第六章反比例函数单元练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第六章 反比例函数 单元练习 一、单选题 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．，是反比例函数图象上的两点，下列判断正确的是（  ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 4．如图，平行于 x 轴的直线与函数 和 的图象分别 相交于 A 、B 两点，点 A 在点 B 的右侧，C 为 x 轴上的一个动点，若的面积为4， 则的值为（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．对于反比例函数下列说法正确的是（       ） A．图象经过点 B．在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 C．图象位于第二、四象限 D．图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 6．若双曲线的图像分布在第二、四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知两个反比例函数和在第一象限内的图象，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 9．已知，P为双曲线上的任意一点，过点P作轴于点C，轴于点D．四边形面积S的最小值为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点，，若反比例函数（，）的图象经过点B，则k的值为（   ） A． B．8 C．10 D． 二、填空题 11．在平面直角坐标系中，若点和在函数（）的图象上，则的值为 ． 12．已知反比例函数（k为常数）的图象过点．若点是这个反比例函数图象上的两点，且，则的大小关系为______． 13．在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，．则不等式的解集为 ． 14．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了 ． 15．如图，过轴上任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若为轴上任意一点，连接、，则的面积为 ． 三、解答题 16．已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）． (1)当时，求反比例函数的解析式及B点的坐标． (2)直线与反比例函数图象的另一支交于点C，连接交y轴于点D．若，求直线的函数解析式． 17．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点的横坐标为2． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围______． 18．如图，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码，可使仪器水平平衡平衡时遵循杠杆平衡条件，改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)与x之间的函数表达式为______； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与O点之间的距离； (3)当托盘B向右移动时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？并说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 20．已知：如图1，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过C、D两点． (1)求点C的坐标并直接写出、的值； (2)如图2过点A作x轴的垂线L，在L上找一点P，当最大时，求点P的坐标； (3)如图3，过点D作轴，垂足为点H，交的图象于点E，点M为y轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得点C、E、M、N四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第六章 反比例函数 单元练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D C B B D C D 1．D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的一般形式（为常数，）． 根据反比例函数定义，逐一分析选项，判断是否符合为常数，的形式． 【详解】根据反比例函数定义，不是反比例函数， 符合反比例函数的定义，它是反比例函数， 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的性质，分析点和的横坐标符号及大小关系，根据反比例函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解：∵反比例函数常量， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， A、当时，两点都在第一象限，，原说法错误，不符合题意； B、当时，在第一象限，在第三象限，，原说法错误，不符合题意； C、当时，，两点都在第三象限，，原说法错误，不符合题意； D、当时，在第一象限，在第三象限，，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．B 【分析】本题考查列函数表达式，根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可． 【详解】解：依题意得， 即：． 故选：B． 4．D 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A、B两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．根据的面积，先设A、B两点坐标（其纵坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解． 【详解】解：设A、B两点的坐标分别是，， 则，， 的面积为4，即， ， ． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，轴对称图形及中心对称图形的识别，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、当时，，图象不经过点，故选项A不符合题意； B、，故该函数图象位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，故选项B不符合题意； C、，故该函数图象位于第二、四象限，故选项C符合题意； D、反比例函数的两个分支关于原点成中心对称，也是轴对称图形，故选项D不符合题意； 故选：C． 6．B 【分析】本题考查反比例函数图像的分布与系数符号的关系，掌握反比例函数图像的分布规律是解题的关键．根据图像分布在第二、四象限。则，从而求解m的取值范围． 【详解】解：双曲线的图像分布在第二、四象限， , ． 故选：B． 7．B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质、一次函数的图象性质等知识点，熟练掌握反比例、一次函数的性质成为解题的关键． 根据反比例函数和一次函数的性质求解即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项B符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合． 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了反比函数比例系数的几何意义，根据反比函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点轴于点，交于点， ，， 四边形的面积， 故选：D． 9．C 【分析】本题考查了几何图形与函数结合的最值问题，通过设点P坐标，分解四边形为多个三角形是解题的关键．将四边形的面积表示为关于点P横坐标的函数，再利用不等式性质求最小值． 【详解】解：设点P的坐标为， 轴、轴， ， ， ， ， ， ， ， ， （当且仅当时，取等号） ，即， ， 当，即时，四边形面积S的最小值为24， 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式，勾股定理是解题的关键． 如图，连接，交于点，设，则，可求，由矩形，可得，，，则，即，可求，即，将代入计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点，设， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∵矩形， ∴为，中点，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 将代入得，， 解得，， 故选：D． 11．0 【分析】本题考查了反比例函数的计算，掌握反比例函数求自变量或函数值的计算是关键． 根据点在反比例函数图象上，分别求出的值，代入计算即可． 【详解】解：点和都在函数的图象上， ∴将两点坐标代入函数解析式，可得， 解得，， ∴， 故答案为：0． 12． 【分析】先判断出函数图象在一、三象限，再根据，可判断出、两点所在的象限，根据各象限内点的坐标特点即可判断出与的大小关系． 【详解】解：∵反比例函数（k为常数）的图象过点． ∴， ∴反比例函数，此函数图象在一、三象限， ， 在第三象限；点在第一象限， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及各象限内点的坐标特点，先根据判断出该函数图象所在象限是解答此题的关键． 13．或 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的交点问题； 先求出点，的坐标，然后画出函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可． 【详解】解：把代入得：， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， 画出函数图象如图： 由函数图象可得：不等式的解集为或， 故答案为：或． 14．2.4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故答案为2.4． 15．3 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．先设，由直线轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数和的图象上，可得到A点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解∶ 设，由直线轴， ，两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数的图象上 当，． 即A点坐标为， 点B在反比例函数的图象上， 当，． 即B点坐标为． ． ． 故答案为∶3 16．(1)； (2) 【分析】（1）将点A代入反比例函数解析式中，可求出反比例函数解析式，再求两函数的交点即可； （2）设，，则，可求，再由A、C关于原点对称，可得，过B作轴，过点D作于点F，过点C作于点，，可证明，得到，则可求出，，进而得到，，再利用待定系数法求解即可． 本题考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得或 ∴； （2）解：设，， ∵点A和点B都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，即， 由反比例函数的对称性可得，A、C关于原点对称， ∴； 过B作轴，过点D作于点，过点C作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数，反比例函数图象的特点，交点的意义，函数值比较大小的方法，不等式的性质即可求解． （1）把图象的一个交点的横坐标为2代入一次函数，计算出交点坐标，再代入反比例函数即可求解； （2）根据题意联立方程组求出一次函数与反比例函数的交点，再根据反比例函数值大于一次函数的函数值，由此即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点的横坐标为2， 代入一次函数得，， 交点坐标为， 把代入反比例函数得，， ， 反比例函数解析式为； （2）解：由（1）得，反比例函数解析式为，函数图象经过第一、三象限， 联立方程组得，， 整理得， ∴ 解得，或， 一次函数与反比例函数的交点是，， 若当时，对于的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值， ， 解得，． 18．(1) (2) (3)减少，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据表格中变量的变化规律写出y与x之间的函数表达式，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． （1）根据表格中变量的变化规律解答即可； （2）当时，求出对应x的值即可； （3）根据反比例函数的增减性判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， 与x之间的函数表达式为 故答案为：； （2）解：当时，得， 解得， 当砝码的质量为时，托盘B与O点之间的距离为； （3）解：托盘中应减少砝码．理由如下： ，， 随x的增大而减小， 当托盘B向右移动时x增大， 托盘中的砝码质量y应该减小， 托盘中应减少砝码． 19．(1)； (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数交点问题的解法． （1）先将代入求出反比例函数解析式，再将代入，求出，将，代入，求解即可； （2）先求出，再利用求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入， 得：， ∴， 将，代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∴． 20．(1)，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）作轴于，作轴于，则，证明，求出；将代入可得；同理可得，从而可得，再利用待定系数法求解即可； （3）求得，结合勾股定理可得，设，，根据菱形的性质，分两种情况：当为对角线时，此时；当为边时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图：作轴于，作轴于，则， ， ∵在平面直角坐标系中点，， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即； 将代入可得：，即； 同理可得：， ∴，， ∴，即， 将代入可得：，即； （2）解：∵在平面直角坐标系中点，， ∴垂线为直线， 如图：作点关于垂线的对称点，连接，并延长交垂线于，连接， ， 由轴对称的性质可得：，， ∴， ∴当点、、在同一直线上时，的值最大，为， 由（1）可得， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）解：存在， 由（1）可得：，，， 当时，，即， ∴， 设，， ∵点C、E、M、N四点构成的四边形为菱形， ∴当为对角线时，此时， 则， 解得：，即， 当为边时， 同理可得：或， 解得：或， 此时或； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、反比例函数综合、菱形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$