性求出函数值. 【详解】由，得，函数的周期是2， 又函数是奇函数，且当 时，， 所以. 故选：B 6. 古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形，其中心为O，若，则 （ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：过点 作，，垂足分别是 、 ，根据已知得且，即可得；法二：构建合适的平面坐标系，标注相关点坐标，由向量线性关系的坐标表示列方程，即可得. 【详解】法一：如图①，过点 作，，垂足分别是 ， ， 因为，所以， 又，所以四边形为正方形，所以， 又，所以，则，故； 法二：以 ， 所在直线分别为 ， 轴，建立如图②所示的平面直角坐标系， 设，则， 因为，所以，， 由，得，解得，故. 故选：A 7. 若圆 ：上有四个不同的点到直线的距离为3，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，要使得圆上有四个不同的点到直线距离为3，将问题转化为圆心到直线的距离小于3即可． 【详解】圆， 故圆心为，半径为6． 设圆心到直线的距离为， 要使圆上有四个不同的点到直线的距离为3， 则与直线 平行且距离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 所以，得，即， 解得， 故选：C． 8. ，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项. 【详解】令，则，，， 而且，即时单调增，时单调减，又， ∴，. 若有两个解，则，， 即，， 令，则，即 在上递增， ∴，即在上，，若即，故，有 ∴当 时，，故， 综上：. 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）如图，在正方体中，E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，则（ ） A. 平面平面 B. C. D. 平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间中的线面平行及线线垂直，线面、面面垂直相互转化来分析判断. 【详解】即判断平面平面 ，如图①，由正方体可得， 平面ABCD， 因为 平面ABCD，所以，又 ，， 平面 ， 则 平面 ，又 平面，则平面平面，A正确； 如图②，取中点为N，连接MN，PN，易得，平面，又 平面， 则，结合，且MN，平面MNP，则 平面 ， 又平面MNP，则，B正确； 如图③，连接，易得，则判断，即判断，又， 则是以为直角的直角三角形，则与 不垂直，即MP与 不垂直，C错误； 因为，，得，又平面，平面， 则平面，D正确． 故选：ABD. 10. 已知抛物线的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ，两点， 是 的准线与 轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线 的斜率为 B. C. ( 为坐标原点) D. 当取最小值时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出直线，，，根据题意求出 和的坐标，得到斜率判定A；运用抛物线定义转化线段长度，结合基本不等式计算判定B；借助向量法计算判定C；运用抛物线定义转化长度，结合基本不等式计算判定D. 【详解】 依题意，设直线，，， 联立得，则，， 则，解得或，则，或，， 则直线 的斜率为.故A正确；， 当且仅当时等号成立.故B正确； 因为，所以，故C错误； ，，则，，由抛物线的定义可得，，因为，， 当且仅当时取等号，此时，故D正确. 故选：ABD 11. 记 内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. 角 的最大值为 C. D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A利用余弦定理即可判断，对于B利用余弦定理和均值不等式即可判断，对于C由已知有得，最后利用余弦定理和正弦定理即可判断，对于D令代入 有，由三角不等式有，解出 的范围，又，利用二次函数即可求解，进而判断D. 【详解】对于A：由余弦定理有，所以，故A正确； 对于B：由余弦定理得，由基本不等式有，当时，即时等号成立，所以，所以角 的最大值为，故B正确； 对于C：由有， 所以， 所以， 即，与题干不符，故C错误； 对于D：令代入 有，由有 得解得， 所以，由， 所以 ，即的取值范围是，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据已知条件求出通项，再求出的表达式，结合即可求解. 【详解】设正项等比数列公比为q，则. 根据等比数列性质：. 因，所以，解得， 因此， 故， 由，得， 从而得，即， 解得或，而，故， 又，则n的最小值为5． 故答案为：5 13. 直线 经过点，与 轴、 轴分别交于 、两点，若，则直线 的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由向量的坐标运算求出 、两点的坐标，再利用直线的斜截式方程求解即可. 【详解】依题意，设，， 则，， 则， 由得，解得， 则，， 则直线 的斜率为，方程为 即. 故答案为：. 14. 小华进行3次投篮，每次投篮得1分或2分.第一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.若某次投篮得1分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为 ；若某次投篮得2分，则下一次投篮得1分的概率为 ，得2分的概率为.记小华3次投篮的累计得分为 ，则 的数学期望_________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据条件概率来计算事件的概率及数学期望. 