精品解析：河北省沧州市青县清州镇实验中学2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

河北省沧州市青县清州镇实验中学中学2024-2025年九年级下学期第一次月考数学试卷 一、选择题（共12题，共36.0分） 1. 下列各组数中，比较大小不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 3. 用计算器求的值，按键顺序是（　　） A. B C. D. 4. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　　） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式组有解，则的取值范围是（　　　） A. B. C. D. 6. 一件衬衫按进价提高50%后进行标价，后来因季节原因要按标价的八折出售，此时每件衬衫仍可获利12元，则这批衬衫的进价是每件（ ） A 48元 B. 90元 C. 60元 D. 180元 7. 某校参加课外兴趣小组学生人数统计图如图所示．若棋类小组有60人，则劳动实践小组的人数为（ ） A. 75 B. 90 C. 108 D. 120 8. 正方形的面积S（单位：）与周长C（单位：）之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（　　） A. B. C. 2 D. 10. 如图，把放置在正方形中，，直角顶点在正方形的对角线上，点、分别在和边上，经正方形的对称中心点，且点是的中点，下面说法：①若，则；②若，则；③若，，，则，其中正确的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 11. 如图，四边形中，，以为直径的经过点C，连接、交于点．连接交于点，连接，若，，则以下结论：①；②为的切线；③；④；则正确的结论个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图，中，，，点是的中点，点是平面内一个动点，，以点为直角顶点，为直角边在的上方作等腰直角三角形．当的度数最大时，的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4题，共12.0分） 13. 如图，△ABC≌△ABD，∠C=30°，∠ABC=85°，则∠BAD的度数为______． 14. 如图，在平行四边形中，点F在上，且，则______． 15. 关于x的一元二次方程的两根分别为，，且，若，则________． 16. 若，，都有意义，下列等式①；②；③；④；中一定不成立的是 _______． 三、解答题（共8题，共72.0分） 17. 如图，在单位长度为的数轴上，设A、B、C、D四点在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中，，线段的长度分别为，． （1）请求出线段的长度； （2）若线段分别以每秒的速度同时开始向右匀速运动．设线段的中点分别为M、N点，运动时间为t秒，其中． ①当运动时间t为何值时，点B与点M恰好重合？ ②在线段的运动过程中，线段的长是否为某一固定值？如果是，试求出这个值；如果不是，请说明理由． 18. 阅读下面的文字，解答问题： 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ∵，即 ， ∴的整数部分是，小数部分为 ． （1）的整数部分是 ， 小数部分是 ； （2）点 表示的数为无理数，点在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 ；（填序号即可） ，均为有理数； ； ； ． （3）若，其中是整数，且，求的值． 19. 如图，在中，为直径，为弦．过延长线上一点，作于点，交于点，交于点，是的中点，连接，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求长． 20. 【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 21. 如图，在中，，点D是边上一点，点E为外的任意一点，连接，，，其中，． （1）求证：； （2）若，，，求的周长． 22. 如图，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C且，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足为F，BF交⊙O于G． （1）求证：CE2=FG•FB； （2）若tan∠CBF=，AE=3，求⊙O的直径． 23 直线与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线经过点B、C，并与x轴交于另一点A． （1）求此抛物线及直线AC的函数表达式； （2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（，），Q（，），与直线BC交于点，N（，），若＜＜，结合函数的图象，求的取值范围； （3）经过点D（0，1）的直线m与射线AC、射线OB分别交于点M、N．当直线m绕点D旋转时， 是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由． 24. 已知长方形中，，点E、F分别是线段和射线上的动点，且． （1）如图1，若，求线段的长度； （2）如图2，若，求线段的长度； （3）如图3，若点F在的延长线上，点E是中点，且与互补，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省沧州市青县清州镇实验中学中学2024-2025年九年级下学期第一次月考数学试卷 一、选择题（共12题，共36.0分） 1. 下列各组数中，比较大小不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，绝对值，有理数的乘方运算，解题的关键是掌握正数负数．先将各数能化简的化简，再根据正数负数，即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴，故A正确，不符合题意； B、∵，， ∴，故B不正确，符合题意； C、∵，， ∴，故C正确，不符合题意； D、∵， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：B． 2. 直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象可以得到，当x≥0时，y＝kx+b对应的函数值不大于1，从而可以得到不等式kx+b≤1的解集． 【详解】解：由图象可得， 当x≥0时，y＝kx+b对应的函数值不大于1， ∴不等式kx+b≤1的解集是x≥0， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，利用数形结合的思想解答问题是解答本题的关键． 3. 用计算器求的值，按键顺序是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据用计算器算三角函数方法：先按键“”，再输入角的度数，按键“”即可得到结果． 【详解】先按键“”，再输入角的度数，按键“”即可得到结果． 故选：D． 【点睛】本题考查了用计算器算三角函数的方法：先按键“”，再输入角的度数，按键“=”即可得到结果． 4. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键． 5. 若关于的不等式组有解，则的取值范围是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据不等式组的解集的意义：两个解集有公共部分即有解，从而得解． 【详解】解：由题意，根据不等式组解集的意义：两个解集有公共部分即有解， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了不等式组的解集的意义，解题时要熟悉概念并能灵活运用是关键． 6. 一件衬衫按进价提高50%后进行标价，后来因季节原因要按标价的八折出售，此时每件衬衫仍可获利12元，则这批衬衫的进价是每件（ ） A. 48元 B. 90元 C. 60元 D. 180元 【答案】C 【解析】 【分析】设这批衬衫的进价是每件元，根据题意列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】设这批衬衫的进价是每件元 根据题意，得： 去括号，得： 合并同类项，得： ∴ ∴这批衬衫的进价是每件元 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 7. 某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若棋类小组有60人，则劳动实践小组的人数为（ ） A. 75 B. 90 C. 108 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，用棋类的人数除以其占比即可得到总人数，再用总人数乘以劳动实践的人数占比即可得到答案． 【详解】解：人， ∴劳动实践小组的人数为90人， 故选B． 8. 正方形的面积S（单位：）与周长C（单位：）之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数，先求出正方形的边长为，再根据正方形的面积公式即可得解． 【详解】解：∵正方形的周长为C ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积， 故选：A． 9. 如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质、角平分线的定义，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的性质和折叠的性质是解决问题的关键．延长和相交于点，根据翻折的性质可以证明，可得，再证明，可得． 【详解】解：如图，延长和相交于点， 由翻折可知：，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 故选：C． 10. 如图，把放置在正方形中，，直角顶点在正方形的对角线上，点、分别在和边上，经正方形的对称中心点，且点是的中点，下面说法：①若，则；②若，则；③若，，，则，其中正确的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．①正确，证明，可得结论；②正确，求出，，可得结论；③错误，求出，，再利用勾股定理求出，即可判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵， 若， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：，故③错误； 综上分析可知：正确的有2个． 故选：C． 11. 如图，四边形中，，以为直径的经过点C，连接、交于点．连接交于点，连接，若，，则以下结论：①；②为的切线；③；④；则正确的结论个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】①连接，证得，又知，得到，圆周角定理得到，进而得到； ②、则、，证为中位线知、，进一步求得，再在中利用勾股定理逆定理证即可得出结论； ③连接，证明四点共圆，进而根据同弧所对的圆周角相等，即可得证； ④先证得，再证得，联立得，即，结合知，据此可得，结合可得相关线段的长，代入计算可得． 【详解】解：①连接， 在和中， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ，即， ， ②，， ， ，且， ，， 在中，， 在中，， ， ， ， 则与相切； ③连接， ，是圆的切线， 为等腰直角三角形， 为直径， ，， ， 四点共圆， ，故③正确 ④是的直径， ， ， ， ，即， 又，， ， ，即， 由可得，即， 又， ， ， ，，，，， ，即， 解得：，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点． 12. 如图，中，，，点是的中点，点是平面内一个动点，，以点为直角顶点，为直角边在的上方作等腰直角三角形．当的度数最大时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接AF，通过对应边的比相等和两边的一夹角证明，得出点F的运动轨迹为在以A为圆心，以AF为半径的圆；过点D作的切线，连接，可知为最大值，此时；在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接AF 由题意知和均为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴点F在以A为圆心，以AF为半径的圆上运动 ∴过点D作的切线，连接，可知为最大值，此时 在中，，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴当最大时， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形相似，切线，勾股定理等知识．解题的关键与难点在于得出点F的运动轨迹． 二、填空题（共4题，共12.0分） 13. 如图，△ABC≌△ABD，∠C=30°，∠ABC=85°，则∠BAD的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：，． ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 14. 如图，在平行四边形中，点F在上，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，设，，，则，利用相似三角形的性质求出平行四边形的面积，即可解决问题，解题的关键是学会利用参数解决问题． 【详解】解：设，，，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为:． 15. 关于x的一元二次方程的两根分别为，，且，若，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质；首先根据题意，得为方程的一个根，从而得到方程的另一个根，再通过列三元一次方程组并求解，即可得到答案． 【详解】∵， ∴为方程的一个根， ∵一元二次方程的两根分别为，，且， ∴方程的另一个根为2或者 当方程的两根分别为，2时，得 得， ∴ 当方程的两根分别为，时，得 得，即 ∴ 故答案为：或． 16. 若，，都有意义，下列等式①；②；③；④；中一定不成立的是 _______． 【答案】② 【解析】 【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可． 详解】解：∵，，都有意义， ∴，，， 当时，①，④， ∴①④可能成立， ∴①④不符合题意； 根据分式的基本性质可得， ∴③不符合题意； 若成立，则有， ∴， 关于m的一元二次方程，， ∴不存在这样的m、n的值使原式成立， ∴②一定不成立； 故答案为：②． 【点睛】本题考查了分式的加减、分式有意义的条件、分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质及加减运算法则是解题关键． 三、解答题（共8题，共72.0分） 17. 如图，在单位长度为的数轴上，设A、B、C、D四点在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中，，线段的长度分别为，． （1）请求出线段长度； （2）若线段分别以每秒的速度同时开始向右匀速运动．设线段的中点分别为M、N点，运动时间为t秒，其中． ①当运动时间t为何值时，点B与点M恰好重合？ ②在线段的运动过程中，线段的长是否为某一固定值？如果是，试求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）线段的长度为 （2）①不存在t的值，使点B与点M恰好重合；②线段的长是固定值，线段的长为定值2 【解析】 【分析】本题主要考查的是数轴上两点之间的距离、整式的加减运算、一元一次方程的应用、数轴上的动点问题等知识点，弄清各点表示的数成为解题的关键． （1）由，点A在数轴上表示的数是，求出点B在数轴上表示的数是；由，点D在数轴上表示的数是15，求出点C在数轴上表示的数是，即可得线段的长度为； （2）①当运动t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的为，可得点M对应的数为，根据点B与点M恰好重合，得，解得，而，故不存在t的值，使点B与点M恰好重合；②求出点M对应的数为，点N对应的数为，可得． 【小问1详解】 解：∵，点A在数轴上表示的数是， ∴点B在数轴上表示的数是； ∵，点D在数轴上表示的数是15， ∴点C在数轴上表示的数是， ∴； ∴线段的长度为． 【小问2详解】 解：①当运动t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∵点M为中点， ∴点M对应的数为， ∵点B与点M恰好重合时， ∴， ∵， ∴不存在t的值，使点B与点M恰好重合； ②在线段的运动过程中，线段的长是固定值，理由如下： 由①知，点A表示的数为，点C表示的数为，点M对应的数为， 当运动时间为t秒时，点B表示的为，点D表示的数为， ∵点N为中点， ∴点N对应的数为， ∴． ∴在线段的运动过程中，线段的长为定值2． 18. 阅读下面的文字，解答问题： 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ∵，即 ， ∴的整数部分是，小数部分为 ． （1）的整数部分是 ， 小数部分是 ； （2）点 表示的数为无理数，点在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 ；（填序号即可） ，均为有理数； ； ； ． （3）若，其中是整数，且，求的值． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）仿照题意求解即可； （）设点 表示的无理数为，再根据数轴可知，据此求出的值，然后逐一排除即可； （）仿照题意求解即可； 本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，即， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设点表示的无理数为，再根据数轴可知， ∴，，故，说法错误； ∴， ∵， ∴， ∴，故说法错误； 由，， 则， ∵， ∴，故说法正确； 故选：； 【小问3详解】 解：∵，即， ∴，即， ∴，， ∴． 19. 如图，在中，为直径，为弦．过延长线上一点，作于点，交于点，交于点，是的中点，连接，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）与相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理得到，再根据斜边上的中线性质得到，继而解得，接着证明，从而得到，然后根据直线与圆的位置关系解题即可； （2）先证明，再证明，则可判定，利用相似比计算出的长，再计算的长，然后计算即可． 【小问1详解】 解：与相切，理由如下： 如图所示，连接， ∵，即， ∴， ∵为直径， ∴． ∵M点为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径 ∴为切线，即与相切； 【小问2详解】 解：如图2所示， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 20. 【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）34cm；（2）秒． 【解析】 【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可； （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中， ，，， ∴， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如图2，在中， ∵长方体的棱长，， ∴，，，， ∴， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 21. 如图，在中，，点D是边上一点，点E为外的任意一点，连接，，，其中，． （1）求证：； （2）若，，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）16 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先证明，再利用证明即可； （2）由可得，根据即可求出的周长． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 22. 如图，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C且，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足为F，BF交⊙O于G． （1）求证：CE2=FG•FB； （2）若tan∠CBF=，AE=3，求⊙O的直径． 【答案】（1）见解析;（2）15． 【解析】 【分析】（1）由切割线定理知：CF2=FG•FB，欲证本题的结论，需先证得CE=CF；可通过证△BCE≌△BCF得出； （2）欲求⊙O的直径，已知AE的长，关键是求出BE的长度；在Rt△ABC中，CE⊥AB，根据射影定理得到CE2=AE•EB，由此可求出BE的长． 【详解】（1）连接AC， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵，且AB是直径， ∴AB⊥CD， 即CE是Rt△ABC的高， ∴∠A=∠ECB，∠ACE=∠EBC， ∵CF是⊙O的切线， ∴∠FCB=∠A，CF2=FG•FB， ∴∠FCB=∠ECB， ∵∠BFC=∠CEB=90°，CB=CB， ∴△BCF≌△BCE， ∴CE=CF，∠FBC=∠CBE， ∴CE2=FG•FB； （2）∵∠CBF=∠CBE，∠CBE=∠ACE， ∴∠ACE=∠CBF； ∴tan∠CBF=tan∠ACE=， ∵AE=3， ∴， ∴CE=6， 在Rt△ABC中，CE是高， ∴CE2=AE•EB，即62=3EB， ∴EB=12， ∴⊙O的直径为：12+3=15． 【点睛】此题综合运用了圆周角的性质、垂径定理、切割线定理、三角形全等、解直角三角形等知识．此题综合性较强，采用层层深入的方法进行逐一解答． 23. 直线与x轴、y轴分别交于点B、C，抛物线经过点B、C，并与x轴交于另一点A． （1）求此抛物线及直线AC的函数表达式； （2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（，），Q（，），与直线BC交于点，N（，），若＜＜，结合函数的图象，求的取值范围； （3）经过点D（0，1）的直线m与射线AC、射线OB分别交于点M、N．当直线m绕点D旋转时， 是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由． 【答案】（1）=； ；（2）1＜＜2；（3）为定值3． 【解析】 【详解】分析：（1）先求得直线y=-x+3与x轴、y轴的交点B、C的坐标，代入入求得a、k的值，即可得抛物线的函数表达式；令y=0，求得点A的坐标，再用待定系数法求得直线AC的函数表达式即可；（2）根据题意可得y1=y2，即可得x1+x2=2；当直线l1经过点C时，x1=x3=0，x2=2，此时x1+x3+x2=2，当直线l2经过顶点（1，4）时，直线BC的解析式为，y=4时，x=﹣1, 此时，x1=x2=1，x3=﹣1，此时x1+x3+x2=1;当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2，即可得1<<2；（3）为定值3，设直线MN的解析式为y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，所以点N的坐标为（，0）．所以AN=+1=即可得=;将y=3x+3与y=kx+1联立解得：x=．求得点M的横坐标为． 过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG==．再由△MAG∽△CAO,根据相似三角形的性质可得,,==，由此可得=+==3. 详解： （1）∵直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C， ∴B(3，0)，C（0，3）； 把B(3，0)，C（0，3）代入得， ， 解得 ， ∴抛物线函数表达式为=； 令y=0，可得=0，解得x1=-1，x2=3； ∴A（-1，0）； 设AC的解析式为y=kx+b， ， 解得， ∴直线AC的函数表达式为； （2）∵y1=y2，∴x1+x2=2． 当直线l1经过点C时，x1=x3=0，x2=2，此时x1+x3+x2=2， 当直线l2经过顶点（1，4）时，直线BC的解析式为，y=4时，x=﹣1, 此时，x1=x2=1，x3=﹣1，此时x1+x3+x2=1;当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2 , ∴1<<2． (3)为定值3． 理由如下：设直线MN的解析式为y=kx+1．把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=， ∴点N的坐标为（，0）．∴AN=+1=,=; 将y=3x+3与y=kx+1联立解得：x=．∴点M的横坐标为． 过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG==． ∵△MAG∽△CAO,∴, ∴,== ∴=+==3. 点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式等知识点，解决本题主要利用数形结合思想，解决第三问时求得点N，M的坐标是解题的关键． 24. 已知长方形中，，点E、F分别是线段和射线上的动点，且． （1）如图1，若，求线段的长度； （2）如图2，若，求线段的长度； （3）如图3，若点F在的延长线上，点E是中点，且与互补，求线段的长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了长方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据长方形的性质和条件证明，，得到，再求出，利用勾股定理即可得解； （2）作正方形交于M，则，证明，得出，证明，得出，设，利用勾股定理求出未知数的值，再利用，即可求解； （3）利用构造半角模型，作，过E作于点，过点F作交其延长线于点G，先证，再证，最后证，利用全等得到的等量关系，在中运用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是长方形，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； 【小问2详解】 解：如图所示，作正方形交于M，则，连接，， ∵， ∴， 延长至H，使， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 设, ∴, ∴在中，， 即， 解得， ∴， 又，即， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：作，过E作于点，过点F作交其延长线于点G， ∵四边形是长方形，， ∴，，，， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴, 又∵，， ∴， 连接， ∵于点，交其延长线于点G， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 即， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $