精品解析：山东省聊城临清市第一中学2024-2025学年八年级下学期第一次学情调研数学试题

2024-2025学年第二学期第一次学情调研 八年级数学试卷 时间：130分钟 分值：150分 一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列各数：，0，，，，0.101001000100001，中，无理数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 在下列结论中，正确的是（　　） A. B. x2的算术平方根是x C. ﹣x2一定没有平方根 D. 的平方根是 3. 一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9，内壁高为12，若铅笔的长为20，则这只铅笔露在笔筒外面的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在一组对边平行的四边形中，增加下列条件中的哪一个条件，这个四边形是矩形（　　） A. 另一组对边相等，对角线相等 B. 另一组对边相等，对角线互相垂直 C. 另一组对边平行，对角线相等 D. 另一组对边平行，对角线互相垂直 5. 的三边长a，b，c满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 6. 若与是同一个数的两个不同的平方根，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 7. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 8. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若OA=4，S菱形ABCD=24，则OE的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 10. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则对四边形EFGH表述最确切的是（　　） A. 四边形EFGH是矩形 B. 四边形EFGH是菱形 C. 四边形EFGH是正方形 D. 四边形EFGH是平行四边形 11. 如图，△OAB的顶点O、A、B的坐标分别是（0，0）（3，0），（1，1），下列点M中，O、A、B、M为顶点的四边形不是平行四边形的是（ ） A. （1，﹣1） B. （2，﹣1） C. （﹣2，1） D. （4，1） 12. 如图，以的三边为边分别作等边、、，则下列结论：①①；②四边形为平行四边形；③当时，四边形是菱形；④当时，四边形是矩形．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 13. 的算术平方根是______． 14. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=3，BC=5，则OA的取值范围为__． 15. 如图，D是内一点，，，E，F，G，H分别是，，，的中点，则四边形的周长_____． 16. 如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为______________． 17. 已知两点在同一条数轴上，点对应的数为，点对应的数为，以为边作正方形，以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴的交点对应的数为_________． 18. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形．其中，正确的有_________（只填写序号）． 三、解答题（本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 求下列各式中的： （1） （2）． 21. 已知：的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分．求的平方根． 22. 如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 23. 如图，已知点，在平行四边形的对角线上，且．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 24. 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 25. 如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当 时，四边形是平行四边形； （2）在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期第一次学情调研 八年级数学试卷 时间：130分钟 分值：150分 一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列各数：，0，，，，0.101001000100001，中，无理数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数，求一个数的算术平方根，根据“无限不循环的小数是无理数”判断求解． 【详解】解：， 则无理数有，共2个， 故选：A． 2. 在下列结论中，正确的是（　　） A. B. x2的算术平方根是x C. ﹣x2一定没有平方根 D. 的平方根是 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐项进行判断． 【详解】A选项：，故错误； B选项：当x为负数时，它的算术平方根为-x，故错误； C选项：-x2，当x=0时，平方根为0，故错误； D选项：的平方根是，正确； 故选：D. 【点睛】考查了平方根与算术平方根，解题的关键正确理解平方根和算术平方根的定义． 3. 一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9，内壁高为12，若铅笔的长为20，则这只铅笔露在笔筒外面的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理可求得这只铅笔露在笔筒外面的最小长度，当铅笔垂直于底面放置时可求得这只铅笔露在笔筒外面的最大长度，由此即可得解． 【详解】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：， 这只铅笔露在笔筒外面的最小长度为：， 当铅笔垂直于底面放置时，这只铅笔露在笔筒外面的长度为：，即这只铅笔露在笔筒外面的长度不超过， 这只铅笔露在笔筒外面的长度的取值范围是， 故选：A． 4. 在一组对边平行的四边形中，增加下列条件中的哪一个条件，这个四边形是矩形（　　） A. 另一组对边相等，对角线相等 B. 另一组对边相等，对角线互相垂直 C. 另一组对边平行，对角线相等 D. 另一组对边平行，对角线互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰梯形的定义、平行四边形的判定、特殊平行四边形（矩形、菱形）的判定即可得． 【详解】A、一组对边平行，另一组对边相等，对角线相等的四边形可能是等腰梯形，此项不符题意； B、一组对边平行，另一组对边相等，对角线互相垂直的四边形可能是菱形，此项不符题意； C、一组对边平行，另一组对边平行的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，此项符合题意； D、一组对边平行，另一组对边平行的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是矩形，此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握特殊平行四边形的判定方法是解题关键． 5. 的三边长a，b，c满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形． 【详解】解∵ 又∵ ∴， ∴ 解得 ， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理． 6. 若与是同一个数的两个不同的平方根，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列方程求解即可； 【详解】解：∵与是同一个数的两个不同的平方根， ∴， 解得：． 7. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得，进而可得，再根据三角形的中位线解答即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 故选：A. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键. 9. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若OA=4，S菱形ABCD=24，则OE的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质得出AC=8，由菱形的面积得出BD=6，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC，OB=OD=BD，BD⊥AC， ∴AC=8， ∵S菱形ABCD=AC×BD=24， ∴BD=6， ∵DE⊥AB， ∴∠BED=90°， ∴OE=BD=3， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 10. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则对四边形EFGH表述最确切的是（　　） A. 四边形EFGH是矩形 B. 四边形EFGH是菱形 C. 四边形EFGH是正方形 D. 四边形EFGH是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到EH=BC，EH∥BC，得到四边形EFGH是平行四边形，根据菱形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵点E、H分别是AB、AC的中点， ∴EH=BC，EH∥BC， 同理，EF=AD，EF∥AD，HG=AD，HG∥AD， ∴EF=HG，EF∥HD， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AD=BC， ∴EF=EH， ∴平行四边形EFGH是菱形， 故选B． 【点睛】本题考查的是中点四边形的概念和性质、掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键． 11. 如图，△OAB的顶点O、A、B的坐标分别是（0，0）（3，0），（1，1），下列点M中，O、A、B、M为顶点的四边形不是平行四边形的是（ ） A. （1，﹣1） B. （2，﹣1） C. （﹣2，1） D. （4，1） 【答案】A 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①AB为对角线时，②OB为对角线时，③OA为对角线时；分别求出点的坐标，即可得出答案． 【详解】分三种情况： ①AB为对角线时， ∵BM∥OA，点O、A、B的坐标分别是（0，0）（3，0），（1，1）， ∴M的坐标为（3+1，1）， 即M（4，1）； ②OB为对角线时， ∵，点O、A、B的坐标分别是（0，0）（3，0），（1，1）， ∴的坐标为（1﹣3，1）， 即M（﹣2，1）； ③OA为对角线时，点与关于原点O对称， ∴的坐标为（2，﹣1）， 即M（2，-1）； 综上所述，点M的坐标为（4，1）或（﹣2，1）或（2，﹣1）， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质以及分类讨论等知识；正确画出图形是解题的关键． 12. 如图，以的三边为边分别作等边、、，则下列结论：①①；②四边形为平行四边形；③当时，四边形是菱形；④当时，四边形是矩形．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①由△ABE与△BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE＝∠CBF＝60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到△EBF与△DFC全等； ②利用（1）中全等三角形对应边相等得到EF＝AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF＝AD，AE＝DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形； ③当AE＝AD时，ADFE是菱形，可以用邻边相等的平行四边形是菱形判断即可； ④当∠BAC＝150°，由此可求得∠EAD的度数，则可得ADFE是矩形，由此即可判断； 【详解】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形， ∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°， ∴∠ABE−∠ABF＝∠FBC−∠ABF，即∠CBA＝∠FBE， 在△ABC和△EBF中， ， ∴△ABC≌△EBF（SAS）， ∴EF＝AC， 又∵△ADC为等边三角形， ∴CD＝AD＝AC， ∴EF＝AD＝DC， 同理可得△ABC≌△DFC， ∴DF＝AB＝AE＝DF， ∴四边形AEFD是平行四边形； ∴∠FEA＝∠ADF， ∴∠FEA＋∠AEB＝∠ADF＋∠ADC，即∠FEB＝∠CDF， 在△FEB和△CDF中，， ∴△EBF≌△DFC（SAS），故①正确， ∴EB＝DF，EF＝DC． ∵△ACD和△ABE为等边三角形， ∴AD＝DC，AE＝BE， ∴AD＝EF，AE＝DF ∴四边形AEFD是平行四边形；故②正确， 若AB＝AC，则AE＝AD，四边形AEFD是菱形此， 故△ABC满足AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；故③正确； 若∠BAC＝90°，则平行四边形AEFD是矩形； 由（1）知四边形AEFD是平行四边形，则∠EAD＝90°时，可得平行四边形AEFD是矩形， ∴∠BAC＝360°−60°−60°−90°＝150°， 即△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形AEFD是矩形； ∴∠BAC＝90°，四边形AEFD不是矩形；故④错误， 故选C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 13. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 14. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=3，BC=5，则OA的取值范围为__． 【答案】1<OA<4 【解析】 【分析】先根据三角形的三边关系定理得到AC的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出OA的取值范围即可． 【详解】∵AB=3，BC=5， ∴2<AC<8， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=AC， ∴1<OA<4. 故答案为:1<OA<4. 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形三边关系，关键是据三角形的三边关系定理得到AC的取值范围. 15. 如图，D是内一点，，，E，F，G，H分别是，，，的中点，则四边形的周长_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，，，分别是，，，的中位线，根据三角形的中位线性质求解即可． 