【详解】由题意可知 的所有可能取值分别为3，4，5，6，记表示“第 次投篮得1分”的事件， 表示“第 次投篮得2分”的事件. ， ， ， 所以分布列为 X 3 4 5 6 P 0.18 0.32 0.32 0.18 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了探究新型植物营养液对某种植物开花数量的影响，某植物园选取生长状况相近的两组该植物，每组100株开展相关实验．对其中一组使用传统营养液培育，另一组使用新型营养液培育，其他条件保持相同且适宜，在一个完整生长周期内定期记录开花情况，待生长周期结束后，得到如下统计结果： 使用营养液种类 开花数量达标 开花数量未达标 合计 使用传统营养液 100 使用新型营养液 60 合计 65 （1）完成2×2列联表； （2）能否有95%的把握认为新型营养液对植物开花有促进作用？能否有99%的把握认为新型营养液对植物开花有促进作用？ 附：． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）表格见解析 （2）有95%的把握认为新型营养液对植物开花有促进作用，没有99%的把握认为新型营养液对植物开花有促进作用 【解析】 【分析】（1）根据表中数据补全列联表即可； （2）根据列联表的数据，计算的值，与临界值比较后可得答案； 【小问1详解】 列联表补充完整如下： 使用营养液种类 开花数量达标 开花数量未达标 合计 使用传统营养液 25 75 100 使用新型营养液 40 60 100 合计 65 135 200 【小问2详解】 由表中数据可知，， 又，故有95%的把握认为新型营养液对植物开花有促进作用， 没有99%的把握认为新型营养液对植物开花有促进作用． 16. 已知数列的首项 ，前 项和为，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）令，求函数在 处的导数. 【答案】（1） 证明：由已知， 当 时， ， 两式相减得 ，即 ， 则， 当 时， ，所以 ，因为 ，所以 ， 从而，所以， 又因为 ，可得 ，所以 ， 所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，当 时， ，进而得到 ，结合等比数列定义，即可得证； （2）由（1）得 ，根据题意，求得，记，结合乘公比错位相减法求和和等差数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，所以 ， 因为，所以， 则， 记 ，可得， 记， 则， 两式相减得： ， 所以， 又因为，所以. 17. 如图，四棱锥中，． （1）当为正三角形时， （i）若，证明：直线平面PBC； （ii）若A，B，D，P四点在以为半径的球面上，则四棱锥的体积是多少？ （2）当为等腰直角三角形时，且 ，求二面角的余弦值的最小值． 【答案】（1） （i）因为 ，且，所以 ， 又为正三角形，所以， 因为，所以，进而． 因为，所以， 又因为 ，PB，平面PBC， 所以直线平面PBC. （ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据勾股定理得，结合，再利用线面垂直的判定定理证明即可. （ii）建立空间直角坐标系，求出球心，设点P的坐标为，由和，求出，代入锥体体积公式即可求解. （2）设，求出平面BPD和平面PDC的法向量，利用向量法求得二面角的余弦值为，然后根据二次函数性质求解最值即可. 【小问1详解】 （i）略 （ii）延长BC至E，使得，进而，连结DE， 又有，可知，四边形ABED为正方形， 连结AE交BD于O，过点O作平面ABED， 以O为坐标原点，分别以OE，OD，Oz所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 因为A，B，D，P四点在以为半径的球面上，由球的性质可知球心M在z轴上，设点M的坐标为， 所以，解得，即. 又为正三角形，连结OP，可知，又平面， 进而可得平面AOP，所以点P在坐标平面内， 设点P的坐标为，又有， 则，，解得， 所以四棱锥的高， 直角梯形ABCD的面积， 所以四棱锥的体积. 【小问2详解】 因为为等腰直角三角形，且 ，连结OP，则． 建系方法如（ii）问，， 设点， 设平面BPD的一个法向量，则， 令，则，所以. 设平面PDC的一个法向量为，则， 令，则，所以. . 令，则， 所以. 当且仅当即时等号成立， 所以二面角的余弦值的最小值． 18. 已知拋物线的焦点是 ，点是拋物线 上一点（异于坐标原点），当时，． （1）求抛物线 的方程； （2）若是以 为直径的圆，证明：与 轴只有一个公共点，且直线 与抛物线 只有一个公共点 ； （3）设，过 的直线与 交于另一点 ，交 轴于点 ，过 作 的垂线交 于另一点 ，若 是 的切线，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先确定点的坐标，然后根据两点距离公式求出 ，进而求出抛物线方程. （2）先求出圆的方程，确定该圆与 轴只有一个公共点，然后求出直线的方程，联立直线与抛物线方程组可求得公共点 . （3）设，先求出的斜率，进而求出直线 的方程，进而得到点 的中点，根据已知条件求出最小值即可. 【小问1详解】 根据题意，当时，，此时点. 而，所以. 化简得，解得. 继续化简得，因为， 所以. 所以抛物线 的方程为. 【小问2详解】 由题意知，，设中点为 ，则. 而的半径，因此 到 轴的距离等于的半径，说明与 轴相切， 有唯一公共点. 直线的斜率，因此. . 故直线与抛物线 相切，只有一个公共点 . 【小问3详解】 设， 的斜率. 同理斜率. 由于，有. 直线 的方程为，令. 因此，由（2）可得，若 是抛物线的切线，有. 即，整理得. 由可得，因此. 故的最小值为. 19. 已知函数， ． （1）当时，求函数在上的最大值； （2）求证：函数在 上有最大值； （3）在（2）的结论下，若，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）直接求导后得到其单调性，则得到其最大值； （2）证明其为周期函数，则可得到其有最大值； （3）分和进行分类讨论即可. 【小问1详解】 ，， 故在上单调递增. 最大值为. 【小问2详解】 由于， 所以是以为周期的函数. 故 又因为在上连续，所以必然存在最大值. 故存在. 【小问3详解】 由（2）可知是以为周期的函数. 又，所以是奇函数. 故只需考虑在的单调性. 设, . 故在上单调递减. ，，， ，， 令，得. 令，得. 令，得. ①当时， ,. 则在上单调递减，在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 由于是奇函数，由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 故. ， 同理可得 故设，. 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， ，，， ，. 故，， 故 先证，即证 而，得证. 故 由于，故， ，故， 故 即 ②当时， ，. 则在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 由于是奇函数，由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 故. 同理可得， 即 由①可知在上单调递增 ， 故 综上所述的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 试卷类型A 2026届高考启思教育高三暑假线上第一次模拟考试 数 学 试 题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号和座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 3. 已知双曲线（ ，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设是奇函数且满足，当 时，，则（ ） A. -1.6 B. -1.2 C. 0.7 D. 0.84 6. 古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形，其中心为O，若，则 （ ） A. B. C. 2 D. 7. 若圆 ：上有四个不同的点到直线的距离为3，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. ，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）如图，在正方体中，E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，则（ ） A. 平面平面 B. C. D. 平面 10. 已知抛物线的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点， 是 的准线与 轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线 的斜率为 B. C. ( 为坐标原点) D. 当取最小值时， 11. 记 内角的对边分别是，已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. 角 的最大值为 C. D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为________． 13. 直线 经过点，与 轴、 轴分别交于 、 两点，若，则直线 的方程为__________. 14. 小华进行3次投篮，每次投篮得1分或2分.第一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.若某次投篮得1分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为 ；若某次投篮得2分，则下一次投篮得1分的概率为 ，得2分的概率为.记小华3次投篮的累计得分为 ，则 的数学期望_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了探究新型植物营养液对某种植物开花数量的影响，某植物园选取生长状况相近的两组该植物，每组100株开展相关实验．对其中一组使用传统营养液培育，另一组使用新型营养液培育，其他条件保持相同且适宜，在一个完整生长周期内定期记录开花情况，待生长周期结束后，得到如下统计结果： 使用营养液种类 开花数量达标 开花数量未达标 合计 使用传统营养液 100 使用新型营养液 60 合计 65 （1）完成2×2列联表； （2）能否有95%的把握认为新型营养液对植物开花有促进作用？能否有99%的把握认为新型营养液对植物开花有促进作用？ 附：． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 16. 已知数列的首项 ，前 项和为，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）令，求函数在 处的导数. 17. 如图，四棱锥中，． （1）当为正三角形时， （i）若，证明：直线平面PBC； （ii）若A，B，D，P四点在以为半径的球面上，则四棱锥的体积是多少？ （2）当为等腰直角三角形时，且 ，求二面角的余弦值的最小值． 18. 已知拋物线的焦点是 ，点是拋物线 上一点（异于坐标原点），当时，． （1）求抛物线 的方程； （2）若 是以 为直径的圆，证明： 与 轴只有一个公共点，且直线 与抛物线 只有一个公共点 ； （3）设，过 的直线与 交于另一点 ，交 轴于点 ，过 作 的垂线交 于另一点 ，若 是 的切线，求的最小值． 19. 已知函数， ． （1）当时，求函数在上的最大值； （2）求证：函数在 上有最大值； （3）在（2）的结论下，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $