7.2 认识证明 习题 课件2025-2026学年北师大版八年级数学上册

7.2.1 定义与命题 学习目标 1. 通过了解命题中的真命题、假命题的含义，命题的构成，能区分命题中的条件和结论，发展应用意识． 2．通过从具体实例中，探索出定义，并了解定义在现实生活中的重要性，了解命题的概念，并会区分命题的真假． 2 知识点1 定义与命题的概念 1.下列语句中，属于定义的是( ) A．两点确定一条直线 B．两条平行线被一条直线所截，同位角相等 C．两点之间线段最短 D．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离 D 2.下列语句是命题的是( ) A．作直线AB的垂线 B．同角的余角相等吗 C．延长线段AO到点C，使OC＝OA D．两直线相交，只有一个交点 D 知识点2 命题的结构 3.命题“负数没有平方根”的条件是__________________，结论是____________________；故将其改写为“如果……，那么……”的形式为____________________________________________． 一个数是负数 这个数没有平方根 如果一个数是负数，那么这个数没有平方根 知识点3 命题的分类 4.下列命题中是真命题的是( ) A．相等的角是对顶角 B．无理数就是开方开不尽的数 C．同旁内角互补 D．实数和数轴上的点一一对应 D ＞ (2)是假命题．反例：如图，∠1与∠2是内错角，但∠2＞∠1； [核心素养：几何直观　推理能力] 7. -已知△ABC与△DEF，现给出四个条件：①AB＝DE；②AC＝DF；③AC边上的中线与DF边上的中线相等；④△ABC的面积与△DEF的面积相等． (1)请以其中的3个条件作为命题的条件，以“△ABC≌△DEF”作为命题的结论写出一个真命题； (2)请以其中的3个条件（其中一个必须是条件④，另两个自选）作为命题的条件，以“△ABC≌△DEF”作为命题的结论写出一个假命题，并举出一个反例说明． 解：(1)在△ABC与△DEF中，若①AB＝DE，②AC＝DF，③AC边上的中线与DF边上的中线相等，则△ABC≌△DEF； (2)假命题：在△ABC与△DEF中，若①AB＝DE，②AC＝DF，④△ABC的面积与△DEF的面积相等，则△ABC≌△DEF.反例：如图，在△ABC与△DEF中，顶点A，D重合，顶点B，E重合，AB＝DE，AC＝DF，则S△ABC＝S△DEF，但△ABC与△DEF不全等． 命题的分类：正确的命题是真命题； 不正确的命题是假命题. 假命题验证的方法——举反例： 举例，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论.这种例子称为反例. 要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可. 总结归纳 12 判断下列命题的真假，如果是假命题，请举出反例． (1)垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)面积相等的两个三角形全等； (3)等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边； (4)三角形的一个外角大于任何一个内角； (5)有两角和一边对应相等的两个三角形全等； (6)有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； 假命题 假命题 真命题 假命题 真命题 真命题 练一练： 13 1.下列语句中属于定义的是(　 C 　) A . 平角都相等 B . 作已知角的平分线 C . 线段是直线上的两点和两点间的部分 D . 等角的余角相等 C 随堂练习 2. 下列不属于定义的是(　 D 　) A . 两边相等的三角形是等腰三角形 B . 无限不循环小数叫做无理数 C . 含有未知数的等式叫做方程 D . 正方形的四条边相等 D 3.给出下列语句： ①如果两个角都是50°，那么这两个角是对顶角； ②直角三角形一定不是轴对称图形； ③画线段AB＝5 cm ； ④延长线段AB至点C，使AB＝BC； ⑤明天下雨吗？ 其中命题的个数为(　 B 　) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 B 4.下列命题错误的是(　 C 　) A ． 若直线a⊥b，则a与b的夹角为直角 B ． 等角的补角相等 C ． 无理数包括正无理数，0，负无理数 D ． 两点之间，线段最短 C 17 5.已知命题：“三角形三条高线的交点不在三角形的外部．”小冉想举出一个反例说明它是假命题，则下列选项中一定符合要求的是(　 D 　) A ． 等腰三角形 B ． 直角三角形 C ． 锐角三角形 D ． 钝角三角形 D 18 6. 下列语句中，是命题的打“√”，不是的打“×”． (1)对顶角不相等．( 　√　 ) (2)蔚蓝的天空．( 　×　 ) (3)三角形的内角和等于180°.( 　√　 ) (4)两直线平行．( 　×　 ) (5)两数相加．( 　×　 ) √ × √ × × 19 7. 写出下列命题的条件和结论． (1)90°的角是直角． 条件是 ⁠， 结论是 ⁠； (2)内错角相等． 条件是 ⁠， 结论是 ⁠． 一个角的度数是90°　 这个角是直角　 两个角是内错角　 这两个角相等　 20 8. 判断下列命题是真命题，还是假命题．如果是假命题， 举一个反例． (1)带根号的数都是无理数； 解：(1)假命题．反例： ＝2，是有理数． (2)如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个 三角形全等． 解：(2)真命题． 21 课堂小结 22 eq \f(1,2) 5.要说明命题“一个正数的算术平方根一定小于这个数”是假命题，可以按以下举反例说明： 当a＝_______时， eq \r(a)＝_________，得 eq \r(a)_________a，所以这个命题是一个假命题． （0＜a＜1即可，答案不唯一） eq \f(1,4) 6.判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例；若是真命题，请说明理由． (1)若a＞b，则 eq \f(1,a)＜ eq \f(1,b)； (2)内错角相等； (3)当m＞n＞0时，三边长分别为a＝m－n，b＝2 eq \r(mn)，c＝m＋n的三角形是直角三角形． (3)是真命题．理由：因为(m＋n)2＝(m－n)2＋（2 eq \r(mn)）2，即c2＝a2＋b2，所以此三角形是直角三角形． 解：(1)是假命题．反例：当a＝1，b＝－1时，a＞b，但 eq \f(1,a)＞ eq \f(1,b)； $$7.2.2 公理、定理与证明 学习目标 1. 通过学习知道什么是公理，什么是定理，理解证明的概念，发展学生的思维能力． 2．学生通过具体实例学习证明的基本步骤和书写格式，发展推理能力． 3．通过理解证明要步步有据，培养学生养成科学、严谨的学习态度． 2 几何的推理方法主要有两种： 一种是综合法，即由“因”到“果”，由已知条件逐步推导出结论； 一种是分析法，即执“果”索“因”，根据要推出的结论，分析必须找到什么样的条件，一步一步反推到条件． 总结归纳 3 证明的一般步骤： ①审题，分清命题的条件和结论； ②画图，结合图形写出已知和求证； ③分析因果关系，找出证明途径； ④有条理地写出证明过程． 总结归纳 4 知识点1 公理与定理的概念 1.下列说法不正确的是( ) A．公理和定理都是真命题 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 B 2.“同位角相等，两直线平行”是( ) A．定义 B．公理 C．定理 D．待证的命题 3.下列命题中，不是定理的是( ) A．三角形的任意两边之和大于第三边 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同角（等角）的补角相等 D．相等的角是对顶角 B D 知识点2 证明 4.在证明过程中，可以用来作为推理依据的是( ) A．公理 B．定义、公理 C．公理、定理 D．定义、公理、定理 D 5.下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号内的符号代表的内容： 已知：如图，直线a∥b，a⊥c，求证：b⊥c. 证明：∵a⊥c（已知），∴∠1＝(☆)（垂直的定义）.又∵a∥b（已知）， ∴∠1＝∠2(◎)，∴∠2＝∠1＝90°(@)，∴b⊥c(※). 则下列回答错误的是( ) A．“☆”代表“90°” B．“◎”代表“同位角相等，两直线平行” C．“@”代表“等量代换” D．“※”代表“垂直的定义” B 6. 求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于其顶角的一半． 小明同学根据题意画出了不完整的图形（如图），并写出了不完整的已知、求证： 已知：在△ABC中，AB＝AC，__________________． 求证：________________________． (1)请将图形、已知和求证补充完整； (2)请写出该命题的证明过程． 解：(1)如图所示； BD⊥AC于点D [核心素养：几何直观　推理能力] 7. 在数学课上，王老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B，E，C，F在同一直线上），并写出四个条件：①AB＝DE；②AC＝DF；③∠ABC＝∠DEF；④BE＝CF.请从这4个条件中选出3个作为条件，剩余的1个作为结论组成一个真命题，并给予证明． 条件：______________；结论：_____________（均填写序号）. 1.下列命题是公理的是( ) C A.内错角相等,两直线平行 B.对顶角相等 C.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 D.三角形任意两边之和大于第三边 随堂练习 2.在证明过程中可以作为推理依据的是( ) B A.命题、定义、公理 B.定理、定义、公理 C.命题 D.真命题 3.“在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线”这个句子是( ) B A.定理 B.定义 C.公理 D.命题 4.下面关于公理和定理的联系,说法不正确的是( ) B A.公理和定理都是真命题 B.公理就是定理,定理也是公理 C.公理和定理都可以作为推理论证的依据 D.公理的正确性不需要证明,定理的正确性需要证明 5.“三角形的任意两边之和大于第三边”是______（填“定义”“公理”或 “定理”）. 定理 6.如果 ， ，那么 ，这个推理的依据是 __________________________________. 平行于同一条直线的两条直线平行 16 7.在下列括号里填上合适的推理根据. 已知：如图， ， ， 三点在一条直线上， . 求证： . 证明： ( )， ( )， ( ). 解：已知 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 17 8.证明“全等三角形的对应角平分线相等”. 命题证明应有四个步骤:画出图形,写出已知、求证及证明过程.请把下列证明补完整. 图形:如图所示. 18 已知:如图,△ABC≌△A'B'C',BD,B'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线. 求证:BD=B'D'. 证明:∵△ABC≌△A'B'C', ∴AB=A'B',∠A=∠A',∠ABC=∠A'B'C'. ∵BD,B'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线, ∴∠ABD=∠ABC,∠A'B'D'=∠A'B'C'. 19 ∴∠ABD=∠A'B'D'. 在△ABD和△A'B'D'中, ∴△ABD≌△A'B'D'(ASA). ∴BD=B'D'. 20 课堂小结 已知条件 结论 证明 依据定义、公理，已证定理 定理 演绎推理 证明 经过证明的真命题称为定理 从已知条件出发，依据定义、公理，已证定理推导出 结论的方法 演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明. 21 ∠CBD＝ eq \f(1,2)∠A (2)证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝ eq \f(1,2)(180°－∠A)＝90°－ eq \f(1,2)∠A. 又∵BD⊥AC， ∴∠CBD＝90°－∠C＝90°－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(90°－\f(1,2)∠A))＝ eq \f(1,2)∠A. 解：答案不唯一，如： 条件：①③④　结论：②. 证明：∵BE＝CF， ∴BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,∠ABC＝∠DEF，,BC＝EF，)) ∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴AC＝DF. $$