3.3勾股定理的简单应用（3知识点+11题型+课后练习）同步讲义-2025-2026学年八年级数学上册苏科版（2024）

第3章 勾股定理 3.3勾股定理的简单应用 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 1. 熟练运用勾股定理解决简单的实际生活问题，提升应用数学知识的能力。 1. 学会通过构建直角三角形模型，将实际情境转化为数学问题，增强数学建模思维。 一：勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解. 【技巧点拨】勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 二：勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。 ②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 【技巧点拨】勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 三：勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决。 【技巧点拨】勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）； （ 为正整数）； 考点一：勾股定理与网格问题 1．如图是由边长都是1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中，，是网格中的三个格点，点为线段的中点，连接，则（    ） A．2 B． C．3 D． 2．如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点都在格点上，边上的高为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在单位长度为1的的网格中，，，，，，各点都在格点上，其中能代表长为，的两线段是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点二. 勾股定理与折叠问题 5．已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．如图，在直角中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的面积为（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 7．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 考点三.求旗杆高度（勾股定理的应用） 9．强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（   ）m． A．12 B．13 C．17 D．18 10．图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中于点，尺，尺，则的长度为（    ） A．3尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.25尺 11．为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 12．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8米处（米），升起云梯到火灾窗口．已知云梯的长为17米，云梯底部距地面的高米，则发生火灾的住户窗口距离地面的高为（    ） A．19.5米 B．17.5米 C．15米 D．16.5米 考点四.求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 13．如图，一架靠墙摆放的梯子长10米，底端离墙角的距离为6米，则梯子顶端离地面的距离为（   ）米 A．8 B．7 C．6 D．5 14．如图，一架靠墙摆放的梯子长15米，底端离墙脚的距离为9米，则梯子顶端离地面的距离为（    ）米 A．15 B．12 C．10 D．6 15．一架长5米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端3米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米，那么梯足将滑（   ） A．0.5米 B．0.75米 C．1米 D．2米 16．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 考点五.求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 17．如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 18．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 19．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 20．如图，有两棵树，一棵树高15米，另一棵树高10米，两棵树相距12米，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢至少要飞（   ） A．13米 B．12米 C．10米 D．5米 考点六.求大树折断前的高度（沟股定理的应用） 21．如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面处折断，大树顶部落在距离大树底部处的地面上．则这棵树折断之前的高度（    ） A． B． C． D． 22．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 23．如图，一根垂直于地面的木杆在一次强台风中于离地面处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端处的地面上，这根木杆在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 24．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者几何？”翻译成数学问题是：“如图，在中，，，求的长”．若设，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 考点七.解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 25．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（   ） A． B． C． D． 26．如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．如图，将一支筷子放入杯中（杯子厚度忽略不计），已知筷子的长度为，杯子底部直径为，杯子高为，则筷子露出杯口部分长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 28．如图，一根长的吸管置于底面直径为，高为的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度可能是（    ）． A． B． C． D． 考点八.解决航海问题（勾股定理的应用） 29．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（　　） A．20海里 B．40海里 C．35海里 D．30海里 30．一艘船由A港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则A，两港之间的距离为（   ） A． B． C． D． 31．一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以的速度从港口A出发向东南方向航行．离开港口后，两船相距（   ） A． B． C． D． 32．如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（    ）海里/小时 A． B． C．40 D．20 考点九.求河宽（勾股定理的应用） 33．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 34．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 35．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ）． A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 36．如图，池塘边有两点A、B，点是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离是（    ）. A． B． C．30 D．70 考点十.求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 37．某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 38．如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 39．如图，在高2米，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长需（　　）米． A． B．2 C． D． 40．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（    ）    A． B． C． D． 考点十一.判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 41．滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 42．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 一、单选题 1．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的顶点均在格点上，则四边形的边长为整数的边是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．如图，图中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点上，则其三边的大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 3．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 4．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．则小明算出旗杆的高度为（    ） A．10米 B．12米 C．13米 D．15米 5．把5长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4，则梯子顶端到地面的距离（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，有两棵树和（都与水平地面垂直），树高8米，树梢D到树的水平距离（）的长度为8米，米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（    ） A．10米 B．9米 C．8米 D．7米 7．如图，一根筷子放在圆柱形水杯里，水杯底面直径为，高度为，筷子长为，露在水杯外面的筷子长度为，则a最小为（    ） A．12 B．11 C．14 D．13 8．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（   ） A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里 9．小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 10．如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点S的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为 12．如图，一棵大树在离地面 处折断，树的顶端落在离树干底部处，那么这棵树折断部分的长度是 13．如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高 ． 14．如图，若圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，高，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是 ． 15．如图①所示，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，则小鸟至少飞行了 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 勾股定理 3.3勾股定理的简单应用 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 1. 熟练运用勾股定理解决简单的实际生活问题，提升应用数学知识的能力。 1. 学会通过构建直角三角形模型，将实际情境转化为数学问题，增强数学建模思维。 一：勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解. 【技巧点拨】勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 二：勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理 如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。 ②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 【技巧点拨】勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 三：勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决。 【技巧点拨】勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）； （ 为正整数）； 考点一：勾股定理与网格问题 1．如图是由边长都是1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，其中，，是网格中的三个格点，点为线段的中点，连接，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，由网格线的特征得是直角三角形，且，利用勾股定理求出，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由网格线的特征得是直角三角形，且， ∵， ∴， ∵点为线段的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 故选：B． 2．如图，在用个边长均为的小正方形构成的网格图中，的顶点均在格点上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用；观察网格图形，通过勾股定理计算得，；由判定全等；利用全等三角形对应角相等得，． 【详解】解：连接、． 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点都在格点上，边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，求一个数的算术平方根，三角形面积计算，熟记勾股定理是解题的关键．根据三角形面积公式求出的面积，然后根据勾股定理求出，再设边上的高为h，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：根据题意得，， 根据勾股定理得：， 设边上的高为h，则， 即， 解得：． 故选：C． 4．如图，在单位长度为1的的网格中，，，，，，各点都在格点上，其中能代表长为，的两线段是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，网格中单位长度为1，再根据勾股定理即可求出每个线段的长度． 【详解】解：根据网格可知，， ， ， ， ， 故选：A． 考点二. 勾股定理与折叠问题 5．已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，在直角中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的面积为（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，掌握翻折的性质是解题的关键，首先根据勾股定理求出的长，然后利用折叠的性质求出的长，在中，设，则，根据勾股定理求出x的值即可，即可求解． 【详解】解：，，， ， 根据折叠的性质，，， 在中，设，则，根据勾股定理得 解得 ， 的面积， 故选：． 7．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、勾股定理是解题的关键．由题意易得，由折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意，得， 由翻折的性质得， 设，则， 在直角三角形中，， 即， 解得， ∴， ∴． 故选：C． 8．如图是长方形纸片，已知，现将纸片折叠，使点D落在边上的点M处，且，折痕为，则的长为（   ） A．1 B．2 C．2.5 D．1.5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、折叠性质，过点作于点，设，利用折叠性质，结合已知条件可得，，，在中，利用勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 设，则，，， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 故选：B． 考点三.求旗杆高度（勾股定理的应用） 9．强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（   ）m． A．12 B．13 C．17 D．18 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的正确应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．旗杆的长，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，， 所以旗杆折断之前高度为． 故选：D． 10．图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中于点，尺，尺，则的长度为（    ） A．3尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.25尺 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．设的长度为尺，则尺，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的长度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长度为3.75尺， 故选：B． 11．为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（    ） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴， 在中，米，米。 ∴， 米 ， 故选：A． 12．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅8米处（米），升起云梯到火灾窗口．已知云梯的长为17米，云梯底部距地面的高米，则发生火灾的住户窗口距离地面的高为（    ） A．19.5米 B．17.5米 C．15米 D．16.5米 【答案】D 【分析】本题考查利用勾股定理解实际问题，在中，由勾股定理求出，由求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，结合题意，米，米，米， 在中，，则由勾股定理可得（米）， 米， 故选：D． 考点四.求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 13．如图，一架靠墙摆放的梯子长10米，底端离墙角的距离为6米，则梯子顶端离地面的距离为（   ）米 A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，梯子顶端离地面的距离为米， 故选：A． 14．如图，一架靠墙摆放的梯子长15米，底端离墙脚的距离为9米，则梯子顶端离地面的距离为（    ）米 A．15 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：梯子顶端离地面的距离为：（米）， 故选：B． 15．一架长5米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端3米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米，那么梯足将滑（   ） A．0.5米 B．0.75米 C．1米 D．2米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先在中，利用勾股定理得到，再求出，接着利用勾股定理求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴梯足将滑1米， 故选：C． 16．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先根据题意可得，，，，再设，则，利用勾股定理求出，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴， 设，则， ∴，， 又∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 考点五.求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 17．如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：C． 18．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 19．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键． 先构建直角三角形，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：设高的那棵树用表示，低的那棵树用表示，过点C作于点E，连接，如图所示： 由题意得：米，米，米，， ∴米， 在中，由勾股定理得：（米）； 故选：C． 20．如图，有两棵树，一棵树高15米，另一棵树高10米，两棵树相距12米，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢至少要飞（   ） A．13米 B．12米 C．10米 D．5米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，如图所示，为树，且，为两树距离12米，过C作于E，则，，在直角三角形中利用勾股定理即可求出． 【详解】解：如图所示，为树，且，为两树距离12米， 过C作于E，则，， 在直角三角形中， ． 故选：A． 考点六.求大树折断前的高度（沟股定理的应用） 21．如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面处折断，大树顶部落在距离大树底部处的地面上．则这棵树折断之前的高度（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，画出图形，由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，由题意得：，，， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ∴， 即这棵树折断之前的高度为， 故选：B． 22．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设竹子折断处离地面的高度尺．根据图形并结合勾股定理即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设竹子折断处离地面的高度尺． 由题意可得：， 故选：C． 23．如图，一根垂直于地面的木杆在一次强台风中于离地面处折断倒下，木杆顶端落在距离木杆底端处的地面上，这根木杆在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设折断部分的高度为，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设折断部分的高度为， 由勾股定理，得：， 木杆折断之前的高度为：． 故选：C． 24．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者几何？”翻译成数学问题是：“如图，在中，，，求的长”．若设，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．领会数形结合的思想的应用．设，可知，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵在中，，， ∴，即． 故选：C． 考点七.解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 25．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，分别考虑两种极端情况，问题即解决． 利用勾股定理可求得铅笔在笔筒内最长的长度，得出铅笔露出笔筒部分的最小长度；求出当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案． 【详解】铅笔在笔筒内最长时，由勾股定理得：， 则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：； 当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为， 即铅笔在笔筒外面最长不超过， 所以铅笔露出笔筒部分的长度不短于，不超过． 所以前三项均符合题意，只有D选项不符合题意； 故选：D． 26．如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱的性质，勾股定理的实际应用，解题关键是掌握勾股定理． 根据图形分析出最长、最短时的位置，分别求出的长，从而可得出的取值范围． 【详解】解：当吸管与圆柱母线平行时，最长， 此时()； 当吸管与圆柱的轴截面的对角线重合时，最短， ∴，解得：或（舍去）， ∴的取值范围是， 故选：B． 27．如图，将一支筷子放入杯中（杯子厚度忽略不计），已知筷子的长度为，杯子底部直径为，杯子高为，则筷子露出杯口部分长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，结合图象先求出筷子在杯子里面的部分，即可计算得出结论． 【详解】解：如下图，当筷子斜放在杯中时，筷子露出杯口部分长度最小， 由题意得：， ， 则筷子露出杯口部分长度的最小值为， 故选：D． 28．如图，一根长的吸管置于底面直径为，高为的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出吸管露在杯子外面的长度的最短距离，再求出吸管露在杯子外面的长度的最长距离，进而可得出结论． 【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，吸管露在杯子外面的长度最短， 此时， 故吸管露在杯子外面的长度的最短距离； 当吸管垂直杯子底面时，吸管露在杯子外面的长度为， 即吸管在杯子外端的长度范围是， 因此只有选项B符合题意． 故选：B． 考点八.解决航海问题（勾股定理的应用） 29．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（　　） A．20海里 B．40海里 C．35海里 D．30海里 【答案】B 【分析】此题考查勾股定理的应用，方向角，解题关键在于画出图形利用勾股定理进行计算． 根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别行驶的距离．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了海里，海里， 根据勾股定理得：(海里)． 故选：B． 30．一艘船由A港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则A，两港之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用—方位角问题、直角三角形的判定与性质，先根据方位角判断三角形的形状，然后利用勾股定理计算是解此题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得： ， ，， ， ， 在中，，， ， ∴A，C两港之间的距离为． 故选：A． 31．一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以的速度从港口A出发向东南方向航行．离开港口后，两船相距（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设两个小时后两船的位置分别为、，由方向角得出；再由时间与速度之间的关系得出，然后运用勾股定理求的长，即可完成解答． 【详解】解：如图所示，设后两船的位置分别为、， 则， ， 即后，两船相距． 故选：C． 32．如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（    ）海里/小时 A． B． C．40 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，掌握直角三角形的性质，等角对等边是解题的关键． 过点A作于点D，则，根据海里，得，在中，根据勾股定理得海里，根据，得，根据海里，得海里，可得海里，即可得行驶速度． 【详解】解：如图所示，过点A作交于点D， ∴， ∵海里， ∴在中，海里， （海里）， ∵，， ∴， ∵， ∴海里， ∴海里， 则该船行驶的速度为：（海里/小时）． 故选：B 考点九.求河宽（勾股定理的应用） 33．如图，某人欲渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的B点，结果他在水中实际游了，则该河的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度． 【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：． ∴该河流的宽度为． 故选：C． 34．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故选：D． 35．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ）． A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴该河的宽度为24米． 故选：D． 36．如图，池塘边有两点A、B，点是与方向成直角的方向上一点，测得，，则A，B两点间的距离是（    ）. A． B． C．30 D．70 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键． 根据题意直接运用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理得：． 故选：A． 考点十.求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 37．某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后，即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解：如图，由题意得： ， ， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． 38．如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度 ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是（m）． 故选B． 39．如图，在高2米，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长需（　　）米． A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用．地毯的竖直的线段加起来等于，水平的线段相加正好等于，即地毯的总长度为． 【详解】解：如图，在中，，，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 40．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选C． 考点十一.判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 41．滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 【答案】没有超速，理由见详解 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 利用勾股定理求出然后求出速度进行比较即可． 【详解】解：根据题意得，由勾股定理得， ∴小车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车没有超速． 42．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 一、单选题 1．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的顶点均在格点上，则四边形的边长为整数的边是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查网格中求边长，勾股定理．根据网格图及勾股定理，即可解答． 【详解】解：由题意及图，得 ，，， ∴四边形的边长为整数的边是和． 故选B． 2．如图，图中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点上，则其三边的大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，无理数的大小比较．根据勾股定理分别求出三边的大小，再比较，即可． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：A 3．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：B． 4．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．则小明算出旗杆的高度为（    ） A．10米 B．12米 C．13米 D．15米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确列出方程，再求解．设旗杆长为x米，则绳长为米，根据勾股定理即可列方程求解． 【详解】解：设旗杆长为x米，则绳长为米，则由勾股定理可得： ， 解得， 答：旗杆的高度为12米． 故选：B． 5．把5长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4，则梯子顶端到地面的距离（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理． 根据勾股定理，将梯子、地面和墙面构成的直角三角形中的已知边长代入公式求解． 【详解】解：梯子斜靠于墙时，与地面和墙面形成直角三角形．梯子长度5米为斜边，底端离墙4米为一条直角边． 设梯子顶端到地面的垂直距离为米， 由勾股定理得： （米） 因此，梯子顶端到地面的距离为3米， 故选：B． 6．如图，有两棵树和（都与水平地面垂直），树高8米，树梢D到树的水平距离（）的长度为8米，米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（    ） A．10米 B．9米 C．8米 D．7米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵树高8米，米， ∴米， ∵米， ∴米， 故选A． 7．如图，一根筷子放在圆柱形水杯里，水杯底面直径为，高度为，筷子长为，露在水杯外面的筷子长度为，则a最小为（    ） A．12 B．11 C．14 D．13 【答案】A 【分析】要使露在水杯外面的筷子长度最小，那么筷子在水杯内的长度应最长，此时筷子在水杯内的长度可看作是底面直径与高构成的直角三角形的斜边，利用勾股定理求出此斜边长度，再用筷子总长度减去该长度即可得到的最小值． 【详解】解：根据勾股定理（其中为直角三角形斜边，、为两直角边）， 水杯底面直径，高度， 筷子在水杯内的最长长度， 筷子长， 露在水杯外面的筷子长度为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，关键是理解当筷子在水杯内长度最长时（即构成直角三角形斜边时），露在外面的长度最小． 8．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（   ） A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，勾股定理的运用，理解方位角的意义，掌握勾股定理的计算是解题的关键．根据方位角可得，由勾股定理即可求解． 【详解】解：“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行， ∴， ∴， ∵“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里，它们离开港口小时， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， 故选：C． 9．小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键． 直接由勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得，小明向正东方向走了 故选：B． 10．如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点S的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，圆柱的侧面展开，先把侧面展开，得到一个矩形，然后再利用两点间线段最短，利用勾股定理求出长． 【详解】解：展开后矩形的长为，高为， 所以利用勾股定理可得最短距离为． 故选：A． 2、 填空题 11．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为 【答案】 【详解】解：由题意得 ， ， 设到线段的距离为， ， ， 解得：； 故答案为：． 12．如图，一棵大树在离地面 处折断，树的顶端落在离树干底部处，那么这棵树折断部分的长度是 【答案】/10米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：设这棵树折断部分的长度为，由图得， （）， 故答案为：． 13．如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高 ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解决问题的关键． 根据题意，，利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，圆形水杯半径为2.5， ∴，， ∴水杯的高． 故答案为：12． 14．如图，若圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，高，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用——最短路径问题，根据圆柱侧面展开图，利用勾股定理计算出的长即为最短距离． 【详解】解：圆柱体的底面周长为，高， 把圆柱侧面沿展开，得到长方形，如图， ， ， 故答案为：． 15．如图①所示，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，则小鸟至少飞行了 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理解决实际问题，根据题意，画出示意图，如图②所示，其中表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示，则，其中，则．在中，由勾股定理，得．即可求得，从而得到答案，读懂题意，构造直角三角形，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示： 则， ， ， 在中，，由勾股定理得， 则小鸟至少飞行了 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$