第十七章 因式分解 质量评估 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十七章 因式分解 质量评估 ［时量：120分钟 分值：120分］ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列等式从左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2．把分解因式，应提取的公因式是（ ） A． B． C． D． 3．多项式可分解为，则的值是（ ） A． B．5 C． D．6 4．下列因式分解错误的是（ ） A． B． C． D． 5．下列因式分解正确的是（ ） A． B． C． D． 6．如果多项式加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（ ） A． B． C． D． 7．如果，那么代数式的值是（ ） A． B．0 C．1 D．2 8．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，,3，，,分别对应下列六个字：学、爱、我、趣、味、数.现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A．我爱学 B．爱数学 C．趣味数学 D．我爱数学 9．将多项式进行因式分解的结果是（ ） A． B． C． D． 10．若可以被20到30之间的某两个整数整除，则这两个整数分别是（ ） A．24，26 B．25，27 C．26，28 D．27，29 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 12．一个二次二项式因式分解后其中一个因式为,写出满足条件的一个二次二项式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 13．把多项式分解因式的结果是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 14．分解因式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 15．若，，则代数式的值是_ _ _ _ _ _ . 16．已知立方差公式为，如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.例如，，，则2和26均为“和谐数”.在不超过2 024的正整数中，所有的“和谐数”之和为_ _ _ _ . 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17．（6分）把下列各式分解因式： （1） ； （2） ； （3） . 18．（6分）把下列各式分解因式： （1） ； （2） . 19．（6分）把下列各式分解因式： （1） ； （2） . 20．（8分）已知的三边长,,满足等式.求证：是等腰三角形. 21．（8分）阅读材料：把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫作分组分解法. （1） 请用上述方法分解因式：； （2） 已知，，求代数式的值. 22．（9分）观察下列等式： ； ； ； ； …… （1） 发现结论：两个连续偶数的平方和是4的_ _ 倍（填“偶数”或“奇数”）； （2） 逻辑论证：在两个连续偶数中，设较小的数为为整数，请证明（1）中结论的正确性. 23．（9分）设，，.求： （1） 的值； （2） 的值. 24．（10分）阅读下列材料. 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使多项式的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程. 解：设， 则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）. 请根据上述材料，解答下列问题： （1） 小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的_ _ _ _ _ _ ； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2） 老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； （3） 请你用换元法对多项式进行因式分解. 25．（10分）特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取式子中某个未知数为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法.综合实践课上田老师展示了如下例题. 例：已知多项式 有一个因式是，求 的值. 解：由题意，设 为整式， 由于上式为恒等式，为了方便计算，取， 则，解得 . 【数学思考】 （1） “”处的值为； 【方法应用】 （2） 已知多项式有一个因式是，求的值； 【深入探究】 （3） 若多项式有因式和，求,的值. 第十七章质量评估 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．D 2．C 3．D 4．B 5．D 6．D 7．B 8．D 9．B 10．A [解析] ， 可以被20到30之间的24和26两个整数整除，故选. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．； 12．（答案不唯一） 13． 14． 15． 16．6 860 [解析]设两个连续奇数分别为,，则 . 由，得 其中为非负整数，，1，2，3， ，8，9，即所有不超过2 024的“和谐数”，它们的和： . 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17．解：（1）原式. （2） 原式. （3） 原式. 18．解：（1）原式 . （2） 原式 . 19．解：（1）原式 . （2） 原式 . 20．证明：, ， 即. , , . ,,为三角形的三边长， ,, , 是等腰三角形. 21．解：（1）原式 . （2） ，， 原式 . 22．（1） 奇数 （2） 证明：在两个连续偶数中，设较小的数为为整数，则较大的数为， . 是偶数，是奇数， 是奇数， 两个连续偶数的平方和是4的奇数倍. 23．解：（1）, , . , . ，, , . （2） , , . , , 的值为98. 24．（1） C （2） （3） 解：设, 则原式， ， ， ， . 25．（1） 24 解：（2）由题意，设为整式， 令，即，代入上式， 得，解得. （3） 由题意，设为整式， 由于上式是恒等式，为了方便计算， 取，得， 即. 取，得， 即， 联立 解得 ，. 学科网（北京）股份有限公司 $$