精品解析：2025年北京市石景山区京源学校九年级中考数学零模试卷

2025年北京市石景山区京源学校中考数学零模试卷 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. -1 5. 不透明的袋子中装有个红球，个白球，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 国家统计局官网显示，2023年第一季度国内生产总值达284997亿元，比去年同一时期增长．数据28499700000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，已知，用尺规作它的角平分线．如图2 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线，于点D，E； 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧； 第三步：画射线，射线即为所求． 上述方法通过判定，得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 8. 如图，在中，，D、E是斜边上两点，将绕点A顺时针旋转，得到，若，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①② D. ①②④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 10. 分解因式_______． 11. 方程的解为________． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则______． 13. 某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对3000棵该品种树苗进行抽测．近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度（单位：），则估计此时该基地培育的3000棵“无絮杨”树苗中长势良好（树苗中高度不低于）的有________棵． 14. 如图，是的直径，是的弦，，则________°． 15. 如图，在正方形中，点E在上，于点F．于点G．若，，则是________． 16. 尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如下表： 演员1 演员2 演员3 演员4 演员5 演员6 演员7 演员8 节目A √ √ √ √ √ 节目B √ √ √ 节目C √ √ √ 节目D √ √ 节目E √ √ 节目F √ √ 从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序___________（只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可）． 三、解答题（共68分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，，分别是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元． （1）求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ （2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． （1）求该函数的解析式及点C的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，直接写出m的取值范围． 23. 某商场为了解甲、乙两个部门的营业员在某月的销售情况，分别从两个部门中各随机抽取了20名营业员，获得了这些营业员的销售额（单位：万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．设营业员该月的销售额为x（单位：万元），甲部门营业员销售额数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．甲部门营业员该月的销售额数据在这一组的是： 21.3 22.1 22.6 23.7 24.3 24.3 24.8 24.9 c．甲、乙两部门营业员该月销售额数据的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 甲部门 22.8 m 乙部门 23.0 22.7 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）在甲部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为． 在乙部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为． 比较的大小，并说明理由； （3）若该商场乙部门共有100名营业员，估计乙部门该月的销售总额． 24. 如图，是的直径，点，在上，平分． （1）求证：； （2）延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点．若，,求半径的长． 25. 如图，C是上的一定点，P是弦AB上的一动点，连接PC，过点A作AQ⊥PC交直线PC于点Q．小石根据学习函数的经验，对线段PC，PA，AQ的长度之间的关系进行了探究．（当点P与点A重合时，令AQ＝0cm） 下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）对于点P在弦AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PA，AQ的几组值，如表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 PC/cm 4.07 3.10 2.14 1.68 1.26 0.89 0.76 1.26 2.14 PA/cm 0.00 1.00 2.00 2.50 3.00 3.54 4.00 5.00 6.00 AQ/cm 0.00 0.25 0.71 1.13 1.82 3.03 4.00 3.03 2.14 在PC，PA，AQ的长度这三个量中，确定　 　的长度是自变量，　 　的长度和　 　的长度都是这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当AQ＝PC时，PA的长度约为　 　cm．（结果保留一位小数） 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； （2）如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 27. 如图，在中，，（）．将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线与直线的交点为点．在直线上截取（点在点右侧），将直线绕点顺时针旋转所得直线交直线于点． （1）如图1，当点与点重合时，补全图形并求此时的度数； （2）当点不与点重合时，依题意补全图2，用等式表示线段与的数量关系． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”． （1）如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____； （2）的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围； （3）若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网 组卷网 2025年北京市石景山区京源学校中考数学零模试卷 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判定即可： 【详解】解：A.是中心对称也是轴对称，不符合题意： B.是轴对称不是中心对称，不符合题意； C.是中心对称不是轴对称，符合题意： D.是中心对称也是轴对称，不符合题意： 故选：C 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿 对称轴折叠后可重合：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合. AB,CD 2.如图，直线 相交于点0， 0E1AB.若∠40C=32°，则∠E0D 的度数为() B 32° B 480 C 58o D 68° 第1页/共36页 6学科网命组卷网 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂直得到∠AOE=90°，平角的定义求出∠EOD的度数即可. 【详解】解：：OE⊥AB。 .∠AOE=90°」 .∠A0C=32°， ∠EOD=180°-∠AOC-∠AOE=58° 故选C 3.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是() -3-2-10123 A.a>-1 B.b>-a C.a+b<o D.ab0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的加法、实数的乘法运算，先由数轴得-2<a<-1<2<b,再运 算出a+b>0,ab<0,即可作答. 【详解】解：结合数轴得-2<a<-1<2<b, 故A选项不符合题意： 1-a<2<b 故B选项符合题意： 则a+b>0,ab<0. 故C选项和D选项不符合题意： 故选：B 第2页/共36页 6学科网命组卷网 4若关于*的一元二次方程”-4x+a=0 有两个相等的实数根，则实数4的值为() A.3 B.4 C.2 D.-1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程方程根的判别式.根据△=b2-4c=0,方程有两个相等的实根，即可 求解. 【详解】解：根据题意得，△=（4-4×a=0 解得，a=4, 故选：B 5.不透明的袋子中装有1个红球，1个白球，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回 并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是() 1 1 1 A.9 B.6 C.4 D.9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率.画树状图，共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结 果有1种，再由概率公式求解即可. 【详解】解：画树状图如下： 开始 红 白 红 白红白 共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种， 1 :.两次都摸到红球的概率是4， 故选：C 6.国家统计局官网显示，2023年第一季度国内生产总值达284997亿元，比去年同一时期增长4.5%.数 第3页/共36页 学科网组卷网 据28499700000000用科学记数法表示应为() A. 28.4997×102 B.2.84997×10l c2.84997×104 D.0.284997×104 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为ax10的形式，其中1≤4<10，为整数，确定n的值时，要看把原 数变成α时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时， n是正数，当原数绝对值小于I时n是负数；由此进行求解即可得到答案. 【详解】解： 28499700000000=2.84997×103 故选：B 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义， 7.如图1，已知∠ABC,用尺规作它的角平分线.如图2 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA,BC于点D,E: 第二步：分别以D,E为圆心，以b为半径画弧； 第三步：画射线BP,射线BP即为所求， E C E C 第一步 第二步 第三步 图1 图2 上述方法通过判定△BDP≌△BEP,得到∠DBP=∠EBP,其中判定△BDP≌△BEP的依据是() A.三边分别相等的两个三角形全等 B.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 第4页/共36页 命学科网命组卷网 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质.如图，连接PD,PE.根据“边边边”证明 三角形全等可得结论， 【详解】解：如图，连接PD,PE A A A D D P B E B E C B E 第一步 第二步 第三步 图1 图2 由作图知BD=BE,PD=PE, 在△PDB和△PEB中， BD=BE PD=PE BP=BP ·APDB≌aPEB(SSS) ∴.∠PBD=∠PBE,即BP平分∠ABC, 故选：A Rt△ABC中，MB=AC,D、B是斜边 上两点，将△1CD C 90° 8.如图， 点A顺时针旋转，得 到△ABF,若△AED≌△AEF,下列结论：①∠DAE=45°：②△ABD∽△EAF:③BE+CD=DE, ④BE2+CD2=DE 其中正确的是() B E A.①②③ B.②③④ C.①② D.①②④ 【答案】D 第5页/共36页 6学科网6组卷网 【解析】 ∠BAC=90°，∠ABC=∠C=45° 【分析】先求出 ，再根据旋转和全等的性质得到 ∠DAE=∠EAF=∠FAD=45 21 ，即可判断①：∠AFE=∠BDA,∠EAF=∠ABD=45°，即可 判断②；根据旋转和全等三角形的性质得到BF=CD,EF=DE,再根据三角形三边关系即可判断③； 证明∠EBF=∠ABF+∠ABC=90°，在RtABEF中，利用勾股定理和等量代换即可判断④. 【详解】解：在R1△ABC中，AB=AC :.∠BAC=90,LABC=∠C=450 ,将△ACD绕点A顺时针旋转90°，得到△ABF, ∠FAD=90° ,△AED≌AAEF .∠DAE=∠EAF= ∠FAD=45° 故①正确： ,△AED≌AAEF, ∴.∠AFE=∠BDA, 又：∠EAF=∠ABD=45°， ∴.△ABD∽△EAF, 故②正确： :将△ACD绕点A顺时针旋转90°，得到△ABF, .BF=CD 第6页/共36页 学科网列组卷网 :AAED≌AAEF, .EF=DE. 在△BEF中，BE+BF>EF, :BE+CD>DE 故结论③错误； :将△ACD绕点A顺时针旋转90°，得到△ABF, ·∠ABF=∠C=45°BF=CD :∠EBF=∠ABF+∠ABC=90° Rt△BEF中，BE+BF2=EF2 BE2+CD2=DE2 故结论④正确， 综上可知，正确的是①②④， 故选：D 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定、勾股定理、三角形三边关系、 等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 二、填空题（共16分，每题2分） 9若代数式Vx-l 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 【答案】x≥1 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可. 【详解】解：V√x-1 在实数范围内有意义， x-12≥0， 解得x21. 第7页/共36页 6学科网列组卷网 故答案为：x之1. 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0 10.分解因式 d3-4a= a(a+2)(a-2) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可 【详解】解：a-4a=a(a2-4)=a(a+2a-2) a(a+2)(a-2) 故答案为： 31 =0 11.方程x+2x的解为 【答案】x=1 【解析】 【分析】先将原分式方程转化为整式方程，解整式方程得到未知数的值后进行检验，即可得到原方程的解， 掌握解分式方程的方法是解题的关键. 3-1=0 【详解】解：x+2x 方程两边同时乘*(x+2）,得3x-(x+2)=0, 去括号，得3x-x-2=0, 合并同类项，得2x=2, 解得：x=1, 检验：把x=1代入x(x+2）,得11+2)=3≠0 第8页/共36页 命学科网 命组卷网 原分式方程的解为x=1. 12.在平面直角坐标系xOy中，若函数 y=(k≠0 的图象经过点(x,2)和(x,-2).则x+2=一 【答案】0 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的 限是解的关程，将点23：2人k02中得.可弱 x+的值. y-(k0) 【详解】解：函数x 的图象经过点(x,2)和(，-2）， 2= -2=k x1, X2, 22, 2, .x1+x2 2+(分=0， 故答案为：0. 13.某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对3000棵该品种树苗进行抽测.近期从中随 机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度x（单位：cm),则估计此时该基地培育的3000棵“无絮杨” 树苗中长势良好（树苗中高度不低于300cm)的有 棵 第9页/共36页 6学科网命组卷网 频数（棵） 36 36 数据分成5组： 32 150≤x<200 28 28 200≤x<250 24 250≤x<300 20 18 300≤x<350 16 350≤x<400 12 11 8 7 0 W150200250300350400 高度(cm) 【答案】1410 【解析】 【分析】本题考查由样本估计总体，熟练掌握由样本估计总体的计算方法是解决问题的关键.先计算出随 机抽测的100棵树苗中高度不低于300cm的占比，再乘3000棵，即可得出答案， 36+11 ×100%=47% 【详解】解：，随机抽测的100棵树苗中高度不低于300cm的占比为：100 ·.估计此时该基地培育的3000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有：3000×47%=1410（棵）， 故答案为：1410」 14如图，AB是⊙0 的弦，∠BAC=40°∠ADC= CD⊙O. 是 的直径， 是 ,则 O B 【答案】50 【解析】 【分析】连接BC,则由圆周角定理可以得到∠ADC∠ABC,再根据直径所对的圆周角是90度，得到 ∠ACB=90°，再根据∠BAC=40°即可求解. 【详解】解：如图所示，连接BC 第10页/共36页 6学科网 命组卷网 ∴.∠ADC=∠ABC AB是直径 ∴.∠ACB=90° ,∠BAC=40 .∴.∠ABC=180°-90°-40=50 ∴.∠ADC=∠ABC=50° 故答案为：50 B D 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键在于能 够熟练掌握相关知识进行求解 15.如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F.CG⊥DE于点G.若AD=I0, DG=6,则 是 G E B 27 【答案】2 【解析】 【分析】先结合正方形的性质，证明△CDG≌△DAF,得出AF=6,运用勾股定理得 第11页/共36页 学科网命组卷网 DF DF=VAD-AF=8'再证明AAFD∽AEFA'放S,B4 AF，代入数值计算，即可作答. 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， :MD=DC,∠ADC=∠DAE=900 ∴.∠ADF+∠CDF=90°， CG⊥DE,AF⊥DE, :∠DGC=∠AFD=∠AFE=90 ∴.∠ADF+∠DAF=90°， .∠CDF=∠DAF, .△CDG≌△DAF, .AF =DG. AD=10,DG=6, .AF DG=6. 在Rt△ADF中，DF=VAD2-AF2=V102-6=8 .∠DAE=90°， .∠AEF+∠ADF=90° :∠AFD=∠EFA=90° ∴.∠DAF+∠ADF=90°， ∴.∠DAF=∠AEF, :.△AFDAEFA, 第12页/供36页 学科网 命组卷网 SAFD S.EFA 1x6x8 9, 24×927 解得 S.EFA= 16 2, 27 故答案为：2 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正 确掌握相关性质内容是解题的关键， 16.尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演 出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如下表： 演员 演员 演员 演员 演员 演员 演员 演员 2 3 4 5 6 7 8 节目 Y 节目B √ 节目C √ 节目 D 节目E 节目F 从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目 分别是A,F,中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序 (只需按演出 顺序填写中间4个节目的字母即可)· 第13页/共36页 学科网 命组卷网 【答案】EBDC#ECDB 【解析】 【分析】根据题意，可先确定第二个节目为节目E,继而确定第三个节目和第五个节目的可能性，最后确 定了第四个节目，即可得到答案， 【详解】由题意得，首尾两个节目分别是A,F,节目A参演演员有1、3、5、6、8，节目F参演演员有 5、7, 由于从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出 故可先确定第二个节目为不含演员1、3、5、6、8的节目，即节日E: 第三个节目为不含2、7的节目，即节目B或C 第五个节目为不含5、7的节目，即节目B或C 所以，可确定第四个节目为节目D 综上，演出顺序为节目AEBDCF或AECDBF 故答案为：EBDC或ECDB(写一种即可)· 【点睛】本题考查了统计表、利用信息做出决策或方案，能够正确理解题意是解题的关键 三、解答题（共68分） 17计算： 8+|1-√21- 4sin45° 【答案】 V2-3 【解析】 【分析】此题考查了实数的有关运算，涉及了二次根式，三角函数以及负整数指数幂，解题的关键是掌握 相关运算法则 首先计算开方、特殊角的三角函数值及绝对值、负整数指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值是 多少即可 【详解】解： 4sin45° =22+2-1-2-4x2 第14页/共36页 学科网命组卷网 =2W2+√2-1-2-2W2 =√2-3 4(x-1)<2x 18.解不等式组： 5x+3 >x· 2 【答案】-1<x<2 【解析】 【分析】分别求解每一个不等式，然后找出它们的解集的交集即可.本题主要考查了一元一次不等式组的 解法，需要分别求出每个不等式的解集，然后取交集.熟练掌握一元一次不等式的解法以及解集的交集运 算是解题的关键， 4(x-1)<2x① 【详解】解： 5x+ 3>x② 2 解不等式①得x<2」 解不等式②得x>-↓ ∴原不等式组的解集为-1<x<2 3m+9n 19.已知m+3n-9=0,求代数式m2+6mn+9n2的值. 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据题意得到m+3=9,再把所求式子的分子和分母都分 解因式后约分化简，最后代值计算即可得到答案. 第15页/共36页 6学科网 组卷网 【详解】解：m+3n-9=0. .m+3n=9, 3m+9n ∴.m2+6mn+9n2 3(m+3n) (m+3n) 3 m+3n 3 9 1 3. 20.如图，在△ABC中，BC=2AB，,D、E分别是BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延 长线于点F D (I)求证：四边形ABDF是菱形： (2)若AB=4,∠B=60°，求AE的长. 【答案】(1) 证明：：点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴，DE是△ABC的中位线，BC=2BD, .DEWAB,DE=1AB 第16页/供36页 6学科网 组卷网 又：AF∥BC, ∴.四边形ABDF是平行四边形， BC=2AB,BC=2BD ∴.AB=BD, ∴平行四边形ABDF是菱形. (2)2V5 【解析】 1 【分析】(I)由三角形中位线定理可得 DE AB,DE-24B ,结合AF∥BC可证四边形ABDF是平 行四边形，再说明AB=BD即可证明结论： (2)如图，连接AD,由菱形的性质证△ABD是等边三角形，△AFD是等边三角形，根据等腰三角形三 线合一的性质可得 AE LDFFAE4F-302 ,即 ,然后由勾股定理求解即可， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接AD, B D :∠B=60°，四边形ABDF是菱形， .AB=BD=AF=DF=4. :.△ABD是等边三角形， ∴.AB=BD=AD=4. .AF=FD=AD=4. 第17页/供36页 6学科网6组卷网 ∴.△AFD是等边三角形， ∴.∠F=∠FDC=∠DAF=60° ,E是AC的中点， .AE=CE. ∠AEF=∠CED,∠F=∠FDC=60° :△AEF≌aCED(AAS) .DE=EF, :AE⊥DF,∠FAE=∠DAF=300 iEF=54R-2 .AE=VAF2-EF2=V42-22=2V5 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的性 质和判定、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键. 21.某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种 外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000 元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元. (1)求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ 4 (2)己知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的5，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷 任务所需时间多5小时.问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 【答案】(1)A种外墙漆每千克的价格为26元，则B种外墙漆每千克的价格为24元. (2)甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米. 第18页/供36页 命学科网组卷网 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键： （)设A种外墙漆每千克的价格为x元，则B种外墙漆每千克的价格为x一2)元， 再根据总费用为 15000元列方程求解即可： 4 V (2)设甲每小时粉刷外墙面积为y平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是5’平方米；利用乙完成粉刷任务 所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时.从而建立分式方程求解即可. 【小问1详解】 解：设4种外墙漆每千克的价格为x元，则8种外墙漆每千克的价格为(x-2)元， :300x+300(x-2)=15000 解得：x=26, .x-2=24, 答：A种外墙漆每千克的价格为26元，B种外墙漆每千克的价格为24元. 【小问2详解】 4 设甲每小时粉刷外墙面积为y平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是5平方米； 500-5=500 4 解得： y=25 经检验：少=25 原方程的根且符合题意， 答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米， 第19页/共36页 6学科网 命组卷网 2.在平面直角坐标系x0y中，函数y=c+bk≠0)的图象过点A0,1)和B(-,-),与过点0,7)且 平行于x轴的直线交于点C. (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值小于y=+b(k≠0)的值，直接写出m 的取值范围。 【答案】(1)y=2x+l,C(3,7) (2)2≤m≤3 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式和图象与系数的关系，数形结合是解答本题的关键. (①待定系数法求出一次函数解析式后令”=7时，x=3,得到点C坐标即可； y=mx (2)当直线 过点 ,3)时，m=3,当直线y=m与直线'=2x+1 x+1平行时，m=2,观察图象， 即可得到满足条件的m取值范围. 【小问1详解】 解：“函数'=+bk≠0)的图象过点40，D和B(-L,-) b=1 -k+b=-1, k=2 解得：b=1, y=2x+1 ,直线解析式为： ·函数少~2x+1 (0,7) 图象与过点 且平行于x牲的直线交于点C,且当)=7时，x=3, ∴.C(3,7) 【小问2详解】 第20页/供36页 6学科网 命组卷网 解：如图， 3 -3-2-y0123x B 2 y=2x+1/ y=2x+1=3 时， 当直线”=m过点3)时，m=3, 过点 y=mx y=2x+ 当直线 与直线 平行时，m=2 :当术<1 ，对于的每一个值，函 y=mx(m≠0) y=c+b(k≠0) 的值小于 的值， ∴.2≤m≤3 23.某商场为了解甲、乙两个部门的营业员在某月的销售情况，分别从两个部门中各随机抽取了20名营业 员，获得了这些营业员的销售额（单位：万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部 分信息 ā.设营业员该月的销售额为x(单位：万元)，甲部门营业员销售额数据的频数分布直方图如下（数据分 成5组：10≤x<15,15≤x<20,20≤x<25,25≤x<30,30≤x≤35)： 频数 P 8 5 4 2 0101520253035销售额万元 第21页/共36页 6学科网命组卷网 b.甲部门营业员该月的销售额数据在20≤x<25这一组的是： 21.322.1 22.623.7 24.324.324.824.9 C,甲、乙两部门营业员该月销售额数据的平均数、中位数如下： 平均数 中位数 甲部门 22.8 m 乙部门 23.0 22.7 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m的值： (2)在甲部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为？ 在乙部门抽取的营业员中，记该月销售额超过23.0万元的人数为片 比较”，乃的大小，并说明理由： (3)若该商场乙部门共有100名营业员，估计乙部门该月的销售总额. 【答案】(1)24.0 (2) 解：乃>乃；理由如下： 由甲部门抽取的营业员该月的销售额的数据可知？=1Ⅱ ,在乙部门抽取的20名营业员该月销售额数据的中位数是22.7万元， 小于23.0万元， :h≤10 %>乃 (3)2300万元 【解析】 【分析】(1)将甲部门营业员该月的销售额从小到大进行排序，找出排在第10位和第11位的数据，求其 第22页/供36页 6学科网6组卷网 平均数即可： (2)根据甲部门抽取的营业员该月的销售额的数据可知 %=11 ；根据乙部门调查数据的中位数，推算出 n2≤10 ,即可得出结论： (3)根据乙部分的平均数估计乙部门该月的销售总额即可. 【小问1详解】 解：，将甲部门营业员该月的销售额从小到大进行排序，找出排在第10位的是23.7，第11位的是24.3， m= 23.7+243=24.0 中位数 2 【小问2详解】 略 【小问3详解】 估计乙部门该月的销售总额约为：23.0×100=2300（万元）. 【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，以及应用中位数作出判断，根据平均数估计总数，熟练掌 握求偶数个中位数时，需要求中间两个数的平均数，是解题的关键 24如图，1B是O0 点C.D在o0上.OD平分∠A0C 的直径，点， D (1)求证：OD/BC: (②延长D0文O0于点B,连接CE交9 CE OBF B,⊙O 于点，过点”作的切线交 DE的延长线于点P.若 D OF 5 BF6,PE=2,求⊙O半径的长. 第23页/共36页 6学科网 命组卷网 【答案】(1)证明：如图，连接AC交OD于H, AB⊙O 3是 的直径， ∴∠BCA=90° :OD∠AOC 平分 .∠AOD=∠COD」 .AD=CD ∴.OD⊥AC ∴.∠OHA=90° ∴.∠OHA=∠BCA .OD∥BC (2)3. 【解析】 【分析】(1)连接AC交OD于H,根据直径所对的圆周角是直角可得∠BCA=9O°，根据角平分线的 定义得到∠AOD=∠COD 根据弧与圆心角的关系可得D=D OD⊥AC 根据垂径定理可得 根据 平行线的判定定理可得OD∥BC: 第24页/供36页 6学科网6组卷网 OE OF 5 (2)易证得△OEF∽△BCF,根据相似三角形的性质得到BCBF6,设OE=5x,BC=6x, OH=1BC=3x 根据三角形的中位线定理可求得 2 根据切线的性质得到∠OBP=90°，然后可证得 △POBAAOH ⊙0 ,根据相似三角形的性质可得到关于的一元二次方程，解之，即可求出半径的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：OE∥BC. ∴.△OEF∽ABCF OE OF 5 BC BF6, 设OE=5rBC=6r :OA=OCOD⊥AC ,且 ∴.AH=CH, 又.OA=OB. OH=BC=x6x=3x :PB是O0 的切线， ∴.∠OBP=90° ∴.∠OBP=∠OHA 第25页/供36页 6学科网 命组卷网 又∠POB=∠AOH, ∴.△POB∽AAOH .Po OB AO OH, :5r+2_5x 5x 3x 3 解得：x=5或x=0(不合题意，故舍去)， :0B=5x=5×2=3 5 ∴.⊙0 3 半径的长为. 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，角平分线的定义，弧与圆心角的关系， 垂径定理，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，三线合一，三角形的中位线定理，切线的性质，因 式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握垂径定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键， 25.如图，C是AB上的一定点，P是弦AB上的一动点，连接PC,过点A作A01PC交直线PC于点Q 小石根据学习函数的经验，对线段PC,A,AQ的长度之间的关系进行了探究.（当点P与点A重合时， 令AQ=0cm) 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)对于点P在弦AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC,A,AQ的几组值，如表： 位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置 2 3 4 5 6 个 8 9 PC/ 4.07 3.10 2.14 1.68 1.26 0.89 0.76 1.26 2.14 cnL PAI 0.00 1.00 2.00 2.50 3.00 3.54 4.00 5.00 6.00 cnL 第26页/供36页 学科网命组卷网 AO 0.00 0.25 0.71 1.13 1.82 3.03 4.00 3.03 2.14 cnL 在PC,PA,AQ的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是 这个自变量的函数： (2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象： (3)结合函数图象，解决问题：当AQ=PC时，A的长度约为 c.(结果保留一位小数) ◆y/cm 3 B x/cm 【答案】(1)PA、PC、AQ: (2)依据表格中的数据描点、连线即可得： ◆y/cm x/cm (3)2.8或6.0（答案不唯一）， 【解析】 【分析】(1)根据变量的定义即可求解： (2)依据表格中的数据描点、连线即可得； (3)两函数图象交点的横坐标即为所求， 【详解】(1)根据变量的定义，AP是自变量，PC、AO是因变量，即PC、AQ是AP的函数， 故答案为：PA、PC、AO: (2)略 第27页/共36页 命学科网命组卷网 (3)当AQ=PC时，即为两个函数图象的交点， 从图上看，交点的横坐标大约为2.8cm或6.0cm, 故答案为：2.8或6.0（答案不唯一）. 【点睛】考查了动点问题、函数作图等知识，解题关键是理解题意，学会利用图象法解决问题， 26在平面直角坐标系x0中，已知抛物线y=r'-2ax(a≠0)】 (1)当a=2时， ①求该抛物线的对称轴： ②点4(-Lm)和B(3,川小是抛物线上的两点，直接写出加和n的大小关系： (2)如果点M(,)和N(,乃)是抛物线上的两点，且对于=3和，5≤x≤6，都有片<为，求a 的取值范围。 【答案】(1)x=2,m>n: 0<a< (2)a<6或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、因式分解、解不等式等知识点是 解题关键， (1)①将a=2代入即可求出该抛物线的对称轴： ②根据二次函数的性质即可求解： (2)因为a不确定，所以要分类讨论，根据a>0和a<0分两种情况讨论，再根据范围取舍即可， 【小问1详解】 解：①将a=2代入得y=2r2-8x 8 :该抛物线的对称轴为直线=2×22 第28页/共36页 命学科网 命组卷网 即该抛物线的对称轴为直线x=2; ②.a=2>0. ∴，该抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， …2+1>3-2 ..m>n: 【小问2详解】 :抛物线y=a2二2ax的对称轴为直线ts、) -=a 2a 分两种情况： ①当a>0时，￥=3a>a>0.M(:,)在对称轴右侧. x=a M 当M(x,乃)和N(名乃)是都在对称轴右侧，此时'随x增大而增大， 对于=30,5≤≤6，都有片<乃 .x<x23a<5 5 .∴.a< 3: wO<a< 当N(:,少）在对称轴左侧时，N(:,少）关于对称轴的对称点 2a-x2,y2 在对称轴右侧， 此时y随x增大而增大， 第29页/供36页 命学科网命组卷网 :5≤5≤6 .2a-6≤2a-x2≤2a-5 :对于与=30,5≤6≤6，都有乃<乃. <2a-￥，即3a<2a-6, ∴.a<-6 a>0, ∴.此时没有符合条件的a存在： .5 0<a< 综上分析可知：此时 3； ②当a<0时，x=3a<a<0,M(:,)在对称轴左侧， x=a M M(,）在对称轴左侧，V(,少）在对称轴右侧， 点M(3a,少）关于对称轴的对称点M'(-a,y)在对称轴右侧， 在对称轴右侧，y随x增大而减小， :对于=3a.5≤为2≤6 都有出<乃 ∴.-a>6 .a<-6 第30页/供36页 6学科网 命组卷网 5 0<a< 综上，a的取值范围为a<-6或 3 27.如图， Ri△MBC中∠ACB=90°.∠BMC=a0°<u<30°).将射线4B绕点A顺时针旋 中， 转2得到射线I,射线l与直线BC的交点为点M.在直线BC上截取MD=AB(点D在点M右侧)， 将直线DM绕点D顺时针旋转2C所得直线交直线AM于点E. M B(D)C 图1 图2 (1)如图1，当点D与点B重合时，补全图形并求此时∠AED的度数： (2)当点D不与点B重合时，依题意补全图2，用等式表示线段ME与BC的数量关系. 【答案】(1) 补全图形见图： E M B(D)C 图1 72 (2) 补全图形如图： 第31页/供36页 6学科网组卷网 D 图2 ME=2BC 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质.关键是添加辅助 线构造全等三角形，找到线段的等量关系， (1)当点D与点B重合时，△ADM是等腰三角形，等边对等角，∠AMD=∠BAM=2, ∠ACB=90° ∠BAC ,可求 的度数.∠AED=∠AMD+∠MDE,可求∠AD 的度数. (2)在BC的延长线上截取CF=BC,连接AF,以点B为圆心，BF为半径作弧，交AF于点N,连 接BN,BN=BF=2BC,证明△DME≌△ABN(AAS)可得ME=BN,即可得到ME和BC的等量 关系 【小问1详解】 解：点D与点B重合，MD=AB,∠BAM=2C, ∴.∠AMD=∠BAM=2a, 在Rt△ABC由，∠ACB=90 中， .∠AMD+∠MAC=90°. .∠BAC=a, .∠AMD+∠BAM+∠BAC=5=90°. 第32页/供36页 学科网列组卷网 aw=18°， .∠MDE=2a, .∠AED=∠AMD+∠MDE=2a+2a=4x=72°： 【小问2详解】 解：ME=2BC,理由如下： 如图，在BC的延长线上截取CF=BC,连接AF,以点B为圆心，BF为半径作弧，交AF于点N, 连接BN, .CF=BC,∠ACB=90° .AB=AF, .∠BAN=2∠BAC=2a, .∠MDE=2a, .∠MDE=∠BAN=2a, ,在等腰△ABF中，∠F=90°-C, BN=BF. :.∠BNF=∠F=90°-a, 在Rt△AMC中，∠M=90°-∠MAC=90°-3a. :.∠AED=∠M+∠MDE=(90°-3a)+2a=90°-a .∠AED=∠BNF. 第33页/供36页 6学科网 组卷网 .∠BNA=∠MED, DM=AB, :△DME≌aABN(AAS) :ME=BN. ..BN=BF, .ME=BF=2BC xOy,⊙0 PO P2.⊙0 28.在平面直角坐标系 中， 的半径为1.对于线段给出如下定义：若线段 与 有两个 交点M,N,且PM=MN=9,则称线段P吧是⊙0的“倍弦线”. y 备用图 A,B,C,D (1)如图，点1 中，⊙0 的横、纵坐标都是整数，在线段1B,CBCD 的“倍弦线”是 (2)O0的“倍弦线”P№与直线r=2交于点E,求点E纵坐标'的取值范围： (3若00 的“倍弦线心过点几，0).直线”=x+6与线段P9有公共点，直接与出力的取值范围 b 【答案】(I)AB、CD: (2)5≤ysV5 (3)-2-2≤b≤1+2V2 第34页/共36页 命学科网命组卷网 【解析】 【分析】本题是新定义阅读题，考查了理解能力，与圆的位置关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是 几何直观能力，数形结合. (1)根据定义验证可得结果； (2)根 P吧最大值为6，所以以0为圆心，3为半径面圆，根据勾服定理求得BF,进而求得结果： （3)以2,0为圆心，1为半径作圆，直线”=+b与圆相切，此时b=-2-2,以-，0为圆心，2 y=x+b h 为半径作圆，直线 与圆相切，求得，进而求得结果. 【小问1详解】 解：如图1， 图1 AF=FH=BH=2 CG=GF=DF=2 ∴ABCD⊙O 是 的“倍弦线”， AIAE2 :BC与⊙0不相交，D=BH3, BC和4D不是 ⊙0 的“倍弦线”， 故答案为：AB、CD 【小问2详解】 解：如图2， 第35页/共36页 6学科网命组卷网 图2 以O为圆心，3为半径画圆交直线x=2于E和E, :EF=V0E2-0F2=V32-22=V5 ·-5≤ye≤V5 【小问3详解】 解：如图3， AY=x+b1 yEx+b2 图3 以0-1,0)为圆心，2为半径国圆0，直线'=x+6与°相切， 此时4=2V2+1 以02,0)为圆心，1为半径作⊙0，直线'=x+么与⊙0相切， 此时6=-2-V2 ∴.-2-√2≤b≤1+2W2 第36页/共36页