本题主要考查了三角形的中位线性质，熟练掌握三角形中位线性质是解题的关键． 【详解】解：∵内一点，，，且E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，分别是，，，的中位线， ∴，，，， ∴四边形的周长． 故答案为：． 16. 如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，连接，则的度数为______________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解直角三角形斜边上的中线性质是解答关键．根据同角的余角相等得到，，根据互余和求得，进而得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质来求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵E是斜边的中点，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 已知两点在同一条数轴上，点对应的数为，点对应的数为，以为边作正方形，以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴的交点对应的数为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴上点的关系，正方形的性质及点的平移，根据勾股定理可得，图形结合，根据点的平移即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点表示的数为：，点表示的数为， 故答案为：或 ． 18. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形．其中，正确的有_________（只填写序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：①∵， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②若， ∴平行四边形是矩形；故②正确； ③若平分， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； ∴平行四边形是菱形；故③正确； ④若； ∴平分； ∴结合③可得平行四边形是菱形；故④正确； 所以正确的结论是①②③④， 故答案为：①②③④． 三、解答题（本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式性质，绝对值的意义进行化简，再进行加减计算即可； （2）由立方根的定义，二次根式的性质化简，再计算乘法，最后计算减法即可． 本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 求下列各式中的： （1） （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程； （1）先化为，然后利用两边开平方化为一次方程解题即可； （2）两边同时开立方得到一元一次方程解题即可． 【小问1详解】 解： 解得：，； 【小问2详解】 解： 解得． 21. 已知：的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，再代入中，即可求解． 【详解】∵的立方根是，的算术平方根是3， ∴，， 解得，， ∵c是的整数部分， ∴． ∴， ∴4的平方根是． 【点睛】本题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、代数式求值，解题的关键是读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可． 22. 如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 【答案】3米 【解析】 【分析】先在中，根据勾股定理求出米，由题意得，则米．再在中，根据勾股定理求出米，进而可得的长为3米，即墙的高度． 本题主要考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：在中，米，米， ∴米， 由题意得， ∴米， 在中，米，米， ∴米， 又∵米， ∴米， ∴墙的高度为3米． 23. 如图，已知点，在平行四边形的对角线上，且．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ，， ， 在和中 ； （2） 证明：≌， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质可求得，利用可证得结论； 由中全等三角形的性质可得，，可求得，则可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键． 24. 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论； （3）在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：为的中点 ， ． 在和中， ， ， ， 为中线， ， ； （2） 四边形的形状是菱形，证明如下： ，， 四边形是平行四边形， ， ， 为中线， ， 平行四边形是菱形； （3）6 【解析】 【分析】（1）先证明，，再根据证明，从而可得结论； （2）先证明四边形是平行四边形，由，是斜边的中线，可得，从而可得结论； （3）先由勾股定理得，再根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知， ∵， 由勾股定理得： ， 答：四边形的面积为6． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． 25. 如图，O为原点，四边形为矩形，已知，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当 时，四边形是平行四边形； （2）在线段上是否存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点M，且，求四边形周长的最小值． 【答案】（1） （2）存在，，或， （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质，即可解答； （2）分点P在点Q的左侧和右侧两种讨论，利用菱形的判定与性质及勾股定理即可求得答案； （3）连结，过点O作直线的对称点E，连结，先证明四边形是平行四边形，得到，，然后证明，再根据两点之间线段最短，可得到点P在上时，取最小值，求出此最小值，由此即可求得答案． 【小问1详解】 解：，点D是的中点， ，， 四边形为矩形， ， 由已知，，则， 若四边形是平行四边形， 则， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：存在；理由如下： 当点P在点Q的左侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， Q点的坐标为， 当点P在点Q的右侧时， 若O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形， 则， 在中，， ， ，， ， 综上所述，在线段上存在一点Q，使得O，D，Q，P四点为顶点的四边形是菱形，且，或，． 【小问3详解】 解：连结，过点O作直线的对称点E，连结，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， 点O和点E关于直线的对称， 垂直平分， ， ， 当点P在上时，取最小值，此时， 即当点P在上时，四边形周长的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，线段和的最值问题等知识，平移线段是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $