精品解析：广东省汕头市潮阳区金培学校2024-2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

2024~2025学年度第二学期八年级第一次月考 数学科试卷 （本卷满分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 要使式子有意义，则的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得，求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， ∴的值可以是5． 故选：D 2. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等求解即可． 【详解】解∶∵在中，， ∴， 故选∶A． 3. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. B. 7，12，15 C. 9，41，40 D. 2，3，4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，无法构成三角形，故本选项不符合题意； B、，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； C、，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意； D、，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； 故选：C 4. 下列运算中正确的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案. 【详解】A. 不是同类项，不能合并，此项错误； B. ，此项正确； C. 此项错误； D. ，此项错误. 故选B 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键. 5. 如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； C、对角线互相平分的四边形为平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，不可以判定四边形为平行四边形，符合题意； 故选D． 6. 如图所示，在ABCD中，若∠A=45°，AD=，则AB与CD之间的距离为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】作DE⊥AB于点E，由∠A=45°，可得△ADE为等腰直角三角形，即得结果． 【详解】如图，作DE⊥AB于点E， ∵∠A=45°， ∴△ADE为等腰直角三角形， ∴AE=DE， ∵，AD=， 解得， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴AB与CD之间的距离为， 故选B. 考点：本题考查的是平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握两平行线间的距离是两平行线间的垂线段的长度. 7. 如图，正方形是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴这个三角形就是等腰直角三角形， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键． 8. 已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（ ） A. 4 B. 16 C. D. 4或 【答案】D 【解析】 【分析】此题要分两种情况：当3和5都是直角边时；当5是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可． 【详解】解：当3和5都是直角边时，第三边长为：； 当5是斜边长时，第三边长为：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解． 9. 如图，A、B两点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，5），则线段AB的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】直接根据两点间的距离公式进行解答即可． 解：∵A、B两点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，5）， ∴AB===5． 故选C． 10. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】首先过作，当与重合时，最短，首先利用等腰三角形的性质可得，进而可得的长，利用勾股定理计算出长，然后可得的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：过作， ， ， ， 是线段上的动点（不含端点、． ， 或4， 线段长为正整数， 的可以有三条，长为4，3，4， 点的个数共有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解题的关键是正确利用勾股定理计算出的最小值，然后求出的取值范围． 二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 化简：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可，熟练掌握，是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为： 12. 若a，b都是实数，b＝+﹣2，则ab的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而利用负指数幂的性质得出答案． 【详解】解：∵b＝+﹣2， ∴ ∴1-2a=0， 解得：a=，则b=-2， 故ab=（）-2=4． 故答案为4． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及负指数幂的性质，正确得出a的值是解题关键． 13. 如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，若∠B＝52°，则∠AEC的度数为_______． 【答案】116° 【解析】 【分析】首先由四边形是平行四边形，可得，的度数可求出的度数，再由条件平分可求出的度数，继而可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， 又∵∠B＝52°， ， 平分， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边平行． 14. 已知是整数，则正整数的最小值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】因为是整数，且，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6． 【详解】∵，且是整数， ∴2是整数，即6n是完全平方数； ∴n的最小正整数值为6． 故答案为6． 【点睛】主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答． 15. 观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 【答案】（，且n取整数） 【解析】 【详解】解：∵； ； … ∴第个等式为（，且n取整数）． 三、解答题（本大题3个小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： （1） （2）（﹣）×． 【答案】（1）5；（2）﹣2． 【解析】 【分析】（1）把各二次根式化简为最简二次根式，根据二次根式加减混合运算法则计算即可；（2）根据二次根式混合运算法则计算即可. 【详解】（1）原式=3﹣2+4 =5； （2）原式=（4﹣5）× =﹣× =﹣2． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键. 17. 已知，如图，E、F分别为的边、上的点，且，求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据条件证明，即可得出结论． 【详解】略 18. 如图，中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，求线段的长． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和图形的折叠，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，则由折叠的性质可得， ∵是的中点， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴线段的长为4． 四、解答题（本大题3个小题，每小题9分，共27分） 19. 已知满足． （1）求 的值； （2）试问以为边长能否构成三角形？若能构成，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【答案】（1），，． （2）能构成三角形，周长为 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根），熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出的值； （2）根据，，，可得，即可根据三角形三边关系，得出以为边长能构成三角形，再把三角形三边相加即可求得周长． 【小问1详解】 解：由题意得：，，， 解得：，，． 【小问2详解】 解：∵，，． ∴， ∵，， ∴， ∴以为边长能构成三角形， ∴此时三角形的周长为． 20. 如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△FCE． （2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长． 【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF， ∵E是平行四边形ABCD的边CD的中点， ∴DE=CE， 在△ADE和△FCE中，  ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）； （2）8 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可； （2）由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长． 【详解】（1） 略 （2）∵ADE≌△FCE， ∴AE=EF=3， ∵AB∥CD， ∴∠AED=∠BAF=90°， 在▱ABCD中，AD=BC=5， ∴DE==4， ∴CD=2DE=8 21. 有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程． 探索： 已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB=CD． 应用此定理进行证明求解． 应用一、已知：如图2，AD∥BC，AD＜BC，AB=CD．求证：∠B=∠C； 应用二、已知：如图3，AD∥BC，AC⊥BD，AC=4，BD=3．求：AD与BC两条线段的和． 【答案】 探索：证明：如图1， 连接AC， ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠BCA ∵AB∥CD． ∴∠BAC=∠DCA 在△ABC和△CDA中， ， ∴△ABC≌△CDA（ASA）， ∴AB=CD； 应用一：证明：如图2，作DE∥AB交BC于点E， ∵AD∥BC， ∴AB=DE ∵AB=CD， ∴DE=CD， ∴∠DEC=∠C ∵DE∥AB， ∴∠B=∠DEC， ∴∠B=∠C； 应用二：5 【解析】 【详解】探索：略 应用一：略 应用二、 解：如图3，作DF∥AC交BC的延长线于点F ∵AD∥BC， ∴AC=DF、AD=CF， ∵DF∥AC， ∴∠BDF=∠BEC， ∵AC⊥BD， ∴∠BDF=∠BEC=90°， 在Rt△BDF中，由勾股定理得：BF=5， ∴BC+AD=BC+CF=BF=5． 五、解答题（本大题2个小题，共27分） 22. 用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c． （1）结合图①，说明：a2+b2＝c2； （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝　 　． 【答案】 （1）证明： 即 （2）；（3）6 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式证明解答即可； （2）根据勾股定理和三角形面积公式解答即可； （3）设正方形的面积为，设其他八个全等的三角形每个的面积为，根据题意得出方程解答即可． 【详解】（1）略 （2） 设，则， 在中，由勾股定理得： 即 解得： （3）设正方形的面积为，设其他八个全等的三角形每个的面积为 ，， 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是根据面积公式和勾股定理解答． 23. 已知在中，，是上的一点，连接，在直线右侧作等腰，． （1）如图1，，连接，则____________． （2）如图2，，取边中点，连接，当点从点运动到点过程中，直接写出线段长度的最小值____________； （3）如图3，四边形中，，连接，已知，求的长． 【答案】（1） （2）1 （3）5 【解析】 【分析】（1）利用证明，结合全等三角形的性质可得，即可； （2）取中点，连接，结合全等三角形的性质易得，由“垂线段最短”的性质可知当时，最短，即此时最短，证明为等腰直角三角形，在中，设，利用勾股定理列方程并解得的值，即可获得答案； （3）过点作交的延长线于点，过点作交于点，证明，由全等三角形的性质可得，进而证明为等腰直角三角形，在中，设，利用勾股定理列方程并解得的值，易得，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 取中点，连接， 由①可得， ∵点是中点， ∴， ∴当时，最短，即此时最短， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，设， ∴， 解得， ∴，即的最小值为1； 【小问3详解】 过点作交的延长线于点，过点作交于点，如下图， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，设， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期八年级第一次月考 数学科试卷 （本卷满分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 要使式子有意义，则的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. B. 7，12，15 C. 9，41，40 D. 2，3，4 4. 下列运算中正确的是（　 　） A. B. C. D. 5. 如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图所示，在ABCD中，若∠A=45°，AD=，则AB与CD之间的距离为（ ） A. B. C. D. 3 7. 如图，正方形是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（ ） A. 4 B. 16 C. D. 4或 9. 如图，A、B两点的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，5），则线段AB的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 10. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 化简：____________． 12. 若a，b都是实数，b＝+﹣2，则ab的值为_____． 13. 如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，若∠B＝52°，则∠AEC的度数为_______． 14. 已知是整数，则正整数的最小值是______. 15. 观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 三、解答题（本大题3个小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： （1） （2）（﹣）×． 17. 已知，如图，E、F分别为的边、上的点，且，求证：． 18. 如图，中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，求线段的长． 四、解答题（本大题3个小题，每小题9分，共27分） 19. 已知满足． （1）求 的值； （2）试问以为边长能否构成三角形？若能构成，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 20. 如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△FCE． （2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长． 21. 有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程． 探索： 已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB=CD． 应用此定理进行证明求解． 应用一、已知：如图2，AD∥BC，AD＜BC，AB=CD．求证：∠B=∠C； 应用二、已知：如图3，AD∥BC，AC⊥BD，AC=4，BD=3．求：AD与BC两条线段的和． 五、解答题（本大题2个小题，共27分） 22. 用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c． （1）结合图①，说明：a2+b2＝c2； （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝　 　． 23. 已知在中，，是上的一点，连接，在直线右侧作等腰，． （1）如图1，，连接，则____________． （2）如图2，，取边中点，连接，当点从点运动到点过程中，直接写出线段长度的最小值____________； （3）如图3，四边形中，，连接，已知，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $